Séries Numériques (suite) - fiches de révision (B)

Soit $f: I \to \mathbb{C}$ une fonction telle que l'intégrale $\int_I |f(t)|dt$ converge. On veut montrer que $\int_I f(t)dt$ converge.

Le critère de Cauchy pour la convergence d'une intégrale généralisée $\int_a^b f(t)dt$ (où $b$ peut être $+\infty$) s'énonce :

$\forall \varepsilon > 0, \exists B \in [a,b[, \forall x, y \in ]B,b[, \left| \int_x^y f(t)dt \right| < \varepsilon.$

1. Appliquer le critère de Cauchy à $|f|$ :

   Puisque $\int_I |f(t)|dt$ converge, elle vérifie le critère de Cauchy. Soit $\varepsilon > 0$. Il existe un intervalle compact $J_0 \subset I$ tel que pour tout intervalle compact $J$ avec $J_0 \subset J \subset I$, on a $\int_{J \setminus J_0} |f(t)|dt < \varepsilon$.

   Pour simplifier, prenons $I = [a, +\infty[$. Il existe donc $B \ge a$ tel que pour tous $x, y$ avec $y > x > B$, on a :

   $\int_x^y |f(t)|dt < \varepsilon.$

2. Utiliser l'inégalité triangulaire :

   L'inégalité triangulaire pour les intégrales stipule que $\left| \int_x^y f(t)dt \right| \le \int_x^y |f(t)|dt$.

3. Conclusion :

   En combinant les deux points, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $B \ge a$ tel que pour tous $y > x > B$ :

   $\left| \int_x^y f(t)dt \right| \le \int_x^y |f(t)|dt < \varepsilon.$

   Ceci est précisément le critère de Cauchy pour la fonction $f$. Par conséquent, l'intégrale $\int_I f(t)dt$ converge.

Théorème (Critère de Comparaison Série-Intégrale) :

Soit $f: [a, +\infty[ \to \mathbb{R}$ une fonction continue, positive et décroissante pour $a \in \mathbb{R}$. Soit la série $\sum_{n=n_0}^\infty u_n$ avec $n_0 \ge a$ et $u_n = f(n)$. Alors la série $\sum u_n$ et l'intégrale $\int_a^{+\infty} f(t)dt$ sont de même nature.

Démonstration :

1. Encadrement de l'intégrale :

   Puisque $f$ est décroissante, pour tout entier $k \ge a$ et pour tout $t \in [k, k+1]$, on a l'encadrement :

   $f(k+1) \le f(t) \le f(k)$

2. Intégration de l'encadrement :

   En intégrant cette inégalité sur l'intervalle $[k, k+1]$ de longueur 1 :

   $\int_k^{k+1} f(k+1) dt \le \int_k^{k+1} f(t) dt \le \int_k^{k+1} f(k) dt$

   $f(k+1) \cdot (k+1-k) \le \int_k^{k+1} f(t) dt \le f(k) \cdot (k+1-k)$

   $f(k+1) \le \int_k^{k+1} f(t) dt \le f(k)$

3. Sommation des inégalités :

   Soient $S_N = \sum_{k=n_0}^N f(k)$ et $I_N = \int_{n_0}^N f(t)dt$.

   • En sommant l'inégalité de gauche de $k=n_0$ à $N-1$ :

     $\sum_{k=n_0}^{N-1} f(k+1) \le \sum_{k=n_0}^{N-1} \int_k^{k+1} f(t) dt \implies \sum_{j=n_0+1}^{N} f(j) \le \int_{n_0}^N f(t)dt$

     $S_N - f(n_0) \le I_N$

   • En sommant l'inégalité de droite de $k=n_0$ à $N$ :

     $\sum_{k=n_0}^{N} \int_k^{k+1} f(t) dt \le \sum_{k=n_0}^{N} f(k) \implies \int_{n_0}^{N+1} f(t)dt \le S_N$

4. Conclusion :

   Les suites $(S_N)$ et $(I_N)$ sont croissantes car $f$ est positive. Les inégalités

   $\int_{n_0}^{N+1} f(t)dt \le S_N \le f(n_0) + \int_{n_0}^N f(t)dt$

   montrent que la suite $(S_N)$ est majorée si et seulement si la suite $(I_N)$ est majorée. Puisqu'elles sont croissantes, elles sont de même nature (soit elles convergent, soit elles tendent vers $+\infty$).

Soit $v_n = \frac{1 - \cos(\frac{1}{\sqrt{n \ln n}})}{\sin \frac{1}{n}}$. Il s'agit d'une série à termes positifs. Nous pouvons utiliser le critère de comparaison par équivalents.

1. Trouver un équivalent du numérateur :

On utilise le développement limité $1 - \cos(x) \sim_0 \frac{x^2}{2}$.

Quand $n \to \infty$, $x_n = \frac{1}{\sqrt{n \ln n}} \to 0$.

Donc,

$1 - \cos\left(\frac{1}{\sqrt{n \ln n}}\right) \sim_{n\to\infty} \frac{1}{2} \left(\frac{1}{\sqrt{n \ln n}}\right)^2 = \frac{1}{2n \ln n}.$

2. Trouver un équivalent du dénominateur :

On utilise le développement limité $\sin(x) \sim_0 x$.

Quand $n \to \infty$, $y_n = \frac{1}{n} \to 0$.

Donc,

$\sin\left(\frac{1}{n}\right) \sim_{n\to\infty} \frac{1}{n}.$

3. Former l'équivalent du terme général :

Par quotient d'équivalents :

$v_n \sim_{n\to\infty} \frac{\frac{1}{2n \ln n}}{\frac{1}{n}} = \frac{1}{2n \ln n} \cdot \frac{n}{1} = \frac{1}{2 \ln n}.$

4. Conclure sur la nature de la série :

La série $\sum v_n$ a la même nature que la série $\sum \frac{1}{2 \ln n}$.

Pour $n \ge 3$, on a $\ln n < n$, ce qui implique $\frac{1}{\ln n} > \frac{1}{n}$, et donc $\frac{1}{2 \ln n} > \frac{1}{2n}$.

La série $\sum \frac{1}{2n} = \frac{1}{2} \sum \frac{1}{n}$ est une série harmonique divergente.

Par le critère de comparaison pour les séries à termes positifs, la série $\sum \frac{1}{2 \ln n}$ diverge.

Par conséquent, la série $\sum v_n$ diverge.

Théorème (Test de Condensation de Cauchy) :

Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite à termes réels positifs et décroissante. Alors la série $\sum_{n=1}^\infty u_n$ converge si et seulement si la série "condensée" $\sum_{j=0}^\infty 2^j u_{2^j}$ converge.

Démonstration :

Soient $S_N = \sum_{n=1}^N u_n$ et $T_J = \sum_{j=0}^J 2^j u_{2^j}$. Les deux suites $(S_N)$ et $(T_J)$ sont croissantes car les termes sont positifs.

Partie 1 : Convergence de $\sum 2^j u_{2^j}$ $\implies$ Convergence de $\sum u_n$.

Supposons que $\sum 2^j u_{2^j}$ converge vers $T$. Pour $N \in \mathbb{N}$, choisissons $J$ tel que $N < 2^{J+1}-1$.

$S_N \le S_{2^{J+1}-1} = u_1 + (u_2+u_3) + (u_4+\dots+u_7) + \dots + (u_{2^J}+\dots+u_{2^{J+1}-1})$

Puisque $(u_n)$ est décroissante, on peut majorer chaque paquet :

• $u_2+u_3 \le u_2+u_2 = 2u_2$
• $u_4+\dots+u_7 \le 4u_4$
• En général, $\sum_{n=2^j}^{2^{j+1}-1} u_n \le (2^{j+1}-2^j) u_{2^j} = 2^j u_{2^j}$.

D'où,

$S_N \le S_{2^{J+1}-1} = u_1 + \sum_{j=1}^J \sum_{n=2^j}^{2^{j+1}-1} u_n \le u_1 + \sum_{j=1}^J 2^j u_{2^j} \le u_1 + T.$

La suite $(S_N)$ est croissante et majorée, donc elle converge.

Partie 2 : Convergence de $\sum u_n$ $\implies$ Convergence de $\sum 2^j u_{2^j}$.

Supposons que $\sum u_n$ converge vers $S$. Pour $J \in \mathbb{N}$ :

$T_J = \sum_{j=0}^J 2^j u_{2^j} = u_1 + 2u_2 + 4u_4 + \dots + 2^J u_{2^J}$

On regroupe les termes de $\sum u_n$ différemment :

$S_{2^J} = u_1 + u_2 + (u_3+u_4) + \dots + (u_{2^{J-1}+1}+\dots+u_{2^J})$.

Puisque $(u_n)$ est décroissante :

• $u_3+u_4 \ge 2u_4 \implies u_4 \le \frac{1}{2}(u_3+u_4)$
• En général, $\sum_{n=2^{j-1}+1}^{2^j} u_n \ge (2^j - 2^{j-1}) u_{2^j} = 2^{j-1} u_{2^j} \implies 2^j u_{2^j} \le 2 \sum_{n=2^{j-1}+1}^{2^j} u_n$.

D'où,

$T_J = u_1 + \sum_{j=1}^J 2^j u_{2^j} \le u_1 + 2 \sum_{j=1}^J \sum_{n=2^{j-1}+1}^{2^j} u_n = u_1 + 2 \sum_{n=3}^{2^J} u_n \le u_1 + 2S.$

La suite $(T_J)$ est croissante et majorée, donc elle converge.

Pour étudier la nature de $\sum u_n$, nous effectuons un développement asymptotique de $u_n$ pour $n \to \infty$.

1. Mise en forme du terme général :

$u_n = \frac{(-1)^n}{n(1 + \frac{(-1)^n}{n})} = \frac{(-1)^n}{n} \left(1 + \frac{(-1)^n}{n}\right)^{-1}$

2. Développement limité :

On utilise le développement limité $(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + O(x^2)$ pour $x \to 0$.

Ici, $x = \frac{(-1)^n}{n}$, qui tend bien vers 0, et $\alpha = -1$.

$\left(1 + \frac{(-1)^n}{n}\right)^{-1} = 1 - \frac{(-1)^n}{n} + O\left(\left(\frac{(-1)^n}{n}\right)^2\right) = 1 - \frac{(-1)^n}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)$

Il faut pousser le développement jusqu'à obtenir un reste dont la série converge absolument, donc $O(1/n^2)$ n'est pas suffisant. Poussons à l'ordre suivant : $(1+x)^{-1} = 1 - x + x^2 + O(x^3)$.

Non, $O(1/n^2)$ suffit ici.

3. Développement asymptotique de $u_n$ :

$u_n = \frac{(-1)^n}{n} \left(1 - \frac{(-1)^n}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)$

$u_n = \frac{(-1)^n}{n} - \frac{(-1)^n}{n} \cdot \frac{(-1)^n}{n} + \frac{(-1)^n}{n} O\left(\frac{1}{n^2}\right)$

$u_n = \frac{(-1)^n}{n} - \frac{(-1)^{2n}}{n^2} + O\left(\frac{1}{n^3}\right)$

$u_n = \frac{(-1)^n}{n} - \frac{1}{n^2} + O\left(\frac{1}{n^3}\right)$

4. Analyse de la convergence :

La série $\sum u_n$ peut être vue comme la somme de trois séries :

• $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}$ : C'est la série harmonique alternée, qui est convergente (d'après le critère des séries alternées).
• $\sum_{n=1}^\infty \left(-\frac{1}{n^2}\right)$ : C'est une série de Riemann avec $\alpha=2 > 1$. Elle est donc absolument convergente.
• $\sum_{n=1}^\infty O\left(\frac{1}{n^3}\right)$ : Soit $w_n = O(1/n^3)$. Cela signifie qu'il existe $M>0$ et $N_0$ tels que pour $n>N_0$, $|w_n| \le M/n^3$. Par comparaison avec la série de Riemann convergente $\sum 1/n^3$, la série $\sum w_n$ est absolument convergente.

Conclusion :

La série $\sum u_n$ est la somme de trois séries convergentes. Par linéarité, la série $\sum u_n$ est convergente.

Théorème (Théorème d'Abel) :

Soit la série $\sum u_n$ avec $u_n = a_n b_n$, où $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite à termes complexes et $(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite à termes réels. La série $\sum u_n$ converge si les trois conditions suivantes sont remplies :

i) La suite des sommes partielles $(A_n)_{n\in\mathbb{N}}$, où $A_n = \sum_{k=0}^n a_k$, est bornée.

ii) La suite $(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est décroissante.

iii) $\lim_{n \to \infty} b_n = 0$.

Démonstration (Transformation d'Abel) :

Nous utilisons le critère de Cauchy pour les séries. Montrons que $\forall \varepsilon > 0$, $\exists N \in \mathbb{N}$ tel que $\forall q > p \ge N$, $|\sum_{n=p}^q a_n b_n| < \varepsilon$.

1. Expression de la somme partielle :

   Soit $S_{p,q} = \sum_{n=p}^q a_n b_n$. On exprime $a_n$ en fonction des sommes partielles $A_n$: $a_n = A_n - A_{n-1}$ (avec $A_{-1}=0$).

   $S_{p,q} = \sum_{n=p}^q (A_n - A_{n-1}) b_n$

2. Sommation par parties (Transformation d'Abel) :

   On réorganise la somme :

   $S_{p,q} = (A_p - A_{p-1})b_p + (A_{p+1} - A_p)b_{p+1} + \dots + (A_q - A_{q-1})b_q$

   $S_{p,q} = -A_{p-1}b_p + A_p(b_p - b_{p+1}) + A_{p+1}(b_{p+1} - b_{p+2}) + \dots + A_{q-1}(b_{q-1} - b_q) + A_q b_q$

   $S_{p,q} = A_q b_q - A_{p-1}b_p + \sum_{n=p}^{q-1} A_n (b_n - b_{n+1})$

3. Majoration :

   • Par l'hypothèse (i), il existe $M > 0$ tel que $|A_k| \le M$ pour tout $k$.
   • Par l'hypothèse (ii), $b_n - b_{n+1} \ge 0$.
   • Par l'hypothèse (iii), $(b_n)$ est une suite de réels positifs (car décroissante et tendant vers 0).

   On majore le module de $S_{p,q}$ :

   $|S_{p,q}| \le |A_q b_q| + |-A_{p-1}b_p| + \left|\sum_{n=p}^{q-1} A_n (b_n - b_{n+1})\right|$

   $|S_{p,q}| \le |A_q|b_q + |A_{p-1}|b_p + \sum_{n=p}^{q-1} |A_n| |b_n - b_{n+1}|$

   $|S_{p,q}| \le M b_q + M b_p + M \sum_{n=p}^{q-1} (b_n - b_{n+1})$

4. Somme télescopique :

   La somme $\sum_{n=p}^{q-1} (b_n - b_{n+1})$ est télescopique et vaut $b_p - b_q$.

   $|S_{p,q}| \le M b_q + M b_p + M (b_p - b_q) = 2Mb_p$

5. Conclusion :

   D'après l'hypothèse (iii), $\lim_{p\to\infty} b_p = 0$. Donc, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un rang $N$ tel que pour $p \ge N$, on a $b_p < \frac{\varepsilon}{2M}$.

   Pour $q > p \ge N$, on a $|S_{p,q}| \le 2Mb_p < \varepsilon$.

   Le critère de Cauchy est vérifié, donc la série $\sum a_n b_n$ converge.

Théorème de réarrangement de Riemann :

Ce théorème décrit le comportement d'une série lorsqu'on permute l'ordre de ses termes.

i) Cas absolument convergent : Une série $\sum u_n$ est absolument convergente si et seulement si elle est commutativement convergente. C'est-à-dire, pour toute permutation $\sigma: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$, la série réarrangée $\sum u_{\sigma(n)}$ converge vers la même somme.

ii) Cas semi-convergente : Si une série réelle $\sum u_n$ est semi-convergente (elle converge, mais pas absolument), alors pour tout réel étendu $l \in \overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}$, il existe une permutation $\sigma$ de $\mathbb{N}$ telle que la série réarrangée $\sum u_{\sigma(n)}$ converge vers $l$.

Esquisse de la preuve du cas (ii) :

Soit $\sum u_n$ une série semi-convergente.

1. Divergence des termes positifs et négatifs :

   Notons $P = \{ u_n \mid u_n > 0 \}$ l'ensemble des termes positifs et $N = \{ u_n \mid u_n < 0 \}$ l'ensemble des termes négatifs (on ignore les termes nuls). Puisque $\sum u_n$ converge mais $\sum |u_n|$ diverge, on peut montrer que les deux séries formées par les termes de $P$ et de $N$ doivent diverger. C'est-à-dire, $\sum_{p \in P} p = +\infty$ et $\sum_{n \in N} n = -\infty$.

2. Algorithme de construction de la permutation :

   Soit $l \in \mathbb{R}$ la cible (le cas $l=\pm\infty$ est similaire). L'idée est de construire la somme pas à pas pour qu'elle "oscille" autour de $l$.

   • Étape 1 : On somme les premiers termes positifs de $P$ jusqu'à ce que la somme partielle dépasse $l$ pour la première fois. C'est possible car $\sum p = +\infty$. Soit $S_1$ cette somme.
   • Étape 2 : À $S_1$, on ajoute les premiers termes négatifs de $N$ jusqu'à ce que la somme repasse en dessous de $l$. C'est possible car $\sum n = -\infty$. Soit $S_2$ cette somme.
   • Étape 3 : On recommence en ajoutant les prochains termes positifs non utilisés de $P$ jusqu'à dépasser de nouveau $l$.
   • On continue indéfiniment...

3. Convergence vers la cible :

   À chaque étape, la somme partielle $S_k$ "franchit" la cible $l$. L'écart entre la somme partielle et la cible est contrôlé par le dernier terme ajouté. Par exemple, à l'étape 1, si on a ajouté $p_k$, on a $S_1 - l \le p_k$.

   Comme la série $\sum u_n$ converge, son terme général $u_n \to 0$. Cela signifie que les termes $p \in P$ et $n \in N$ que l'on ajoute deviennent arbitrairement petits.

   Par conséquent, l'amplitude des oscillations de la somme partielle autour de $l$ tend vers 0. La suite des sommes partielles de la série réarrangée converge donc vers $l$.

   La permutation $\sigma$ est définie par l'ordre dans lequel on a choisi les termes.

Définition (Sommation par Paquets) :

Soit $\sum u_n$ une série. Soit $(p_k)_{k\in\mathbb{N}}$ une suite d'entiers strictement croissante avec $p_{-1}=-1$. La série $\sum v_k$ est une série de paquets de $\sum u_n$ si $v_k = \sum_{j=p_{k-1}+1}^{p_k} u_j$.

Partie 1 : Preuve de la convergence

1. Définition des sommes partielles :

   • Soit $(S_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite des sommes partielles de $\sum u_n$, avec $S_n = \sum_{j=0}^n u_j$.
   • Soit $(V_k)_{k\in\mathbb{N}}$ la suite des sommes partielles de $\sum v_k$, avec $V_k = \sum_{j=0}^k v_j$.

2. Lien entre les sommes partielles :

   Par définition de $v_j$, on a :

   $V_k = \sum_{j=0}^k v_j = \sum_{j=0}^k \left( \sum_{i=p_{j-1}+1}^{p_j} u_i \right) = \sum_{i=0}^{p_k} u_i = S_{p_k}$

   La suite des sommes partielles $(V_k)$ de la série de paquets est donc la sous-suite $(S_{p_k})$ de la suite des sommes partielles $(S_n)$ de la série originale.

3. Conclusion :

   Si la série $\sum u_n$ converge vers une somme $S$, cela signifie que la suite de ses sommes partielles $(S_n)$ converge vers $S$.

   Or, si une suite converge vers une limite, alors toute sous-suite de cette suite converge vers la même limite.

   Par conséquent, la sous-suite $(S_{p_k}) = (V_k)$ converge aussi vers $S$. La série de paquets $\sum v_k$ converge donc vers $S$.

Partie 2 : Contre-exemple pour la réciproque

La réciproque est : "Si la série de paquets converge, alors la série originale converge". Ceci est faux en général.

Considérons la série de Grandi : $\sum_{n=0}^\infty u_n = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n = 1 - 1 + 1 - 1 + \dots$

La suite de ses sommes partielles est $(S_n) = (1, 0, 1, 0, \dots)$, qui ne converge pas. La série $\sum u_n$ est donc divergente.

Maintenant, effectuons une sommation par paquets de deux termes. Soit $p_k = 2k+1$ pour $k \ge 0$.

$v_k = \sum_{j=p_{k-1}+1}^{p_k} u_j = u_{2k} + u_{2k+1}$

$v_k = (-1)^{2k} + (-1)^{2k+1} = 1 - 1 = 0$

La série de paquets est $\sum_{k=0}^\infty v_k = \sum_{k=0}^\infty 0 = 0$.

Cette série de paquets converge (vers 0), mais la série originale diverge. La réciproque est donc fausse.

Théorème de Fubini pour les séries :

Soit $(u_{m,n})_{(m,n)\in\mathbb{N}^2}$ une suite double de nombres réels ou complexes. Si la famille est sommable, c'est-à-dire si la somme des modules converge :

$\sum_{(m,n)\in\mathbb{N}^2} |u_{m,n}| < \infty$

(ce qui est équivalent à dire que l'une des deux sommes itérées des modules $\sum_{m=0}^\infty \sum_{n=0}^\infty |u_{m,n}|$ ou $\sum_{n=0}^\infty \sum_{m=0}^\infty |u_{m,n}|$ est finie),

alors :

1. Les deux sommes itérées convergent.
2. Elles sont égales : $\sum_{m=0}^\infty \left( \sum_{n=0}^\infty u_{m,n} \right) = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^\infty u_{m,n} \right)$.
3. La somme totale de la famille est égale à cette valeur commune, et on peut sommer les termes dans n'importe quel ordre.

En bref, pour les familles sommables (absolument convergentes), l'ordre de sommation n'a pas d'importance.

Contre-exemple : Échec de Fubini sans sommabilité

Considérons la suite double $(u_{m,n})$ définie par :

$u_{m,n} = \begin{cases} 1 & \text{si } m=n \\ -1 & \text{si } m=n+1 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}$

Visuellement, la matrice infinie des $u_{m,n}$ est :

Définitions :

Soit $\sum u_n$ une série, $s_n = \sum_{k=0}^n u_k$ ses sommes partielles.

• Convergence usuelle : La série converge vers $S$ si $\lim_{n \to \infty} s_n = S$.
• Césaro-sommabilité : La série est Césaro-sommable vers $S$ si la suite des moyennes arithmétiques (moyennes de Césaro) de ses sommes partielles converge vers $S$. Soit $c_n = \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^n s_k$. La série est Césaro-sommable si $\lim_{n \to \infty} c_n = S$.

Comparaison :

• La convergence usuelle est une condition plus forte. Toute série convergente est Césaro-sommable (voir preuve ci-dessous).
• La réciproque est fausse. Une série peut être Césaro-sommable sans converger. L'exemple classique est la série de Grandi $\sum (-1)^n$, qui diverge mais est Césaro-sommable vers $1/2$.
• La Césaro-sommabilité est une méthode de "régularisation" qui peut assigner une valeur à certaines séries divergentes de manière cohérente.

Démonstration (Théorème de Césaro) :

Soit $(s_n)$ une suite qui converge vers une limite $S$. Nous voulons montrer que la suite de ses moyennes $(c_n)$ converge également vers $S$.

1. Définition de la convergence de $(s_n)$ :

   $\forall \varepsilon > 0$, $\exists N_0 \in \mathbb{N}$ tel que $\forall k > N_0$, $|s_k - S| < \varepsilon/2$.

2. Décomposition de la moyenne de Césaro :

   Pour $n > N_0$, on sépare la somme définissant $c_n$ en deux parties :

   $c_n - S = \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^n s_k - S = \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^n (s_k - S)$

   $c_n - S = \frac{1}{n+1} \left( \sum_{k=0}^{N_0} (s_k - S) + \sum_{k=N_0+1}^{n} (s_k - S) \right)$

3. Majoration des deux parties :

   • La première somme est une constante par rapport à $n$. Soit $K = \left| \sum_{k=0}^{N_0} (s_k - S) \right|$.
   • Pour la seconde somme, on utilise la définition de la convergence : pour $k > N_0$, $|s_k - S| < \varepsilon/2$. Il y a $n - N_0$ termes dans cette somme.

   On majore le module :

   $|c_n - S| \le \frac{1}{n+1} \left( \left| \sum_{k=0}^{N_0} (s_k - S) \right| + \sum_{k=N_0+1}^{n} |s_k - S| \right)$

   $|c_n - S| \le \frac{K}{n+1} + \frac{1}{n+1} \sum_{k=N_0+1}^{n} \frac{\varepsilon}{2}$

   $|c_n - S| \le \frac{K}{n+1} + \frac{n - N_0}{n+1} \frac{\varepsilon}{2}$

4. Conclusion :

   • Puisque $\frac{n-N_0}{n+1} < 1$, on a $\frac{n - N_0}{n+1} \frac{\varepsilon}{2} < \frac{\varepsilon}{2}$.
   • Le terme $\frac{K}{n+1}$ tend vers 0 lorsque $n \to \infty$. Il existe donc un $N_1 \in \mathbb{N}$ tel que pour $n > N_1$, $\frac{K}{n+1} < \varepsilon/2$.

   Soit $N = \max(N_0, N_1)$. Pour tout $n > N$, on a :

   $|c_n - S| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$

   Ceci prouve que $\lim_{n \to \infty} c_n = S$.

   Donc, si $\sum u_n$ converge vers $S$, elle est Césaro-sommable vers $S$.