Séries Numériques (suite) - fiches de révision (A)

Une intégrale généralisée étend la notion d'intégrale de Riemann à des situations où soit l'intervalle d'intégration n'est pas borné, soit la fonction n'est pas bornée sur l'intervalle.

Il y a deux cas principaux :

1. Intervalle non borné : Pour une fonction $f$ continue sur $[a, +\infty[$, l'intégrale est la limite :

   $\int_a^{+\infty} f(t)dt = \lim_{b \to +\infty} \int_a^b f(t)dt$

2. Fonction non bornée en une borne : Pour une fonction $f$ continue sur $]a, b]$ avec un problème en $a$, l'intégrale est la limite :

   $\int_a^b f(t)dt = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a+\varepsilon}^b f(t)dt$

Dans les deux cas, si la limite est un nombre réel fini, on dit que l'intégrale converge. Sinon, elle diverge.

On suit la définition d'une intégrale généralisée sur un intervalle non borné.

Étapes :

1. Écrire la définition avec une limite : On remplace la borne infinie par une variable $b$ qui tendra vers l'infini.

   $\int_1^{+\infty} \frac{1}{t^2} dt = \lim_{b \to +\infty} \int_1^b \frac{1}{t^2} dt$

2. Calculer l'intégrale définie : On trouve une primitive de $\frac{1}{t^2}$, qui est $-\frac{1}{t}$.

   $\int_1^b \frac{1}{t^2} dt = \left[ -\frac{1}{t} \right]_1^b = \left(-\frac{1}{b}\right) - \left(-\frac{1}{1}\right) = 1 - \frac{1}{b}$

3. Calculer la limite : On fait tendre $b$ vers $+\infty$.

   $\lim_{b \to +\infty} \left(1 - \frac{1}{b}\right) = 1 - 0 = 1$

Conclusion : La limite est finie et vaut 1. Par conséquent, l'intégrale converge et sa valeur est 1.

Le principal piège est de calculer la limite de manière symétrique, c'est-à-dire $\lim_{A \to +\infty} \int_{-A}^A f(t)dt$. Cette limite, appelée valeur principale de Cauchy, peut exister même si l'intégrale diverge.

La méthode correcte :

Pour qu'une intégrale doublement généralisée converge, il faut la couper en deux en un point réel quelconque $c$ (souvent $c=0$) et vérifier que les deux intégrales convergent indépendamment.

$\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)dt \text{ converge } \Longleftrightarrow \int_{-\infty}^c f(t)dt \text{ et } \int_c^{+\infty} f(t)dt \text{ convergent.}$

Contre-exemple : Pour $\int_{-\infty}^{+\infty} t dt$:

La valeur principale de Cauchy est $\lim_{A \to +\infty} \int_{-A}^A t dt = \lim_{A \to +\infty} \left[\frac{t^2}{2}\right]_{-A}^A = \lim_{A \to +\infty} 0 = 0$.

Cependant, l'intégrale diverge car $\int_0^{+\infty} t dt = \lim_{b \to +\infty} \frac{b^2}{2} = +\infty$. L'une des deux moitiés diverge, donc l'intégrale complète diverge.

Pour comparer la nature de la série $\sum_{n \ge a} f(n)$ et de l'intégrale $\int_a^{+\infty} f(t)dt$, la fonction $f$ doit satisfaire trois hypothèses essentielles sur l'intervalle $[a, +\infty[$ :

1. Continuité : $f$ doit être continue (ou au moins continue par morceaux).
2. Positivité : $f(t) \ge 0$ pour tout $t \ge a$.
3. Décroissance : $f$ doit être décroissante.

Si ces trois conditions sont remplies, alors la série $\sum f(n)$ et l'intégrale $\int_a^{+\infty} f(t)dt$ sont de même nature : soit les deux convergent, soit les deux divergent.

Étapes :

1. Définir la fonction associée : On pose $f(t) = \frac{1}{t^\alpha}$ pour $t \in [1, +\infty[$.

2. Vérifier les hypothèses : Pour $\alpha > 0$:

   • Continuité : $f$ est continue sur $[1, +\infty[$.
   • Positivité : Si $t \ge 1$, $t^\alpha > 0$, donc $f(t) > 0$.
   • Décroissance : La dérivée $f'(t) = -\alpha t^{-\alpha-1} = -\frac{\alpha}{t^{\alpha+1}}$ est négative, donc $f$ est décroissante.

3. Appliquer le critère : La série $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ a la même nature que l'intégrale $\int_1^{+\infty} \frac{1}{t^\alpha} dt$.

4. Étudier la convergence de l'intégrale :

   • Si $\alpha = 1$, $\int_1^{+\infty} \frac{1}{t} dt = [\ln(t)]_1^{+\infty} = +\infty$. L'intégrale diverge.
   • Si $\alpha \neq 1$, $\int_1^{+\infty} t^{-\alpha} dt = \left[\frac{t^{1-\alpha}}{1-\alpha}\right]_1^{+\infty}$. Cette limite est finie si et seulement si l'exposant $1-\alpha$ est négatif, c'est-à-dire $1-\alpha < 0 \iff \alpha > 1$.

Conclusion : La série de Riemann $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha > 1$.

Si une série $\sum f(n)$ vérifie les conditions du critère (positive, continue, décroissante) et qu'elle converge, alors son reste d'ordre $n$, noté $R_n = \sum_{k=n+1}^\infty f(k)$, peut être encadré par deux intégrales.

Formule :

$\int_{n+1}^{+\infty} f(t)dt \le R_n \le \int_n^{+\infty} f(t)dt$

Utilité : Cette formule est très puissante pour estimer la valeur du reste. Elle nous dit que la somme des termes restants est très proche de l'aire sous la courbe de $f$ à partir du rang $n$. Cela permet de savoir combien de termes calculer pour atteindre une précision souhaitée.

Exemple : Pour $\sum 1/n^2$, on a $R_n \approx \int_n^{+\infty} \frac{1}{t^2} dt = \frac{1}{n}$.

Soient $\sum u_n$ et $\sum v_n$ deux séries dont les termes sont positifs à partir d'un certain rang.

On suppose que les termes généraux sont équivalents, c'est-à-dire $u_n \sim v_n$ quand $n \to +\infty$. (Cela signifie que $\lim_{n \to \infty} \frac{u_n}{v_n} = 1$).

Théorème :

Sous ces conditions, les séries $\sum u_n$ et $\sum v_n$ sont de même nature.

$\left( \sum u_n \text{ converge} \right) \Longleftrightarrow \left( \sum v_n \text{ converge} \right)$

C'est un outil très efficace qui permet de simplifier le terme général d'une série pour le comparer à une série de référence (comme une série de Riemann).

On utilise le critère des équivalents pour les séries à termes positifs.

Étapes :

1. Vérifier le signe des termes : Pour $n \ge 1$, on a $\frac{1}{n^2} > 0$, donc $\ln(1 + \frac{1}{n^2}) > \ln(1) = 0$. Les termes de la série sont bien positifs.

2. Trouver un équivalent simple : On sait que $\frac{1}{n^2} \to 0$ lorsque $n \to +\infty$. On peut donc utiliser l'équivalent usuel $\ln(1+x) \sim x$ quand $x \to 0$.

   En posant $x = \frac{1}{n^2}$, on obtient :

   $u_n = \ln\left(1 + \frac{1}{n^2}\right) \sim \frac{1}{n^2}$

3. Analyser la série de l'équivalent : La série $\sum \frac{1}{n^2}$ est une série de Riemann avec $\alpha = 2$. Puisque $2 > 1$, elle converge.

4. Conclure avec le critère des équivalents : Comme les séries sont à termes positifs et que $u_n \sim \frac{1}{n^2}$, la série $\sum u_n$ est de même nature que $\sum \frac{1}{n^2}$.

Conclusion : La série $\sum \ln\left(1 + \frac{1}{n^2}\right)$ converge.

C'est un critère de convergence spécifique aux séries dont les termes alternent en signe. Une série alternée s'écrit sous la forme $\sum (-1)^n b_n$ ou $\sum (-1)^{n+1} b_n$, avec $b_n \ge 0$.

Théorème (Critère Spécial des Séries Alternées) :

La série alternée $\sum (-1)^n b_n$ converge si les deux conditions suivantes sont satisfaites :

1. Décroissance : La suite $(b_n)$ est décroissante à partir d'un certain rang.
2. Limite nulle : La suite $(b_n)$ tend vers 0, c'est-à-dire $\lim_{n \to \infty} b_n = 0$.

Exemple classique : La série harmonique alternée $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}$ converge car $b_n=1/n$ est positive, décroissante et tend vers 0.

Pour une série alternée $\sum u_n = \sum (-1)^n b_n$ qui vérifie les conditions du critère (la suite $(b_n)$ est positive, décroissante et tend vers 0), on dispose d'une majoration très simple et utile de l'erreur.

Formule de majoration du reste :

Le reste d'ordre $n$, $R_n = S - s_n$ (où $S$ est la somme totale et $s_n$ la somme partielle), est toujours plus petit en valeur absolue que le premier terme que l'on a négligé.

$|R_n| = |S - s_n| \le |u_{n+1}| = b_{n+1}$

En pratique : Si vous calculez la somme des termes jusqu'à $u_n$, l'erreur que vous commettez est inférieure à la valeur absolue du terme suivant, $u_{n+1}$. De plus, le reste $R_n$ a le même signe que ce premier terme négligé $u_{n+1}$.

Le comportement est radicalement différent et est décrit par le théorème de réarrangement de Riemann.

1. Série Absolument Convergente : (Ex: $\sum \frac{(-1)^n}{n^2}$)

   Une série est absolument convergente si la série de ses valeurs absolues $\sum |u_n|$ converge. Pour ces séries, l'ordre des termes n'a aucune importance.

   On peut réarranger (permuter) les termes dans n'importe quel ordre, la série convergera toujours et donnera la même somme. Elles se comportent comme des sommes finies.

2. Série Semi-Convergente : (Ex: $\sum \frac{(-1)^n}{n}$)

   Une série est semi-convergente si elle converge, mais pas absolument (c'est-à-dire $\sum u_n$ converge, mais $\sum |u_n|$ diverge). Pour ces séries, l'ordre des termes est crucial.

   On peut réarranger les termes pour que la nouvelle série converge vers n'importe quelle valeur réelle souhaitée ! On peut même la faire diverger vers $+\infty$ ou $-\infty$.

Conclusion : La convergence absolue est la condition qui garantit la "stabilité" de la somme d'une série.

Non, pas toujours. Cela dépend de la nature de la série de départ.

Le théorème de sommation par paquets (ou associativité) dit :

1. Si la série de départ $\sum u_n$ converge, alors on peut regrouper ses termes en "paquets" comme on le souhaite. La nouvelle série formée par la somme de ces paquets convergera aussi, et vers la même somme.

   Par exemple, si $\sum u_n$ converge vers $S$, alors $\sum (u_{2k}+u_{2k+1})$ converge aussi vers $S$.

2. La réciproque est fausse en général. Si la série des paquets converge, cela ne garantit pas que la série de départ convergeait.

Contre-exemple pour la réciproque :

La série $\sum (-1)^n = 1 - 1 + 1 - 1 + \dots$ diverge.

Si on la regroupe par paquets de deux : $(1-1) + (1-1) + \dots = 0 + 0 + \dots$

La série des paquets $\sum 0$ converge vers 0, mais la série initiale divergeait.

Cas particulier important : La réciproque devient vraie si la série $\sum u_n$ est à termes positifs.