Séries Numériques (suite) - preuves (A)

Soit $f(t) = \frac{1}{t^\alpha}$ définie sur $[1, +\infty[$. La fonction est continue sur cet intervalle.

On étudie la limite $I = \lim_{X \to +\infty} \int_1^X \frac{1}{t^\alpha} dt$.

Étape 1 : Calcul de la primitive pour $\alpha \neq 1$

Si $\alpha \neq 1$, une primitive de $t^{-\alpha}$ est $\frac{t^{1-\alpha}}{1-\alpha}$.

$\int_1^X t^{-\alpha} dt = \left[ \frac{t^{1-\alpha}}{1-\alpha} \right]_1^X = \frac{X^{1-\alpha}}{1-\alpha} - \frac{1}{1-\alpha}$

Étape 2 : Étude de la limite pour $\alpha \neq 1$

On cherche $\lim_{X \to +\infty} X^{1-\alpha}$.

• Si $\alpha > 1$ : Alors $1-\alpha < 0$. On peut écrire $X^{1-\alpha} = \frac{1}{X^{\alpha-1}}$. Puisque $\alpha-1 > 0$, $\lim_{X \to +\infty} X^{1-\alpha} = 0$.

  Dans ce cas, $\lim_{X \to +\infty} \int_1^X f(t)dt = 0 - \frac{1}{1-\alpha} = \frac{1}{\alpha-1}$. La limite est finie, l'intégrale converge.

• Si $\alpha < 1$ : Alors $1-\alpha > 0$.

  Dans ce cas, $\lim_{X \to +\infty} X^{1-\alpha} = +\infty$. L'intégrale diverge.

Étape 3 : Étude du cas $\alpha = 1$

Si $\alpha = 1$, la fonction est $\frac{1}{t}$. Une primitive est $\ln(t)$.

$\int_1^X \frac{1}{t} dt = [\ln(t)]_1^X = \ln(X) - \ln(1) = \ln(X)$

Or, $\lim_{X \to +\infty} \ln(X) = +\infty$. L'intégrale diverge.

Conclusion :

L'intégrale $\int_1^{+\infty} \frac{1}{t^\alpha} dt$ admet une limite finie si et seulement si $\alpha > 1$.

Soit $X$ un réel tel que $X > c > a$.

Puisque $f$ est continue par morceaux, l'intégrale sur le segment $[a, X]$ existe. D'après la relation de Chasles pour l'intégrale de Riemann classique :

$\int_a^X f(t)dt = \int_a^c f(t)dt + \int_c^X f(t)dt$

Étape 1 : Passage à la limite

On cherche à faire tendre $X$ vers $+\infty$.

Le terme $\int_a^c f(t)dt$ est une intégrale sur un intervalle fermé et borné d'une fonction continue par morceaux. C'est donc une constante réelle $K$ (elle ne dépend pas de $X$).

L'égalité devient :

$F(X) = K + G(X)$

où $F(X) = \int_a^X f(t)dt$ et $G(X) = \int_c^X f(t)dt$.

Étape 2 : Analyse de la convergence

• Si $\lim_{X \to +\infty} G(X)$ existe et vaut une valeur finie $L$, alors $\lim_{X \to +\infty} F(X)$ existe et vaut $K + L$.
• Si $\lim_{X \to +\infty} F(X)$ existe et vaut une valeur finie $M$, alors $\lim_{X \to +\infty} G(X)$ existe et vaut $M - K$.

Conclusion :

L'existence (et la finitude) de la limite de $\int_a^X f(t)dt$ est équivalente à l'existence de la limite de $\int_c^X f(t)dt$. Les deux intégrales généralisées sont donc de même nature.

Étape 1 : Encadrement sur un intervalle unité

La fonction $f$ est décroissante sur $[1, +\infty[$.

Pour tout $t \in [k, k+1]$ (avec $k$ entier), on a :

$k \le t \le k+1 \implies f(k+1) \le f(t) \le f(k)$

En intégrant cette inégalité par rapport à $t$ sur l'intervalle $[k, k+1]$ (de longueur 1) :

$\int_k^{k+1} f(k+1) dt \le \int_k^{k+1} f(t) dt \le \int_k^{k+1} f(k) dt$

Puisque $f(k)$ et $f(k+1)$ sont constants par rapport à $t$ :

$f(k+1) \cdot (k+1-k) \le \int_k^{k+1} f(t) dt \le f(k) \cdot (k+1-k)$

$f(k+1) \le \int_k^{k+1} f(t) dt \le f(k) \quad (\star)$

Étape 2 : Sommation pour la borne supérieure

Prenons la partie droite de l'inégalité $(\star)$ : $\int_k^{k+1} f(t) dt \le f(k)$.

Sommons cette inégalité pour $k$ allant de $1$ à $n$ :

$\sum_{k=1}^n \int_k^{k+1} f(t) dt \le \sum_{k=1}^n f(k)$

D'après la relation de Chasles, le terme de gauche est $\int_1^{n+1} f(t) dt$.

Donc : $\int_1^{n+1} f(t)dt \le \sum_{k=1}^n f(k)$.

Étape 3 : Sommation pour la borne inférieure

Prenons la partie gauche de l'inégalité $(\star)$ : $f(k+1) \le \int_k^{k+1} f(t) dt$.

Pour faire apparaître $\sum f(k)$, posons le changement d'indice $j = k+1$. L'inégalité devient $f(j) \le \int_{j-1}^j f(t)dt$.

Sommons pour $k$ allant de $1$ à $n-1$ :

$\sum_{k=1}^{n-1} f(k+1) \le \sum_{k=1}^{n-1} \int_k^{k+1} f(t) dt$

Le membre de gauche est $\sum_{j=2}^n f(j) = \left(\sum_{j=1}^n f(j)\right) - f(1)$.

Le membre de droite est $\int_1^n f(t) dt$.

Donc :

$\sum_{k=1}^n f(k) - f(1) \le \int_1^n f(t) dt$

$\sum_{k=1}^n f(k) \le f(1) + \int_1^n f(t) dt$

Conclusion :

En combinant les résultats, on obtient l'encadrement fondamental :

$\int_1^{n+1} f(t)dt \le \sum_{k=1}^n f(k) \le f(1) + \int_1^n f(t)dt$

Soit $f(t) = \frac{1}{t^\alpha}$ pour $t \ge 1$.

Étape 1 : Vérification des hypothèses

• $f$ est continue sur $[1, +\infty[$.
• $f$ est positive car $t > 0$.
• $f'(t) = -\alpha t^{-\alpha-1}$. Pour $t \ge 1$ et $\alpha \in \mathbb{R}$, le signe dépend de $\alpha$.
  • Si $\alpha > 0$, $f$ est strictement décroissante (hypothèse vérifiée).
  • Si $\alpha \le 0$, le terme général $1/n^\alpha$ ne tend pas vers 0, la série diverge grossièrement. (On se concentre donc sur le cas $\alpha > 0$ pour l'application du critère).

Étape 2 : Application du critère

Puisque $f$ est continue, positive et décroissante pour $\alpha > 0$, le critère de comparaison série-intégrale affirme que $\sum f(n)$ et $\int_1^{+\infty} f(t)dt$ sont de même nature.

Étape 3 : Conclusion via l'intégrale

Nous avons précédemment démontré que $\int_1^{+\infty} \frac{1}{t^\alpha} dt$ converge si et seulement si $\alpha > 1$.

Par conséquent :

• Si $\alpha > 1$, la série $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ converge.
• Si $0 < \alpha \le 1$, la série $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ diverge.
• (Rappel : Si $\alpha \le 0$, divergence grossière).

Conclusion : La série de Riemann converge si et seulement si $\alpha > 1$.

Étape 1 : Traduction de l'équivalence

L'hypothèse $u_n \sim v_n$ signifie que $\lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{v_n} = 1$.

Par définition de la limite, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un rang $N$ tel que pour tout $n \ge N$ :

$1 - \varepsilon \le \frac{u_n}{v_n} \le 1 + \varepsilon$

Étape 2 : Majoration

Choisissons $\varepsilon = 1$ (ou n'importe quelle valeur positive). Il existe $N$ tel que pour $n \ge N$ :

$\frac{u_n}{v_n} \le 1 + 1 = 2$

Puisque $v_n > 0$, on peut multiplier l'inégalité :

$u_n \le 2 v_n$

Étape 3 : Comparaison

Nous savons que :

1. $0 < u_n \le 2 v_n$ pour $n \ge N$.
2. La série $\sum v_n$ converge par hypothèse.
3. Par les propriétés de linéarité, la série $\sum 2v_n$ converge également.

D'après le théorème de comparaison des séries à termes positifs, si la série majorante converge ($\sum 2v_n$), alors la série majorée ($\sum u_n$) converge.

Conclusion :

Si $u_n \sim v_n$ et $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ converge.

Étape 1 : Minoration via l'équivalence

Comme $\lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{v_n} = 1$, choisissons $\varepsilon = \frac{1}{2}$.

Il existe un entier $N$ tel que pour tout $n \ge N$ :

$1 - \frac{1}{2} \le \frac{u_n}{v_n}$

$\frac{1}{2} \le \frac{u_n}{v_n}$

Étape 2 : Comparaison

Puisque $v_n > 0$, on a :

$\frac{1}{2} v_n \le u_n$

Nous avons les conditions suivantes :

1. $u_n \ge \frac{1}{2} v_n > 0$ pour $n \ge N$.
2. La série $\sum v_n$ diverge par hypothèse, donc $\sum \frac{1}{2}v_n$ diverge aussi.

D'après le théorème de comparaison des séries à termes positifs, si la série minorante diverge vers $+\infty$, alors la série minorée ($\sum u_n$) diverge également.

Conclusion :

Si $u_n \sim v_n$ et $\sum v_n$ diverge, alors $\sum u_n$ diverge.

Soit $S_n = \sum_{k=0}^n (-1)^k b_n$.

Étape 1 : Monotonie des sous-suites

Étudions la suite des indices pairs $(S_{2n})$ :

$S_{2n+2} - S_{2n} = (-1)^{2n+2}b_{2n+2} + (-1)^{2n+1}b_{2n+1} = b_{2n+2} - b_{2n+1}$

Comme la suite $(b_n)$ est décroissante, $b_{2n+2} \le b_{2n+1}$, donc $S_{2n+2} - S_{2n} \le 0$.

La suite $(S_{2n})$ est décroissante.

Étudions la suite des indices impairs $(S_{2n+1})$ :

$S_{2n+3} - S_{2n+1} = (-1)^{2n+3}b_{2n+3} + (-1)^{2n+2}b_{2n+2} = -b_{2n+3} + b_{2n+2}$

Comme $(b_n)$ est décroissante, $b_{2n+3} \le b_{2n+2}$, donc $b_{2n+2} - b_{2n+3} \ge 0$.

La suite $(S_{2n+1})$ est croissante.

Étape 2 : Différence des suites

Calculons la différence entre les deux sous-suites :

$S_{2n+1} - S_{2n} = (-1)^{2n+1}b_{2n+1} = -b_{2n+1}$

Par hypothèse, $\lim_{n \to +\infty} b_n = 0$, donc $\lim_{n \to +\infty} (S_{2n+1} - S_{2n}) = 0$.

Conclusion :

Les suites $(S_{2n})$ et $(S_{2n+1})$ sont adjacentes (l'une croît, l'autre décroît, leur différence tend vers 0). Elles convergent donc vers une même limite commune $S$.

Comme les sommes partielles paires et impaires convergent vers $S$, la suite complète $(S_n)$ converge vers $S$. La série est convergente.

D'après la preuve précédente sur le critère des séries alternées, les sommes partielles paires $(S_{2p})$ forment une suite décroissante convergeant vers $S$, et les sommes partielles impaires $(S_{2p+1})$ forment une suite croissante convergeant vers $S$.

On a donc l'encadrement pour tout $p$ :

$S_{2p+1} \le S \le S_{2p}$

Étape 1 : Cas où $n$ est pair

Posons $n = 2p$. On a $S_{2p+1} \le S \le S_{2p}$.

Donc $S - S_{2p}$ est négatif ou nul, et $S_{2p+1} - S_{2p} \le S - S_{2p} \le 0$.

En valeur absolue :

$|S - S_{2p}| = S_{2p} - S \le S_{2p} - S_{2p+1}$

Or $S_{2p+1} = S_{2p} + (-1)^{2p+1} b_{2p+1} = S_{2p} - b_{2p+1}$.

Donc $S_{2p} - S_{2p+1} = b_{2p+1}$.

Ainsi : $|R_n| \le b_{n+1}$.

Étape 2 : Cas où $n$ est impair

Posons $n = 2p+1$. On a $S_{n} \le S \le S_{n+1}$ (car $S_{n+1}$ est une somme paire, donc au-dessus de $S$).

Donc $0 \le S - S_n \le S_{n+1} - S_n$.

Or $S_{n+1} - S_n = (-1)^{n+1} b_{n+1}$. Comme $n$ est impair, $n+1$ est pair, donc $(-1)^{n+1}=1$.

$S_{n+1} - S_n = b_{n+1}$.

Ainsi : $|R_n| \le b_{n+1}$.

Conclusion :

Dans tous les cas, l'erreur commise en approximant la somme $S$ par la somme partielle $S_n$ est inférieure ou égale à la valeur absolue du premier terme non sommé : $|R_n| \le b_{n+1}$.

Soit $S_n = \sum_{i=0}^n u_i$ la suite des sommes partielles de la série initiale.

Par hypothèse, $\lim_{n \to +\infty} S_n = S$.

Étape 1 : Expression des sommes partielles des paquets

Considérons la somme partielle $V_m$ de la série des paquets pour un entier $m$ :

$V_m = \sum_{k=0}^m v_k = \sum_{k=0}^m (u_{2k} + u_{2k+1})$

En développant la somme :

$V_m = (u_0 + u_1) + (u_2 + u_3) + \dots + (u_{2m} + u_{2m+1})$

On reconnaît exactement la somme partielle de la série originale jusqu'à l'indice $2m+1$.

$V_m = S_{2m+1}$

Étape 2 : Convergence

La suite $(V_m)_{m \ge 0}$ est donc la suite extraite $(S_{2m+1})_{m \ge 0}$ de la suite $(S_n)$.

Dans un espace métrique (comme $\mathbb{R}$), si une suite converge vers une limite $S$, alors toute sous-suite extraite converge vers la même limite $S$.

Comme $S_n \to S$, alors $S_{2m+1} \to S$.

Donc $V_m \to S$.

Conclusion :

La série regroupée par paquets de deux converge vers la même somme que la série initiale.

Soit $f(t) = \frac{1}{t}$. Cette fonction est continue, positive et décroissante sur $[1, +\infty[$.

Étape 1 : Utilisation de la minoration

Nous avons vu dans la preuve de l'encadrement série-intégrale que :

$\sum_{k=1}^n f(k) \ge \int_1^{n+1} f(t)dt$

En remplaçant $f(t)$ par $1/t$ :

$S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \ge \int_1^{n+1} \frac{1}{t} dt$

Étape 2 : Calcul de l'intégrale

$\int_1^{n+1} \frac{1}{t} dt = [\ln(t)]_1^{n+1} = \ln(n+1) - \ln(1) = \ln(n+1)$

Étape 3 : Passage à la limite

On a donc l'inégalité :

$S_n \ge \ln(n+1)$

Or, $\lim_{n \to +\infty} \ln(n+1) = +\infty$.

Par comparaison, $\lim_{n \to +\infty} S_n = +\infty$.

Conclusion :

La série harmonique diverge vers $+\infty$.