Séries Numériques - preuves (A)

Soient $(S_{n, u})$ et $(S_{n, v})$ les suites des sommes partielles respectives des séries $\sum u_n$ et $\sum v_n$.

Étape 1 : Expression de la somme partielle de la combinaison linéaire

Notons $S_n$ la somme partielle de la série $\sum (u_n + \lambda v_n)$. Par linéarité de la somme finie, on a pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

$S_n = \sum_{k=0}^{n} (u_k + \lambda v_k) = \sum_{k=0}^{n} u_k + \lambda \sum_{k=0}^{n} v_k = S_{n, u} + \lambda S_{n, v}$

Étape 2 : Passage à la limite

Puisque $\sum u_n$ converge vers $S_u$, on a $\lim_{n \to \infty} S_{n, u} = S_u$.

Puisque $\sum v_n$ converge vers $S_v$, on a $\lim_{n \to \infty} S_{n, v} = S_v$.

D'après les théorèmes sur les opérations sur les limites de suites :

$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} (S_{n, u} + \lambda S_{n, v}) = \lim_{n \to \infty} S_{n, u} + \lambda \lim_{n \to \infty} S_{n, v} = S_u + \lambda S_v$

Conclusion :

La suite des sommes partielles $S_n$ converge vers $S_u + \lambda S_v$. La série $\sum (u_n + \lambda v_n)$ est donc convergente et sa somme est $S_u + \lambda S_v$.

Soit $S_n = \sum_{k=0}^{n} r^k$.

Cas 1 : $r = 1$

$S_n = \sum_{k=0}^{n} 1 = n+1$

La suite $(S_n)$ tend vers $+\infty$, donc la série diverge.

Cas 2 : $r \neq 1$

On utilise l'identité algébrique classique pour la somme des termes d'une suite géométrique :

$S_n = \frac{1 - r^{n+1}}{1 - r} = \frac{1}{1-r} - \frac{r^{n+1}}{1-r}$

La convergence de la suite $(S_n)$ dépend uniquement de la convergence de la suite $(r^{n+1})$.

• Si $|r| < 1$, alors $\lim_{n \to \infty} r^{n+1} = 0$.

  Donc $\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{1 - 0}{1-r} = \frac{1}{1-r}$.

• Si $|r| > 1$, alors $|r|^{n+1} \to +\infty$, donc la suite $(S_n)$ diverge.

• Si $r = -1$, alors $r^{n+1}$ oscille entre $1$ et $-1$. La suite $(S_n)$ n'a pas de limite.

Conclusion :

La série géométrique converge si et seulement si $|r| < 1$. Sa somme est alors $\sum_{n=0}^{\infty} r^n = \frac{1}{1-r}$.

Soit $S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k$ la somme partielle d'ordre $n$.

On suppose que la série converge vers une somme $S$, c'est-à-dire que $\lim_{n \to \infty} S_n = S$.

Étape 1 : Relation entre terme général et sommes partielles

Pour tout $n \ge 1$, on peut écrire :

$S_n - S_{n-1} = \sum_{k=0}^{n} u_k - \sum_{k=0}^{n-1} u_k = u_n$

Étape 2 : Passage à la limite

Puisque $n \to \infty$ implique $n-1 \to \infty$, on a également $\lim_{n \to \infty} S_{n-1} = S$.

En passant à la limite dans l'égalité précédente :

$\lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} (S_n - S_{n-1}) = \lim_{n \to \infty} S_n - \lim_{n \to \infty} S_{n-1}$

$\lim_{n \to \infty} u_n = S - S = 0$

Conclusion :

Si la série converge, son terme général tend nécessairement vers 0.

Soit $\sum u_n$ une série absolument convergente, c'est-à-dire que la série $\sum |u_n|$ converge.

Étape 1 : Application du critère de Cauchy à $\sum |u_n|$

Comme $\sum |u_n|$ converge, elle vérifie le critère de Cauchy.

Pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un entier $N$ tel que pour tous $q \ge p > N$ :

$\sum_{k=p}^{q} |u_k| < \varepsilon$

(Note : on peut enlever la valeur absolue autour de la somme car les termes $|u_k|$ sont positifs).

Étape 2 : Utilisation de l'inégalité triangulaire

On cherche à montrer que $\sum u_n$ vérifie le critère de Cauchy. Considérons la valeur absolue de la tranche de Cauchy pour la série $\sum u_n$ :

$\left| \sum_{k=p}^{q} u_k \right|$

D'après l'inégalité triangulaire généralisée :

$\left| \sum_{k=p}^{q} u_k \right| \le \sum_{k=p}^{q} |u_k|$

Étape 3 : Conclusion

En combinant les deux étapes, pour le même $N$, si $q \ge p > N$ :

$\left| \sum_{k=p}^{q} u_k \right| \le \sum_{k=p}^{q} |u_k| < \varepsilon$

La série $\sum u_n$ vérifie le critère de Cauchy. Comme $\mathbb{R}$ et $\mathbb{C}$ sont complets, la série $\sum u_n$ est convergente.

Soit $\sum u_n$ une série telle que pour tout $n$, $u_n \ge 0$.

Soit $(S_n)$ la suite des sommes partielles définie par $S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k$.

Étape 1 : Monotonie de $(S_n)$

Calculons la différence entre deux termes consécutifs :

$S_{n+1} - S_n = u_{n+1}$

Comme $u_{n+1} \ge 0$, on a $S_{n+1} \ge S_n$.

La suite $(S_n)$ est donc croissante.

Étape 2 : Application du théorème de la limite monotone

D'après le théorème de convergence des suites monotones :

• Si une suite croissante est majorée, alors elle converge vers une limite finie.
• Si une suite croissante n'est pas majorée, alors elle tend vers $+\infty$.

Conclusion :

La série $\sum u_n$ converge (c'est-à-dire que la suite $(S_n)$ a une limite finie) si et seulement si la suite $(S_n)$ est majorée.

Soient $S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k$ et $T_n = \sum_{k=0}^{n} v_k$ les sommes partielles respectives.

On suppose que $\sum v_n$ converge. Notons $T = \sum_{k=0}^{\infty} v_k$ sa somme.

Étape 1 : Comparaison des sommes partielles

Puisque $0 \le u_k \le v_k$ pour tout $k$, en sommant ces inégalités, on obtient :

$S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k \le \sum_{k=0}^{n} v_k = T_n$

Étape 2 : Majoration

Puisque la série $\sum v_n$ est à termes positifs et converge vers $T$, la suite $(T_n)$ est croissante et tend vers $T$. Donc pour tout $n$, $T_n \le T$.

Il s'ensuit que :

$\forall n \in \mathbb{N}, \quad S_n \le T$

Conclusion :

La suite $(S_n)$ est croissante (car $u_n \ge 0$) et majorée par $T$. D'après le théorème de convergence des séries à termes positifs, la série $\sum u_n$ converge.

Soit $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$. Nous allons montrer que la suite $(S_n)$ n'est pas de Cauchy.

Étape 1 : Estimation de $S_{2n} - S_n$

Considérons la tranche de termes entre $n+1$ et $2n$ :

$S_{2n} - S_n = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{2n}$

Cette somme contient $n$ termes.

Pour tout $k$ compris entre $n+1$ et $2n$, on a $k \le 2n$, donc $\frac{1}{k} \ge \frac{1}{2n}$.

Étape 2 : Minoration

$S_{2n} - S_n = \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} \ge \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{2n} = n \times \frac{1}{2n} = \frac{1}{2}$

Conclusion :

Pour tout $n$, la différence $|S_{2n} - S_n| \ge 1/2$.

Le critère de Cauchy impose que pour tout $\varepsilon > 0$, $|S_q - S_p| < \varepsilon$ pour $p, q$ assez grands.

Ici, si on prend $\varepsilon = 1/2$, on ne pourra jamais satisfaire la condition. La suite des sommes partielles n'est pas de Cauchy, donc la série diverge.

Étape 1 : Choix d'une raison géométrique

Comme $\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = L < 1$, nous pouvons choisir un nombre réel $r$ tel que $L < r < 1$.

Par définition de la limite, il existe un rang $N \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $n \ge N$ :

$\frac{u_{n+1}}{u_n} < r \implies u_{n+1} < r u_n$

Étape 2 : Récurrence et comparaison

Par récurrence, pour tout $k \ge 1$ :

$u_{N+k} < r^k u_N$

Pour tout $n > N$, posons $n = N+k$. Alors :

$u_n < u_N \cdot r^{n-N} = \frac{u_N}{r^N} \cdot r^n$

Posons $C = \frac{u_N}{r^N}$ (une constante). On a donc $u_n < C r^n$ pour $n > N$.

Conclusion :

Le terme général $u_n$ est majoré (à partir du rang $N$) par $C r^n$.

La série $\sum C r^n$ est une série géométrique convergente (car $|r| < 1$).

D'après le théorème de comparaison pour les séries à termes positifs, $\sum u_n$ converge.

Étape 1 : Utilisation de la définition de la limite

Puisque $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n} = L > 1$, il existe un rang $N$ tel que pour tout $n \ge N$ :

$\sqrt[n]{u_n} > 1$

(On peut par exemple prendre $\varepsilon = L-1 > 0$, alors $\sqrt[n]{u_n} > L - \varepsilon = 1$).

Étape 2 : Comportement du terme général

Si $\sqrt[n]{u_n} > 1$, en élevant à la puissance $n$, on obtient :

$u_n > 1^n = 1$

Pour tout $n \ge N$, $u_n > 1$.

Conclusion :

La suite $(u_n)$ ne peut pas converger vers 0 (puisqu'elle reste supérieure à 1).

La condition nécessaire de convergence ($\lim u_n = 0$) n'est pas satisfaite.

Donc, la série $\sum u_n$ diverge.

Soit $u_n = a_n - a_{n+1}$.

Calculons la somme partielle d'ordre $N$, notée $S_N$.

Étape 1 : Calcul de la somme partielle

$S_N = \sum_{n=0}^{N} (a_n - a_{n+1})$

En développant la somme :

$S_N = (a_0 - a_1) + (a_1 - a_2) + (a_2 - a_3) + \dots + (a_N - a_{N+1})$

Les termes intermédiaires s'annulent deux à deux : $-a_1$ avec $a_1$, $-a_2$ avec $a_2$, etc.

Il ne reste que le premier terme de la première parenthèse et le dernier terme de la dernière parenthèse :

$S_N = a_0 - a_{N+1}$

Étape 2 : Passage à la limite

On sait que $\lim_{N \to \infty} a_N = a$. Cela implique que $\lim_{N \to \infty} a_{N+1} = a$.

Donc :

$\lim_{N \to \infty} S_N = a_0 - \lim_{N \to \infty} a_{N+1} = a_0 - a$

Conclusion :

La suite des sommes partielles converge. La série est convergente et sa somme vaut $\sum_{n=0}^{\infty} (a_n - a_{n+1}) = a_0 - a$.