Séries Numériques - fiches de révision (A)

Une série numérique est un objet mathématique qui vise à donner un sens à la somme d'une infinité de termes d'une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$. Elle est définie par le couple de la suite du terme général $(u_n)$ et de la suite des sommes partielles $(s_n)$.

La suite des sommes partielles $(s_n)$ est définie par :

$s_n = \sum_{k=0}^{n} u_k = u_0 + u_1 + \dots + u_n$

On dit que la série, notée $\sum u_n$, converge si la suite de ses sommes partielles $(s_n)$ converge vers une limite finie $s$. Cette limite est alors appelée la somme de la série. On écrit :

$s = \sum_{k=0}^{\infty} u_k = \lim_{n \to \infty} s_n$

Si la suite $(s_n)$ ne converge pas vers une limite finie, on dit que la série diverge.

En résumé : Pour étudier une série, on ne somme pas une infinité de termes d'un coup. On construit la suite des sommes partielles $(s_0, s_1, s_2, \dots)$ et on regarde si cette suite se stabilise vers une valeur finie.

Exemple : Pour la série de terme général $u_n = (\frac{1}{2})^n$, la somme partielle est $s_n = \sum_{k=0}^n (\frac{1}{2})^k = 2(1 - (\frac{1}{2})^{n+1})$. Comme $\lim_{n \to \infty} s_n = 2$, la série converge et sa somme est 2.

La condition nécessaire de convergence stipule que si une série $\sum u_n$ converge, alors son terme général $u_n$ doit obligatoirement tendre vers 0.

$\text{Si } \sum u_n \text{ converge, alors } \lim_{n \to \infty} u_n = 0.$

Attention : Cette condition est nécessaire, mais pas suffisante. Le fait que $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$ ne garantit pas que la série converge (par exemple, la série harmonique $\sum \frac{1}{n}$ diverge bien que son terme général tende vers 0).

L'utilité principale de cette condition est sa contraposée, qui fournit un test de divergence simple et efficace, souvent appelé le test de divergence grossière :

Si le terme général $u_n$ ne tend pas vers 0 (soit parce que sa limite est non nulle, soit parce qu'il n'a pas de limite), alors la série $\sum u_n$ diverge.

C'est souvent la première chose à vérifier lorsqu'on étudie la nature d'une série.

Exemple d'application :

Soit la série $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n^2}{n^2+1}$.

Le terme général est $u_n = \frac{2n^2}{n^2+1}$.

On a $\lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2}{n^2} = 2$.

Comme la limite n'est pas 0, on peut immédiatement conclure que la série diverge.

Pour calculer la somme d'une série, on doit revenir à la définition : calculer la limite de la suite des sommes partielles $(s_n)$. Les séries télescopiques sont un cas particulier où le calcul des sommes partielles se simplifie grandement.

Étapes :

1. Décomposer le terme général : On utilise la décomposition en éléments simples pour "casser" la fraction.

   $u_n = \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$

2. Écrire la somme partielle $s_n$ : On écrit la somme des termes de $u_1$ à $u_n$.

   $s_n = \sum_{k=1}^{n} u_k = \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right)$

3. Développer la somme pour voir l'annulation :

   $s_n = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)$

   On voit que les termes intermédiaires s'annulent deux à deux (le $-1/2$ avec le $+1/2$, le $-1/3$ avec le $+1/3$, etc.). C'est l'effet "télescopique".

4. Simplifier l'expression de $s_n$ : Après annulation, il ne reste que le premier terme du premier groupe et le dernier terme du dernier groupe.

   $s_n = 1 - \frac{1}{n+1}$

5. Calculer la limite de $s_n$ : La somme de la série est la limite de la suite des sommes partielles.

   $S = \lim_{n \to \infty} s_n = \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n+1}\right) = 1 - 0 = 1$

Conclusion : La série converge et sa somme est 1.

La distinction entre convergence absolue et semi-convergence s'applique aux séries dont les termes ne sont pas tous positifs.

• Convergence Absolue : Une série $\sum u_n$ est absolument convergente si la série des valeurs absolues, $\sum |u_n|$, converge. C'est une forme de convergence "robuste", car la série convergerait même si tous ses termes étaient positifs. Le théorème principal est que toute série absolument convergente est convergente.

• Semi-Convergence : Une série $\sum u_n$ est semi-convergente si elle est convergente, mais pas absolument convergente. Cela signifie que $\sum u_n$ converge, mais que $\sum |u_n|$ diverge. La convergence est plus "fragile", elle dépend des annulations entre les termes positifs et négatifs.

Exemple clé : la série harmonique alternée

Considérons la série $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots$

1. Étude de la convergence : On peut montrer (par exemple avec le critère des séries alternées) que cette série converge (sa somme est $\ln(2)$).

2. Étude de la convergence absolue : On regarde la série des valeurs absolues :

   $\sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{(-1)^{n+1}}{n} \right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$

   C'est la série harmonique, qui diverge.

Conclusion : Puisque la série converge, mais pas absolument, elle est semi-convergente.

En comparaison, la série $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}$ est absolument convergente car la série des valeurs absolues $\sum \frac{1}{n^2}$ converge (série de Riemann avec $p=2>1$).

Une série $\sum u_n$ est dite à termes positifs si $u_n \ge 0$ pour tout $n$.

La propriété fondamentale de ces séries concerne leur suite de sommes partielles $(s_n)$. Comme $s_n = s_{n-1} + u_n$ et que $u_n \ge 0$, on a $s_n \ge s_{n-1}$. La suite des sommes partielles $(s_n)$ est donc croissante.

D'après le théorème de la limite monotone pour les suites, une suite croissante a seulement deux comportements possibles :

1. Si elle est majorée (il existe un $M$ tel que $s_n \le M$ pour tout $n$), alors elle converge vers une limite finie.
2. Si elle n'est pas majorée, alors elle diverge vers $+\infty$.

Conclusion :

Une série à termes positifs converge si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Pourquoi cela simplifie-t-il l'étude ?

1. Pas d'oscillation : La divergence ne peut pas se produire par oscillation (comme pour $\sum (-1)^n$). Soit la somme tend vers une valeur finie, soit elle "explose" vers l'infini. La question de la convergence se ramène donc à : "la somme totale reste-t-elle bornée ?".
2. Accès à des outils puissants : Cette propriété est la base de nombreux critères de convergence spécifiques aux séries à termes positifs, comme les théorèmes de comparaison, les critères de d'Alembert et de Cauchy. Ces tests visent justement à déterminer si les sommes partielles sont majorées, souvent sans avoir à les calculer.

Le critère de comparaison par équivalence (ou par limite) est un outil très puissant pour déterminer la nature des séries à termes positifs.

Théorème :

Soient $\sum u_n$ et $\sum v_n$ deux séries à termes strictement positifs.

Si le terme général $u_n$ est équivalent au terme général $v_n$ quand $n \to \infty$ (ce qui signifie $\lim_{n \to \infty} \frac{u_n}{v_n} = 1$), alors les deux séries $\sum u_n$ et $\sum v_n$ ont la même nature (soit les deux convergent, soit les deux divergent).

Étapes pour l'appliquer :

1. Vérifier le signe : S'assurer que le terme général $u_n$ de la série à étudier est positif, au moins à partir d'un certain rang.
2. Trouver un équivalent simple : Trouver un équivalent simple $v_n$ de $u_n$ lorsque $n \to \infty$. On utilise pour cela les équivalents usuels (polynômes, fonctions trigonométriques, exponentielles, etc.).
3. Déterminer la nature de la série de référence : La nature de la série $\sum v_n$ doit être connue. On se ramène très souvent à une série de Riemann ($\sum \frac{1}{n^p}$) ou à une série géométrique ($\sum r^n$).
4. Conclure : Puisque $u_n \sim v_n$, les séries $\sum u_n$ et $\sum v_n$ sont de même nature.

Exemple :

Quelle est la nature de la série $\sum_{n=1}^{\infty} \sin\left(\frac{1}{n^2}\right)$ ?

1. Signe : Pour $n \ge 1$, $0 < \frac{1}{n^2} \le 1$, donc $u_n = \sin(\frac{1}{n^2}) > 0$. La série est à termes positifs.

2. Équivalent : Quand $n \to \infty$, $\frac{1}{n^2} \to 0$. On utilise l'équivalent usuel $\sin(x) \sim x$ quand $x \to 0$.

   Donc, $u_n = \sin\left(\frac{1}{n^2}\right) \sim \frac{1}{n^2}$. On choisit $v_n = \frac{1}{n^2}$.

3. Série de référence : La série $\sum v_n = \sum \frac{1}{n^2}$ est une série de Riemann avec $p=2 > 1$, donc elle converge.

4. Conclusion : Par le critère de comparaison par équivalence, la série $\sum \sin\left(\frac{1}{n^2}\right)$ a la même nature que $\sum \frac{1}{n^2}$, elle est donc convergente.

Il est crucial de ne pas confondre ces deux notions.

• Convergence de la suite $(u_n)$ : Elle s'intéresse au comportement du terme général $u_n$ lorsque $n$ devient infiniment grand. La question est : "Est-ce que les termes $u_n$ se rapprochent d'une valeur limite finie ?".

  $\lim_{n \to \infty} u_n = L$

• Convergence de la série $\sum u_n$ : Elle s'intéresse au comportement de la somme des termes $u_0 + u_1 + u_2 + \dots$. La question est : "Est-ce que la somme cumulée de tous les termes tend vers une valeur finie ?". Pour y répondre, on regarde la limite de la suite des sommes partielles $s_n = \sum_{k=0}^n u_k$.

  $\lim_{n \to \infty} s_n = S$

Le lien entre les deux est la condition nécessaire de convergence : Pour que la série ait une chance de converger (que la somme soit finie), il faut absolument que les termes qu'on ajoute tendent vers zéro.

$\sum u_n \text{ converge } \implies \lim_{n \to \infty} u_n = 0$

Le contre-exemple fondamental : La série harmonique

• La suite $(u_n)$ : Soit $u_n = \frac{1}{n}$. La suite $(1, 1/2, 1/3, \dots)$ converge vers 0.
• La série $\sum u_n$ : La série $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots$ diverge (elle tend vers $+\infty$).

Cet exemple montre de manière éclatante que la convergence du terme général vers 0 ne suffit pas à garantir la convergence de la série. Les termes deviennent infiniment petits, mais "pas assez vite" pour que leur somme reste finie.

Le théorème de comparaison par inégalité s'applique aux séries à termes positifs. Il stipule que si $0 \le u_n \le v_n$ à partir d'un certain rang :

• Si la série "majorante" $\sum v_n$ converge, alors la série "minorée" $\sum u_n$ converge.
• Si la série "minorée" $\sum u_n$ diverge, alors la série "majorante" $\sum v_n$ diverge.

Étapes pour l'appliquer à $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2 + \ln(n)}$ :

1. Vérifier le signe : Pour $n \ge 1$, $n^2 > 0$ et $\ln(n) \ge 0$. Donc $u_n = \frac{1}{n^2 + \ln(n)}$ est positif. La série est à termes positifs.

2. Trouver une série de comparaison simple : L'idée est de simplifier le terme général en le majorant ou en le minorant. Ici, le terme $\ln(n)$ est "petit" par rapport à $n^2$. On peut essayer de le supprimer.

3. Établir une inégalité : Pour $n \ge 1$, on a $\ln(n) \ge 0$, donc $n^2 + \ln(n) \ge n^2$.

   En passant à l'inverse (ce qui change le sens de l'inégalité car les termes sont positifs), on obtient :

   $0 \le \frac{1}{n^2 + \ln(n)} \le \frac{1}{n^2}$

   On a donc trouvé une inégalité $u_n \le v_n$ avec $v_n = \frac{1}{n^2}$.

4. Déterminer la nature de la série de référence : La série de référence est $\sum v_n = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$. C'est une série de Riemann avec $p=2$. Puisque $p > 1$, la série converge.

5. Conclure : Notre série $\sum u_n$ est majorée par une série convergente $\sum v_n$. D'après le théorème de comparaison par inégalité, la série $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2 + \ln(n)}$ converge.

Cette série est à termes positifs et fait intervenir des factorielles et des puissances. C'est un cas idéal pour appliquer le critère de d'Alembert (règle du rapport).

Rappel du critère de d'Alembert :

Soit $\sum u_n$ une série à termes strictement positifs. On calcule la limite $L = \lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}$.

• Si $L < 1$, la série converge.
• Si $L > 1$, la série diverge.
• Si $L = 1$, on ne peut pas conclure.

Application :

1. Identifier le terme général :

   $u_n = \frac{n!}{100^n}$. Les termes sont bien positifs.

2. Calculer le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ :

   $u_{n+1} = \frac{(n+1)!}{100^{n+1}}$

   $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{(n+1)!}{100^{n+1}} \times \frac{100^n}{n!}$

3. Simplifier l'expression : On regroupe les termes de même nature.

   • Pour les factorielles : $\frac{(n+1)!}{n!} = \frac{(n+1) \times n!}{n!} = n+1$
   • Pour les puissances : $\frac{100^n}{100^{n+1}} = \frac{1}{100}$

   Le rapport devient :

   $\frac{u_{n+1}}{u_n} = (n+1) \times \frac{1}{100} = \frac{n+1}{100}$

4. Calculer la limite du rapport :

   $L = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{100} = +\infty$

5. Conclure :

   Puisque $L = +\infty > 1$, le critère de d'Alembert nous permet d'affirmer que la série diverge.

On peut même noter que puisque le rapport tend vers l'infini, le terme général $u_n$ tend très vite vers $+\infty$, ce qui confirme la divergence grossière de la série.

Le terme général $u_n = \frac{\sin(n)}{2^n}$ change de signe de manière non régulière. Dans ce cas, une bonne stratégie est de tester la convergence absolue. Si la série converge absolument, alors elle converge.

Étapes :

1. Considérer la série des valeurs absolues : On étudie la nature de la série $\sum_{n=0}^{\infty} |u_n|$.

   $|u_n| = \left| \frac{\sin(n)}{2^n} \right| = \frac{|\sin(n)|}{2^n}$

   Cette nouvelle série, $\sum \frac{|\sin(n)|}{2^n}$, est une série à termes positifs. On peut donc utiliser les outils de comparaison.

2. Majorer le terme général : On sait que la fonction sinus est bornée : pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $0 \le |\sin(n)| \le 1$.

   On peut donc majorer notre terme général :

   $0 \le \frac{|\sin(n)|}{2^n} \le \frac{1}{2^n}$

3. Identifier une série de référence convergente : La série majorante est $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n} = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n$.

   C'est une série géométrique de raison $r=1/2$. Puisque $|r| < 1$, cette série converge.

4. Appliquer le théorème de comparaison :

   Nous avons la situation suivante :

   • La série $\sum |u_n|$ est à termes positifs.
   • Elle est majorée par une série convergente $\sum (\frac{1}{2})^n$.

   Par le théorème de comparaison par inégalité, on conclut que la série $\sum |u_n| = \sum \frac{|\sin(n)|}{2^n}$ est convergente.

5. Conclure sur la série initiale :

   Puisque la série des valeurs absolues converge, la série initiale $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sin(n)}{2^n}$ est absolument convergente.

   Or, toute série absolument convergente est convergente.

   Conclusion finale : La série converge.