Rappels de logique et suites numériques - fiches de révision (B)

Principe de la démonstration par l'absurde : Pour prouver une proposition $P$, on suppose sa négation $\neg P$ et on en déduit une contradiction logique (un énoncé de la forme $Q \land \neg Q$).

Démonstration :

1. Hypothèse (Absurde) : Supposons que $\sqrt{2}$ est rationnel. Par définition, il existe deux entiers $p \in \mathbb{Z}$ et $q \in \mathbb{N}^*$ tels que $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$. On peut supposer que la fraction est irréductible, c'est-à-dire que le plus grand commun diviseur de $p$ et $q$ est 1 ($\text{pgcd}(p,q)=1$).

2. Développement : En élevant l'équation au carré, on obtient $2 = \frac{p^2}{q^2}$, ce qui implique $p^2 = 2q^2$.

3. Analyse de parité :

   • L'équation $p^2 = 2q^2$ montre que $p^2$ est un entier pair.
   • Or, si le carré d'un entier est pair, l'entier lui-même doit être pair. (Preuve par contraposée : si $p$ est impair, $p=2k+1$, alors $p^2 = (2k+1)^2 = 4k^2+4k+1 = 2(2k^2+2k)+1$, qui est impair).
   • Donc, $p$ est pair. Il existe un entier $k \in \mathbb{Z}$ tel que $p=2k$.

4. Substitution et déduction : En substituant $p=2k$ dans l'équation $p^2 = 2q^2$, on a $(2k)^2 = 2q^2$, soit $4k^2 = 2q^2$, ce qui se simplifie en $q^2 = 2k^2$.

5. Contradiction :

   • L'équation $q^2 = 2k^2$ montre que $q^2$ est pair.
   • Par le même argument que précédemment, si $q^2$ est pair, alors $q$ doit être pair.
   • Nous avons donc montré que $p$ et $q$ sont tous les deux pairs. Cela signifie qu'ils ont un diviseur commun, 2.
   • Ceci contredit notre hypothèse initiale selon laquelle la fraction $\frac{p}{q}$ est irréductible ($\text{pgcd}(p,q)=1$).

6. Conclusion : L'hypothèse "$\sqrt{2}$ est rationnel" mène à une contradiction. Elle est donc fausse. Par conséquent, $\sqrt{2}$ est irrationnel.

Théorème de Bolzano-Weierstrass :

De toute suite bornée de nombres réels (ou complexes), on peut extraire une sous-suite convergente.

Lien avec la compacité :

Le théorème de Bolzano-Weierstrass est une propriété fondamentale qui caractérise la compacité des espaces métriques.

1. Définition séquentielle de la compacité : Un ensemble $K \subset \mathbb{R}$ est dit (séquentiellement) compact si toute suite d'éléments de $K$ admet une sous-suite qui converge vers un élément de $K$.

2. Équivalence dans $\mathbb{R}^n$ : Dans $\mathbb{R}^n$ (et en particulier dans $\mathbb{R}$), un ensemble est compact si et seulement si il est fermé et borné (Théorème de Borel-Lebesgue).

Le théorème de Bolzano-Weierstrass est l'implication "borné $\Rightarrow$ existence d'une sous-suite convergente". Pour obtenir la compacité d'un ensemble $K$ fermé et borné, le raisonnement est le suivant :

• Soit $(s_n)$ une suite dans $K$.
• Puisque $K$ est borné, la suite $(s_n)$ est bornée.
• D'après Bolzano-Weierstrass, on peut en extraire une sous-suite $(s_{\phi(k)})$ qui converge vers une limite $l \in \mathbb{R}$.
• Puisque $K$ est fermé, la limite de toute suite convergente d'éléments de $K$ doit appartenir à $K$. Donc, $l \in K$.
• Ainsi, toute suite dans $K$ a une sous-suite qui converge vers un point de $K$, ce qui signifie que $K$ est compact.

En résumé, le théorème de Bolzano-Weierstrass est la pierre angulaire qui prouve que les ensembles fermés et bornés de $\mathbb{R}$ sont compacts.

Cette propriété est la complétude de $\mathbb{R}$. La démonstration se fait en trois étapes clés.

Soit $(s_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de Cauchy dans $\mathbb{R}$.

Étape 1 : Une suite de Cauchy est bornée.

Par définition, pour $\epsilon = 1$, il existe un rang $N \in \mathbb{N}$ tel que pour tous $p, q \ge N$, $|s_p - s_q| \le 1$.

En particulier, pour tout $p \ge N$, on a $|s_p - s_N| \le 1$. Par l'inégalité triangulaire nous avons $|s_p| = |s_p - s_N + s_N| \le |s_p - s_N| + |s_N| \le 1 + |s_N|$, ce qui implique $|s_p| \le |s_N| + 1$.

L'ensemble des termes de la suite est donc majoré en valeur absolue par $M = \max(|s_0|, |s_1|, \dots, |s_{N-1}|, |s_N| + 1)$. La suite $(s_n)$ est donc bornée.

Étape 2 : Existence d'une sous-suite convergente.

Puisque la suite $(s_n)$ est bornée (d'après l'étape 1), le théorème de Bolzano-Weierstrass s'applique. Il garantit l'existence d'une sous-suite $(s_{\phi(k)})_{k \in \mathbb{N}}$ qui converge vers une limite $l \in \mathbb{R}$.

$\lim_{k \to \infty} s_{\phi(k)} = l$

Étape 3 : La suite entière converge vers $l$.

Nous voulons montrer que $\lim_{n \to \infty} s_n = l$. Soit $\epsilon > 0$.

• Comme $(s_n)$ est une suite de Cauchy, il existe $N_1 \in \mathbb{N}$ tel que $\forall p,q \ge N_1, |s_p - s_q| \le \epsilon/2$.
• Comme $(s_{\phi(k)})$ converge vers $l$, il existe $K \in \mathbb{N}$ tel que $\forall k \ge K, |s_{\phi(k)} - l| \le \epsilon/2$.

Choisissons un entier $k_0 \ge K$ tel que l'indice $\phi(k_0) \ge N_1$. C'est possible car $\phi$ est strictement croissante, donc $\phi(k) \to \infty$.

Posons $N = N_1$. Pour tout $n \ge N$:

$|s_n - l| = |s_n - s_{\phi(k_0)} + s_{\phi(k_0)} - l| \le |s_n - s_{\phi(k_0)}| + |s_{\phi(k_0)} - l|$

• Le premier terme : puisque $n \ge N_1$ et $\phi(k_0) \ge N_1$, on a $|s_n - s_{\phi(k_0)}| \le \epsilon/2$.
• Le second terme : puisque $k_0 \ge K$, on a $|s_{\phi(k_0)} - l| \le \epsilon/2$.

Ainsi, pour tout $n \ge N$, $|s_n - l| \le \epsilon/2 + \epsilon/2 = \epsilon$.

Ceci prouve que la suite $(s_n)$ converge vers $l$.

Théorème : Soit $I \subset \mathbb{R}$ un intervalle fermé et $f: I \to I$ une application contractante, i.e., $\exists L \in [0, 1)$ tel que $\forall x, y \in I, |f(x) - f(y)| \le L|x-y|$. Alors $f$ admet un unique point fixe $l \in I$. De plus, pour tout $s_0 \in I$, la suite récurrente $s_{n+1} = f(s_n)$ converge vers $l$.

Démonstration :

1. Construction de la suite : On choisit un point arbitraire $s_0 \in I$ et on définit la suite $(s_n)_{n \in \mathbb{N}}$ par la relation de récurrence $s_{n+1} = f(s_n)$. Comme $f(I) \subset I$, tous les termes de la suite appartiennent à $I$.

2. Estimation de $|s_{n+1} - s_n|$ :

   $|s_{n+1} - s_n| = |f(s_n) - f(s_{n-1})| \le L|s_n - s_{n-1}|$.

   Par une récurrence immédiate, on obtient :

   $|s_{n+1} - s_n| \le L^n |s_1 - s_0|$

3. La suite $(s_n)$ est de Cauchy :

   Soient $q > p$ deux entiers. On utilise l'inégalité triangulaire :

   $|s_q - s_p| = | \sum_{k=p}^{q-1} (s_{k+1} - s_k) | \le \sum_{k=p}^{q-1} |s_{k+1} - s_k|$

   En utilisant l'estimation précédente :

   $|s_q - s_p| \le \sum_{k=p}^{q-1} L^k |s_1 - s_0| = |s_1 - s_0| \sum_{k=p}^{q-1} L^k$

   La somme est une série géométrique : $\sum_{k=p}^{q-1} L^k = L^p \frac{1-L^{q-p}}{1-L} \le \frac{L^p}{1-L}$.

   Donc, $|s_q - s_p| \le |s_1 - s_0| \frac{L^p}{1-L}$.

   Comme $L \in [0, 1)$, $\lim_{p \to \infty} L^p = 0$. Ainsi, pour tout $\epsilon > 0$, on peut trouver un rang $N$ tel que pour $p,q \ge N$, le terme de droite soit inférieur à $\epsilon$. La suite $(s_n)$ est de Cauchy.

4. Convergence et existence du point fixe :

   Puisque $\mathbb{R}$ est complet, la suite de Cauchy $(s_n)$ converge vers une limite $l \in \mathbb{R}$. Comme $I$ est un intervalle fermé et que tous les $s_n \in I$, la limite $l$ appartient aussi à $I$.

   L'application $f$ est $L$-lipschitzienne, donc elle est continue. Par continuité de $f$ en $l$, on a :

   $l = \lim_{n \to \infty} s_{n+1} = \lim_{n \to \infty} f(s_n) = f(\lim_{n \to \infty} s_n) = f(l)$

   Donc $l$ est un point fixe de $f$.

5. Unicité du point fixe :

   Supposons qu'il existe deux points fixes distincts, $l_1$ et $l_2$, dans $I$. Alors $f(l_1) = l_1$ et $f(l_2) = l_2$.

   En utilisant la propriété de contraction :

   $|l_1 - l_2| = |f(l_1) - f(l_2)| \le L|l_1 - l_2|$

   Cela s'écrit $(1-L)|l_1 - l_2| \le 0$. Comme $L \in [0,1)$, on a $1-L > 0$. De plus, $|l_1 - l_2| \ge 0$. La seule possibilité est donc $|l_1 - l_2| = 0$, ce qui implique $l_1 = l_2$. Le point fixe est unique.

Formule de Cauchy-Hadamard :

Soit $\sum a_n z^n$ une série entière avec $a_n, z \in \mathbb{C}$. Son rayon de convergence $R$ est donné par la formule :

$\frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$

Conventions :

• Si la limite supérieure est $0$, on pose $R = +\infty$. La série converge pour tout $z \in \mathbb{C}$.
• Si la limite supérieure est $+\infty$, on pose $R = 0$. La série ne converge que pour $z=0$.

Signification :

Cette formule est un résultat puissant d'analyse complexe qui connecte le comportement asymptotique des coefficients $(a_n)$ de la série à la géométrie de son domaine de convergence dans le plan complexe.

• La série converge absolument pour tout $z$ tel que $|z| < R$.
• La série diverge pour tout $z$ tel que $|z| > R$.

L'utilisation de la $\limsup$ est cruciale car la limite de $\sqrt[n]{|a_n|}$ peut ne pas exister. La $\limsup$, qui existe toujours dans $\bar{\mathbb{R}}_+$, capture le comportement des "pics" les plus grands de la suite $\sqrt[n]{|a_n|}$, qui sont déterminants pour la convergence.

Théorème : Toute suite réelle $(s_n)_{n \in \mathbb{N}}$ qui est croissante et majorée est convergente. Sa limite est la borne supérieure de l'ensemble de ses termes.

Démonstration :

1. Existence de la borne supérieure :

   Soit $(s_n)$ une suite croissante et majorée. Considérons l'ensemble $A = \{s_n | n \in \mathbb{N}\}$.

   • $A$ est non vide car il contient au moins $s_0$.
   • $A$ est majoré par hypothèse.
   • D'après l'axiome de la borne supérieure (propriété fondamentale de $\mathbb{R}$), $A$ admet une borne supérieure, que nous noterons $l = \sup A$. $l$ est un nombre réel.

2. Convergence vers la borne supérieure :

   Nous allons montrer que $\lim_{n \to \infty} s_n = l$ en utilisant la définition formelle de la limite.

   Soit $\epsilon > 0$ un réel arbitraire.

   Par la caractérisation de la borne supérieure, pour ce $\epsilon$, il existe un élément de $A$, disons $s_N$, tel que :

   $l - \epsilon < s_N \le l$

   (Si ce n'était pas le cas, $l-\epsilon$ serait un majorant de $A$ plus petit que $l$, ce qui contredirait la définition de $l$ comme étant le plus petit des majorants).

3. Utilisation de la monotonie :

   La suite $(s_n)$ est croissante. Donc, pour tout entier $n \ge N$, on a $s_n \ge s_N$.

   En combinant avec l'inégalité précédente, on obtient pour tout $n \ge N$ :

   $l - \epsilon < s_N \le s_n$

   De plus, comme $l$ est un majorant de $A$, on a $s_n \le l$ pour tout $n$.

   On a donc pour tout $n \ge N$ :

   $l - \epsilon < s_n \le l$

4. Conclusion :

   L'encadrement $l - \epsilon < s_n \le l$ implique que $|s_n - l| < \epsilon$ pour tout $n \ge N$.

   Ceci correspond exactement à la définition de la convergence :

   $\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \ge N, |s_n - l| < \epsilon$

   La suite $(s_n)$ converge donc vers $l = \sup\{s_n | n \in \mathbb{N}\}$.

L'ordre des quantificateurs universel ($\forall$) et existentiel ($\exists$) est fondamental et change radicalement le sens d'une proposition logique.

Analyse sémantique :

1. Proposition A : $\forall x, \exists y, P(x,y)$

   • "Pour tout $x$, il existe un $y$ tel que $P(x,y)$ est vraie."
   • L'ordre $\forall x, \exists y$ implique que le choix de $y$ peut dépendre de $x$. Pour chaque $x$ donné, on peut trouver un $y$ qui fonctionne. On peut voir $y$ comme une fonction de $x$, soit $y(x)$.

2. Proposition B : $\exists y, \forall x, P(x,y)$

   • "Il existe un $y$ tel que pour tout $x$, $P(x,y)$ est vraie."
   • L'ordre $\exists y, \forall x$ implique qu'il existe un unique $y$ (ou au moins un) qui doit fonctionner pour tous les $x$ simultanément. Ce $y$ est universel et indépendant de $x$.

Implication :

La proposition B est beaucoup plus forte que la proposition A. Si l'on trouve un $y$ universel qui fonctionne pour tous les $x$ (B est vraie), alors pour n'importe quel $x$ que l'on choisit, ce même $y$ existera. Donc, $B \Rightarrow A$.

La réciproque $A \Rightarrow B$ est généralement fausse.

Illustrations avec une fonction $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ et le prédicat $P(x,y) \equiv (y = f(x))$ :

• Cas A : $\forall x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R}, y = f(x)$

  • Signification : "Pour tout réel $x$, il existe un réel $y$ qui est son image par $f$."
  • Interprétation : C'est la définition même d'une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. Chaque élément de l'ensemble de départ a une image. Cette proposition est toujours vraie pour n'importe quelle fonction.

• Cas B : $\exists y \in \mathbb{R}, \forall x \in \mathbb{R}, y = f(x)$

  • Signification : "Il existe un réel $y$ tel que pour tout réel $x$, l'image de $x$ par $f$ est ce même $y$."
  • Interprétation : Ceci affirme que la fonction $f$ est une fonction constante. Il existe une valeur $y$ qui est l'image de tous les réels.

Il est évident qu'une fonction constante est bien une fonction ($B \Rightarrow A$), mais une fonction quelconque n'est pas nécessairement constante (par exemple $f(x)=x$), donc $A \nRightarrow B$.

Non, la réciproque du théorème de Cesàro est fausse.

Rappel du théorème de Cesàro :

Si une suite $(s_n)$ converge vers une limite $l$, alors la suite de ses moyennes arithmétiques $c_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n s_k$ converge aussi vers $l$.

$(\lim_{n \to \infty} s_n = l) \implies (\lim_{n \to \infty} c_n = l)$

Énoncé de la réciproque (fausse) :

Si la suite des moyennes arithmétiques $(c_n)$ converge vers $l$, alors la suite $(s_n)$ converge vers $l$.

$(\lim_{n \to \infty} c_n = l) \implies (\lim_{n \to \infty} s_n = l)$

Contre-exemple :

Considérons la suite $s_n = (-1)^n$.

1. Analyse de $(s_n)$ :

   La suite $(s_n)$ prend les valeurs $(1, -1, 1, -1, \dots)$. Elle est bornée mais possède deux valeurs d'adhérence, 1 et -1. Elle est donc divergente.

2. Analyse de la moyenne de Cesàro $(c_n)$ :

   Calculons la somme partielle $S_n = \sum_{k=1}^n s_k = \sum_{k=1}^n (-1)^k$.

   • Si $n$ est impair, $n=2p-1$, $S_n = -1+1-1+\dots-1 = -1$.
   • Si $n$ est pair, $n=2p$, $S_n = -1+1-1+\dots+1 = 0$.

   On peut écrire $S_n = \frac{(-1)^n - 1}{2}$.

   La moyenne de Cesàro est $c_n = \frac{S_n}{n}$.

   • Si $n$ est impair, $c_n = -1/n$.
   • Si $n$ est pair, $c_n = 0/n = 0$.

   Dans les deux cas, on voit que la suite $(c_n)$ tend vers 0. On peut le montrer formellement :

   $|c_n| = |\frac{S_n}{n}| \le \frac{1}{n}$. Par le théorème des gendarmes, $\lim_{n \to \infty} c_n = 0$.

3. Conclusion :

   Nous avons trouvé une suite $(s_n)$ telle que sa moyenne de Cesàro $(c_n)$ converge vers 0, mais la suite $(s_n)$ elle-même diverge. Cela prouve que la réciproque du théorème de Cesàro est fausse.

Les limites supérieure ($\limsup$) et inférieure ($\liminf$) d'une suite réelle $(s_n)$ existent toujours dans l'ensemble $\bar{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}$ et fournissent une caractérisation complète de la convergence.

Critère de convergence :

Une suite $(s_n)$ converge vers une limite $l \in \bar{\mathbb{R}}$ si et seulement si sa limite inférieure et sa limite supérieure sont égales à $l$.

$(s_n \to l) \iff (\liminf_{n \to \infty} s_n = \limsup_{n \to \infty} s_n = l)$

Explication conceptuelle :

1. Caractérisation par les valeurs d'adhérence :

   • $\limsup s_n$ est la plus grande valeur d'adhérence de la suite $(s_n)$.
   • $\liminf s_n$ est la plus petite valeur d'adhérence de la suite $(s_n)$.

   Une valeur d'adhérence est la limite d'une sous-suite convergente.

2. Interprétation du critère :

   • L'égalité $\liminf s_n = \limsup s_n$ signifie que l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite est réduit à un seul point.
   • Quand la plus petite et la plus grande valeur d'adhérence coïncident, il ne peut y avoir qu'une seule valeur d'adhérence. Intuitivement, tous les "chemins" (sous-suites) convergents mènent au même endroit.
   • Si toutes les sous-suites convergentes tendent vers la même limite $l$, on peut montrer que la suite entière converge vers $l$.

Exemples :

• Suite convergente : $s_n = 1/n$.

  Les sous-suites convergent toutes vers 0. L'ensemble des valeurs d'adhérence est $\{0\}$.

  $\liminf s_n = \limsup s_n = 0$. La suite converge vers 0.

• Suite divergente oscillante : $s_n = (-1)^n$.

  La sous-suite des termes pairs converge vers 1, la sous-suite des termes impairs converge vers -1. L'ensemble des valeurs d'adhérence est $\{-1, 1\}$.

  $\liminf s_n = -1$ et $\limsup s_n = 1$.

  Comme $\liminf s_n \neq \limsup s_n$, la suite diverge.

• Suite divergente vers $+\infty$ : $s_n = n$.

  Toute sous-suite tend vers $+\infty$. L'unique valeur d'adhérence dans $\bar{\mathbb{R}}$ est $+\infty$.

  $\liminf s_n = \limsup s_n = +\infty$. La suite converge vers $+\infty$ dans $\bar{\mathbb{R}}$.

Théorème : Toute suite convergente $(s_n)_{n \in \mathbb{N}}$ à valeurs dans $\mathbb{K}$ (où $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$) est bornée.

Démonstration :

Soit $(s_n)$ une suite qui converge vers une limite $l \in \mathbb{K}$.

1. Application de la définition de la convergence :

   Par définition de la convergence, pour tout $\epsilon > 0$, il existe un rang $N \in \mathbb{N}$ à partir duquel tous les termes de la suite sont "proches" de $l$.

   Choisissons une valeur spécifique pour $\epsilon$, par exemple $\epsilon = 1$.

   Il existe donc un rang $N$ tel que pour tout entier $n \ge N$, on a :

   $|s_n - l| \le 1$

2. Majoration de la "queue" de la suite :

   En utilisant l'inégalité triangulaire inversée ($|a|-|b| \le |a-b|$), on peut écrire $|s_n| - |l| \le |s_n - l|$.

   Pour $n \ge N$, on a donc :

   $|s_n| \le |l| + |s_n - l| \le |l| + 1$

   Ceci montre que tous les termes de la suite à partir du rang $N$ (la "queue" de la suite) sont bornés par la constante $|l|+1$.

3. Majoration de la suite entière :

   Il reste à considérer le nombre fini de termes qui précèdent le rang $N$ : $s_0, s_1, \dots, s_{N-1}$. Cet ensemble est fini, donc il est nécessairement borné.

   Pour borner la suite entière, il suffit de prendre le maximum entre les bornes des deux parties (la tête et la queue) :

   Soit $M = \max(|s_0|, |s_1|, \dots, |s_{N-1}|, |l| + 1)$.

   Alors, pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $|s_n| \le M$.

4. Conclusion :

   Nous avons trouvé une constante réelle positive $M$ qui majore la valeur absolue (ou le module) de tous les termes de la suite. La suite $(s_n)$ est donc bornée.

Le lien est profond et concerne les fondements des mathématiques. L'analyse, comme la plupart des mathématiques modernes, est construite sur un système axiomatique formel, généralement la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel avec l'axiome du choix (ZFC). La logique des prédicats du premier ordre, présentée dans ce chapitre, est le langage utilisé pour énoncer ces axiomes et pour construire les démonstrations.

Les théorèmes d'incomplétude de Gödel (1931) sont des résultats méta-mathématiques qui explorent les limites de tous les systèmes formels de ce type.

1. Premier théorème d'incomplétude :

   Il stipule que tout système axiomatique cohérent (sans contradiction), suffisamment puissant pour décrire l'arithmétique des entiers (ce qui est le cas de ZFC), est nécessairement incomplet.

   Cela signifie qu'il existe des propositions (énoncés mathématiques) $P$ formulables dans le langage de ce système, telles que ni $P$ ni sa négation $\neg P$ ne peuvent être démontrées à partir des axiomes. Ces propositions sont dites indécidables.

2. Deuxième théorème d'incomplétude :

   Il affirme qu'un tel système ne peut pas prouver sa propre cohérence. La cohérence de ZFC est un article de foi pour la plupart des mathématiciens.

Implications pour l'analyse :

• Limites de la preuve : Les théorèmes de Gödel impliquent qu'il pourrait exister des énoncés vrais en analyse (par exemple, concernant les suites ou les fonctions) qui sont impossibles à prouver dans le cadre de ZFC. L'hypothèse du continu est un exemple célèbre de proposition indécidable dans ZFC.
• Fondements : Cela montre que le projet de Hilbert de fonder toutes les mathématiques sur un ensemble fini d'axiomes à partir desquels toute vérité mathématique pourrait être mécaniquement démontrée est irréalisable.
• Pratique vs Théorie : En pratique, la grande majorité des problèmes rencontrés par les mathématiciens en analyse sont décidables au sein de ZFC. Les résultats de Gödel n'invalident pas les démonstrations existantes mais posent des limites fondamentales à ce qui est démontrable en principe.

En résumé, la logique formelle est l'outil de l'analyse, tandis que les théorèmes de Gödel décrivent les limites intrinsèques et inhérentes de cet outil.