Rappels de logique et suites numériques - preuves (A)

Nous allons utiliser un raisonnement par contraposée.

L'implication à démontrer est : $P \Rightarrow Q$ avec :

$P$ : "$3n+2$ est impair"

$Q$ : "$n$ est impair"

La contraposée est $\text{non}(Q) \Rightarrow \text{non}(P)$, c'est-à-dire :

"Si $n$ est pair, alors $3n+2$ est pair".

Étape 1 : Hypothèse

Supposons que $n$ est pair.

Par définition, il existe un entier $k$ tel que $n = 2k$.

Étape 2 : Calcul

Substituons $n$ dans l'expression $3n + 2$ :

$3n + 2 = 3(2k) + 2 = 6k + 2$

Étape 3 : Conclusion sur la parité

On peut factoriser par 2 :

$6k + 2 = 2(3k + 1)$

Posons $k' = 3k + 1$. Comme $k$ est entier, $k'$ est entier.

On a donc $3n + 2 = 2k'$, ce qui signifie que $3n + 2$ est pair.

Conclusion :

Nous avons démontré que si $n$ est pair, alors $3n+2$ est pair. Par le principe de la contraposée, cela équivaut à dire que si $3n+2$ est impair, alors $n$ est impair.

Supposons par l'absurde que $\sqrt{2}$ est rationnel.

Étape 1 : Formulation de l'hypothèse absurde

Il existe deux entiers $p$ et $q$ (avec $q \neq 0$), premiers entre eux (fraction irréductible), tels que :

$\sqrt{2} = \frac{p}{q}$

Étape 2 : Analyse de la parité de $p$

En élevant au carré, on obtient $2 = \frac{p^2}{q^2}$, soit :

$p^2 = 2q^2$

L'équation montre que $p^2$ est un nombre pair. Par conséquent, $p$ doit être pair (car le carré d'un impair est impair).

On peut donc écrire $p = 2k$ pour un entier $k$.

Étape 3 : Analyse de la parité de $q$

Substituons $p = 2k$ dans l'équation $p^2 = 2q^2$ :

$(2k)^2 = 2q^2$

$4k^2 = 2q^2$

En divisant par 2 :

$2k^2 = q^2$

Cette équation montre que $q^2$ est pair, et donc que $q$ doit aussi être pair.

Conclusion :

Nous avons montré que $p$ est pair et que $q$ est pair. Ils ont donc un diviseur commun (2). Cela contredit l'hypothèse initiale selon laquelle la fraction $\frac{p}{q}$ était irréductible.

L'hypothèse de départ est donc fausse : $\sqrt{2}$ n'est pas rationnel.

Soit $P(n)$ la propriété : $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$.

Étape 1 : Initialisation

Pour $n=1$ :

Membre de gauche : $\sum_{k=1}^1 k = 1$.

Membre de droite : $\frac{1(1+1)}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

La propriété est vraie pour $n=1$.

Étape 2 : Hérédité

Supposons que pour un entier $n \ge 1$ fixé, on ait $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$ (Hypothèse de Récurrence - HR).

Montrons que $\sum_{k=1}^{n+1} k = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$.

On décompose la somme :

$\sum_{k=1}^{n+1} k = \left( \sum_{k=1}^n k \right) + (n+1)$

D'après l'HR, on remplace la somme par la formule :

$= \frac{n(n+1)}{2} + (n+1)$

On factorise par $(n+1)$ :

$= (n+1) \left[ \frac{n}{2} + 1 \right]$

$= (n+1) \left[ \frac{n + 2}{2} \right]$

$= \frac{(n+1)(n+2)}{2}$

C'est exactement la formule attendue au rang $n+1$.

Conclusion :

Par le principe de récurrence, la formule est vraie pour tout $n \ge 1$.

Soit $P(n)$ la propriété : $\sum_{k=0}^n q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

Étape 1 : Initialisation

Pour $n=0$ :

Gauche : $q^0 = 1$.

Droite : $\frac{1-q^{0+1}}{1-q} = \frac{1-q}{1-q} = 1$.

$P(0)$ est vraie.

Étape 2 : Hérédité

Supposons $P(n)$ vraie. Montrons $P(n+1)$, c'est-à-dire $\sum_{k=0}^{n+1} q^k = \frac{1-q^{n+2}}{1-q}$.

$\sum_{k=0}^{n+1} q^k = \left( \sum_{k=0}^n q^k \right) + q^{n+1}$

Utilisons l'HR :

$= \frac{1-q^{n+1}}{1-q} + q^{n+1}$

Mettons au même dénominateur :

$= \frac{1-q^{n+1} + q^{n+1}(1-q)}{1-q}$

$= \frac{1-q^{n+1} + q^{n+1} - q^{n+2}}{1-q}$

Les termes $q^{n+1}$ s'annulent :

$= \frac{1 - q^{n+2}}{1-q}$

La propriété est donc héréditaire.

Conclusion :

La formule est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Nous devons montrer : $\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \ge N, |u_n - 2| \le \epsilon$.

Étape 1 : Simplification de $|u_n - l|$

Calculons la différence :

$|u_n - 2| = \left| \frac{2n+1}{n+1} - 2 \right| = \left| \frac{2n+1 - 2(n+1)}{n+1} \right|$

$= \left| \frac{2n+1 - 2n - 2}{n+1} \right| = \left| \frac{-1}{n+1} \right|$

Comme $n \in \mathbb{N}$, $n+1 > 0$, donc :

$|u_n - 2| = \frac{1}{n+1}$

Étape 2 : Recherche de $N$

Soit $\epsilon > 0$ fixé. Nous cherchons $n$ tel que :

$\frac{1}{n+1} \le \epsilon$

En inversant l'inégalité (car tout est positif) :

$n+1 \ge \frac{1}{\epsilon}$

$n \ge \frac{1}{\epsilon} - 1$

Étape 3 : Conclusion

Il suffit de choisir un entier $N$ supérieur ou égal à $\frac{1}{\epsilon} - 1$.

Posons par exemple $N = \lfloor \frac{1}{\epsilon} \rfloor + 1$.

Pour tout $n \ge N$, l'inégalité $|u_n - 2| \le \epsilon$ est vérifiée.

La suite converge donc vers 2.

Supposons que $(u_n)$ converge vers deux limites distinctes $l_1$ et $l_2$.

Supposons $l_1 \neq l_2$, donc $|l_1 - l_2| > 0$.

Étape 1 : Choix de $\epsilon$

Choisissons $\epsilon = \frac{|l_1 - l_2|}{3}$ (une valeur suffisamment petite pour séparer les voisinages).

Étape 2 : Application de la définition

Comme $u_n \to l_1$, $\exists N_1, \forall n \ge N_1, |u_n - l_1| \le \epsilon$.

Comme $u_n \to l_2$, $\exists N_2, \forall n \ge N_2, |u_n - l_2| \le \epsilon$.

Soit $n \ge \max(N_1, N_2)$. Pour ce $n$, on a à la fois $|u_n - l_1| \le \epsilon$ et $|u_n - l_2| \le \epsilon$.

Étape 3 : Inégalité triangulaire

Évaluons la distance entre $l_1$ et $l_2$ :

$|l_1 - l_2| = |(l_1 - u_n) + (u_n - l_2)|$

Par l'inégalité triangulaire ($|a+b| \le |a|+|b|$) :

$|l_1 - l_2| \le |l_1 - u_n| + |u_n - l_2|$

$|l_1 - l_2| \le |u_n - l_1| + |u_n - l_2|$

$|l_1 - l_2| \le \epsilon + \epsilon = 2\epsilon$

Étape 4 : Contradiction

Nous avons choisi $\epsilon = \frac{|l_1 - l_2|}{3}$, donc $2\epsilon = \frac{2}{3}|l_1 - l_2|$.

L'inégalité précédente devient :

$|l_1 - l_2| \le \frac{2}{3}|l_1 - l_2|$

Puisque $|l_1 - l_2| > 0$, nous pouvons diviser par ce nombre, obtenant $1 \le \frac{2}{3}$, ce qui est impossible.

Conclusion :

L'hypothèse de départ est fausse. La limite doit être unique.

Soit $(u_n)$ une suite convergeant vers $l$. Nous voulons trouver un réel $M > 0$ tel que $\forall n \in \mathbb{N}, |u_n| \le M$.

Étape 1 : Comportement à l'infini (la "queue" de la suite)

Prenons $\epsilon = 1$. D'après la définition de la convergence, il existe un rang $N$ tel que :

$\forall n \ge N, |u_n - l| \le 1$

D'après l'inégalité triangulaire ($|a| - |b| \le |a-b|$), on a :

$|u_n| - |l| \le |u_n - l| \le 1$

Donc, pour tout $n \ge N$ :

$|u_n| \le |l| + 1$

Étape 2 : Comportement initial (les premiers termes)

Considérons l'ensemble des termes avant le rang $N$ : $\{ |u_0|, |u_1|, \dots, |u_{N-1}| \}$.

Cet ensemble est fini, il possède donc un maximum.

Étape 3 : Construction de la borne globale

Soit $M = \max(|u_0|, |u_1|, \dots, |u_{N-1}|, |l|+1)$.

• Si $n < N$, alors $|u_n| \le \max(|u_0|, \dots, |u_{N-1}|) \le M$.
• Si $n \ge N$, alors $|u_n| \le |l| + 1 \le M$.

Conclusion :

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $|u_n| \le M$. La suite est donc bornée.

Nous voulons montrer que la proposition "$u_n \to 1$" est fausse.

Négation à prouver : $\exists \epsilon > 0, \forall N \in \mathbb{N}, \exists n \ge N, |u_n - 1| > \epsilon$.

Étape 1 : Choix de $\epsilon$

Choisissons $\epsilon = 1$.

Étape 2 : Démonstration pour tout $N$

Soit $N \in \mathbb{N}$ un rang quelconque. Nous devons trouver un entier $n \ge N$ tel que $|u_n - 1| > 1$.

La suite $(u_n)$ alterne entre $-1$ et $1$.

Nous avons besoin d'un terme égal à $-1$. Les termes impairs valent $-1$.

Choisissons un entier impair $n$ tel que $n \ge N$. (Par exemple $n=N$ si $N$ est impair, ou $n=N+1$ si $N$ est pair).

Étape 3 : Vérification de l'inégalité

Pour ce $n$ impair, $u_n = -1$.

Calculons la distance :

$|u_n - 1| = |-1 - 1| = |-2| = 2$

Or, $2 > 1$ (donc $> \epsilon$).

Conclusion :

Nous avons trouvé un $\epsilon$ tel que, quel que soit le rang $N$, il existe un terme ultérieur qui sort de l'intervalle $[1-\epsilon, 1+\epsilon]$. La suite ne converge pas vers 1.

Soit $\epsilon > 0$. Nous cherchons $N$ tel que $\forall n \ge N, |(u_n + v_n) - (l_1 + l_2)| \le \epsilon$.

Étape 1 : Inégalité triangulaire

$|(u_n + v_n) - (l_1 + l_2)| = |(u_n - l_1) + (v_n - l_2)|$

$\le |u_n - l_1| + |v_n - l_2|$

Étape 2 : Utilisation des convergences individuelles

Puisque $u_n \to l_1$, pour $\epsilon' = \epsilon/2$, il existe $N_1$ tel que :

$\forall n \ge N_1, |u_n - l_1| \le \epsilon/2$.

Puisque $v_n \to l_2$, pour $\epsilon' = \epsilon/2$, il existe $N_2$ tel que :

$\forall n \ge N_2, |v_n - l_2| \le \epsilon/2$.

Étape 3 : Combinaison

Posons $N = \max(N_1, N_2)$.

Pour tout $n \ge N$, les deux conditions sont vérifiées simultanément.

$|(u_n + v_n) - (l_1 + l_2)| \le |u_n - l_1| + |v_n - l_2|$

$\le \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$

Conclusion :

La suite $(u_n + v_n)$ converge vers $l_1 + l_2$.

Nous voulons montrer que $\lim (u_n v_n) = 0$. Soit $\epsilon > 0$.

Étape 1 : Utilisation de la propriété "bornée"

La suite $(v_n)$ est bornée, donc il existe un réel $M > 0$ tel que $\forall n \in \mathbb{N}, |v_n| \le M$.

Étape 2 : Majoration du produit

$|u_n v_n - 0| = |u_n| \cdot |v_n| \le |u_n| \cdot M$

Étape 3 : Utilisation de la convergence de $u_n$

Puisque $u_n \to 0$, pour tout $\epsilon' > 0$, il existe un rang à partir duquel $|u_n| \le \epsilon'$.

Choisissons $\epsilon' = \frac{\epsilon}{M}$.

Il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que $\forall n \ge N, |u_n| \le \frac{\epsilon}{M}$.

Étape 4 : Conclusion

Pour tout $n \ge N$ :

$|u_n v_n| \le |u_n| M \le \frac{\epsilon}{M} \cdot M = \epsilon$

La définition de la convergence vers 0 est vérifiée.