Structures algébriques - fiches de révision (B)

Théorème : Une application $f: X \to Y$ est surjective si et seulement si elle admet un inverse à droite (ou section), c'est-à-dire une application $s: Y \to X$ telle que $f \circ s = \text{id}_Y$.

Preuve de l'implication $(\Rightarrow)$ :

1. Hypothèse : $f$ est surjective. Par définition, cela signifie que pour tout élément $y \in Y$, l'ensemble des antécédents de $y$ par $f$, noté $f^{-1}(\{y\})$, est un sous-ensemble non vide de $X$.

2. Construction de l'inverse à droite : Nous devons construire une application $s: Y \to X$ telle que pour tout $y \in Y$, $f(s(y)) = y$. Cela revient à choisir, pour chaque $y \in Y$, un unique élément $x$ dans l'ensemble non vide $f^{-1}(\{y\})$ et à poser $s(y) = x$.

3. Rôle de l'Axiome du Choix : L'Axiome du Choix (AC) stipule que pour toute collection d'ensembles non vides, il existe une "fonction de choix" qui sélectionne exactement un élément de chaque ensemble. Dans notre cas, la collection d'ensembles est $\{f^{-1}(\{y\}) \mid y \in Y\}$. L'AC garantit l'existence d'une application $s: Y \to X$ telle que pour tout $y \in Y$, $s(y) \in f^{-1}(\{y\})$.

4. Conclusion : Par construction de $s$, on a $s(y)$ qui est un antécédent de $y$ pour tout $y \in Y$. Donc, $f(s(y)) = y$. Ceci est vrai pour tout $y \in Y$, ce qui signifie que $f \circ s = \text{id}_Y$.

L'Axiome du Choix est donc essentiel pour garantir que l'on peut effectuer simultanément une infinité (potentiellement non dénombrable) de choix pour construire la section $s$. Sans lui, la preuve n'est pas possible en toute généralité. $\square$

La propriété universelle de $(\mathbb{N}, S: \mathbb{N} \to \mathbb{N}, 0 \in \mathbb{N})$ stipule que pour tout triplet $(X, T, x_0 \in X)$, il existe une unique application $f : \mathbb{N} \to X$ telle que $f(0) = x_0$ et le diagramme suivant commute : $f \circ S = T \circ f$.

Pour définir l'addition d'un entier $m \in \mathbb{N}$ à n'importe quel autre entier, nous fixons $m$ et cherchons à définir l'application $add_m: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ où $add_m(n) = m+n$.

Application de la propriété universelle :

1. Nous choisissons le triplet $(X, T, x_0)$ de manière stratégique. Nous voulons que l'application résultante $f$ opère sur les entiers naturels. Nous posons donc $X = \mathbb{N}$.

2. L'opération "ajouter 1" est l'opération de base de la récurrence. Nous choisissons donc l'application successeur $S$ pour jouer le rôle de $T$. On pose $T = S: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$.

3. L'élément de départ de l'addition $m+n$ pour $n=0$ doit être $m$. Nous posons donc $x_0 = m$.

Le triplet est donc $(\mathbb{N}, S, m)$.

Selon la propriété universelle, il existe une unique application $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ telle que :

• $f(0) = m$
• $f \circ S = S \circ f$, c'est-à-dire $f(S(n)) = S(f(n))$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Cette unique application $f$ est précisément ce que nous appelons "l'addition de $m$", notée $add_m$. Si nous écrivons $m+n$ pour $add_m(n)$ et $n+1$ pour $S(n)$, les deux conditions se traduisent par :

• $m+0 = m$
• $m+(n+1) = (m+n)+1$

Ce sont les axiomes de Peano pour l'addition. La propriété universelle garantit non seulement l'existence mais aussi l'unicité d'une telle opération pour chaque $m \in \mathbb{N}$.

Soit $M^\times = \{x \in M \mid \exists y \in M, x*y = y*x = e\}$. Nous devons vérifier les axiomes d'un groupe pour $(M^\times, *, e)$.

1. Stabilité de la loi (loi de composition interne) :

   Soient $x, y \in M^\times$. Par définition, il existe $x^{-1}, y^{-1} \in M$ tels que $x*x^{-1} = e$ et $y*y^{-1} = e$.

   Considérons le produit $x*y$. Pour montrer qu'il est dans $M^\times$, nous devons trouver son inverse. Posons $z = y^{-1}*x^{-1}$. En utilisant l'associativité de $*$ dans $M$ :

   $(x*y)*z = (x*y)*(y^{-1}*x^{-1}) = x*(y*y^{-1})*x^{-1} = x*e*x^{-1} = x*x^{-1} = e$.

   De même, $z*(x*y) = (y^{-1}*x^{-1})*(x*y) = y^{-1}*(x^{-1}*x)*y = y^{-1}*e*y = y^{-1}*y = e$.

   Donc, $x*y$ est inversible (d'inverse $y^{-1}*x^{-1}$), ce qui signifie que $x*y \in M^\times$. La loi $*$ est bien une loi de composition interne sur $M^\times$.

2. Associativité :

   La loi $*$ est associative sur $M$. Comme $M^\times$ est un sous-ensemble de $M$, la loi reste associative pour les éléments de $M^\times$.

3. Élément neutre :

   L'élément neutre $e$ de $M$ est son propre inverse car $e*e=e$. Donc, $e \in M^\times$. Pour tout $x \in M^\times$, $e*x = x*e = x$, donc $e$ est bien l'élément neutre de $(M^\times, *)$.

4. Inversibilité :

   Par définition même de $M^\times$, tout élément $x \in M^\times$ admet un inverse $x^{-1}$ dans $M$. Nous devons juste nous assurer que cet inverse $x^{-1}$ est lui-même dans $M^\times$.

   Si $x^{-1}$ est l'inverse de $x$, alors $x*x^{-1} = x^{-1}*x = e$. Cette relation montre que $x$ est l'inverse de $x^{-1}$. Donc $x^{-1}$ est inversible, ce qui signifie que $x^{-1} \in M^\times$.

Tous les axiomes du groupe sont vérifiés. Par conséquent, $(M^\times, *, e)$ est un groupe. $\square$

En théorie des catégories, la construction des entiers naturels peut être formalisée de manière très élégante.

1. La catégorie des systèmes dynamiques pointés :

   Considérons une catégorie, que nous appellerons $\mathcal{D}$, dont :

   • Les objets sont des triplets $(X, T, x_0)$ où $X$ est un ensemble, $T: X \to X$ est une application (l'endomorphisme de "dynamique"), et $x_0 \in X$ est un élément distingué (le "point de départ").
   • Les morphismes $\phi: (X, T, x_0) \to (Y, U, y_0)$ sont des applications $\phi: X \to Y$ qui préservent la structure, c'est-à-dire qui satisfont $\phi(x_0) = y_0$ et font commuter le diagramme suivant :
   $$\begin{CD} X @>T>> X \\ @V\phi VV @VV\phi V \\ Y @>>U> Y \end{CD}$$

   Autrement dit, $\phi \circ T = U \circ \phi$.

2. $\mathbb{N}$ comme objet initial :

   La propriété universelle des entiers naturels énonce que pour le triplet $(\mathbb{N}, S, 0)$, et pour tout autre triplet $(X, T, x_0)$, il existe un unique morphisme $f: (\mathbb{N}, S, 0) \to (X, T, x_0)$ dans la catégorie $\mathcal{D}$.

   Un objet $I$ dans une catégorie $\mathcal{C}$ est dit initial si pour tout autre objet $A \in \mathcal{C}$, il existe un unique morphisme de $I$ vers $A$.

   En comparant ces deux définitions, on constate que le triplet $(\mathbb{N}, S, 0)$ est précisément un objet initial dans la catégorie $\mathcal{D}$ des systèmes dynamiques pointés.

Conclusion : L'approche catégorique définit les entiers naturels non pas par leur contenu ("ce qu'ils sont"), mais par leur relation unique avec toutes les autres structures de même type ("ce qu'ils font"). Le fait que les objets initiaux, s'ils existent, soient uniques à isomorphisme unique près, garantit que "les" entiers naturels sont bien définis.

Soit $e_G$ l'élément neutre de $G$ et $e_H$ celui de $H$.

1. Preuve de la préservation de l'élément neutre ($f(e_G) = e_H$) :

• On part de l'identité $e_G = e_G *_G e_G$.

• En appliquant $f$, on obtient $f(e_G) = f(e_G *_G e_G)$.

• Par la propriété de morphisme, $f(e_G *_G e_G) = f(e_G) *_H f(e_G)$.

• On a donc l'équation dans $H$: $f(e_G) = f(e_G) *_H f(e_G)$.

• Soit $y = f(e_G)$. L'équation est $y = y *_H y$. Comme $H$ est un groupe, $y$ a un inverse $y^{-1}$. En multipliant à gauche (ou à droite) par $y^{-1}$, on obtient :

  $y^{-1} *_H y = y^{-1} *_H (y *_H y)$

  $e_H = (y^{-1} *_H y) *_H y$

  $e_H = e_H *_H y$

  $e_H = y$

• Donc, $f(e_G) = e_H$.

2. Preuve de la préservation des inverses ($f(g^{-1}) = (f(g))^{-1}$) :

• Soit $g \in G$. On part de l'identité $g *_G g^{-1} = e_G$.
• En appliquant $f$, on a $f(g *_G g^{-1}) = f(e_G)$.
• En utilisant la propriété de morphisme et le résultat précédent, on obtient : $f(g) *_H f(g^{-1}) = e_H$.
• De même, en partant de $g^{-1} *_G g = e_G$, on obtient $f(g^{-1}) *_H f(g) = e_H$.
• Ces deux égalités, $f(g) *_H f(g^{-1}) = e_H$ et $f(g^{-1}) *_H f(g) = e_H$, sont la définition de l'inverse d'un élément dans le groupe $H$.
• Elles prouvent que $f(g^{-1})$ est l'inverse de $f(g)$. Autrement dit, $f(g^{-1}) = (f(g))^{-1}$. $\square$

Théorème (Propriété Universelle du Quotient) :

Soit $\sim$ une relation d'équivalence sur un ensemble $E$, et soit $\pi: E \to E/\sim$ la projection canonique définie par $\pi(x)=\text{cl}(x)$.

Pour toute application $f: E \to F$ qui est constante sur les classes d'équivalence (c'est-à-dire, $\forall x, y \in E, x \sim y \Rightarrow f(x)=f(y)$), il existe une unique application $\bar{f} : E/\sim \to F$ telle que $f = \bar{f} \circ \pi$.

Le diagramme suivant commute :

      f

  E -----> F

  |      /

 π|     / ∃!f̄

  |    /

  v   /

 E/~

Démonstration :

1. Existence de $\bar{f}$ :

   Nous devons définir $\bar{f}(C)$ pour toute classe d'équivalence $C \in E/\sim$. Une classe $C$ est de la forme $\text{cl}(x)$ pour un certain $x \in E$. Une définition naturelle pour $\bar{f}$ est de poser $\bar{f}(\text{cl}(x)) = f(x)$.

   Pour que cette définition soit valide, nous devons nous assurer qu'elle ne dépend pas du choix du représentant $x$ de la classe $\text{cl}(x)$. Soit $x'$ un autre représentant de la même classe, i.e., $\text{cl}(x) = \text{cl}(x')$. Par définition des classes, cela signifie que $x \sim x'$.

   L'hypothèse sur $f$ est qu'elle est constante sur les classes d'équivalence, donc $x \sim x'$ implique $f(x)=f(x')$.

   Ainsi, $\bar{f}(\text{cl}(x)) = f(x) = f(x') = \bar{f}(\text{cl}(x'))$. La définition de $\bar{f}$ est bien fondée (cohérente).

   Par construction, pour tout $x \in E$, on a $(\bar{f} \circ \pi)(x) = \bar{f}(\pi(x)) = \bar{f}(\text{cl}(x)) = f(x)$. Donc, $f = \bar{f} \circ \pi$.

2. Unicité de $\bar{f}$ :

   Supposons qu'il existe une autre application $g: E/\sim \to F$ telle que $f = g \circ \pi$.

   Pour toute classe $C \in E/\sim$, il existe un $x \in E$ tel que $C = \text{cl}(x) = \pi(x)$.

   Alors, $g(C) = g(\pi(x)) = (g \circ \pi)(x) = f(x)$.

   Par ailleurs, notre définition de $\bar{f}$ donne $\bar{f}(C) = \bar{f}(\text{cl}(x)) = f(x)$.

   Donc, pour toute classe $C \in E/\sim$, nous avons $g(C) = \bar{f}(C)$.

   Ceci prouve que $g = \bar{f}$. L'application $\bar{f}$ est donc unique. $\square$

Soit $G$ un groupe et $H$ un sous-groupe. On souhaite définir une loi de composition sur l'ensemble des classes à gauche $G/H = \{gH \mid g \in G\}$ par $(g_1H) \cdot (g_2H) = (g_1g_2)H$.

Le problème de la bonne définition :

La définition dépend du choix des représentants $g_1$ et $g_2$. Pour que la loi soit bien définie, il faut que si on choisit d'autres représentants, le résultat reste le même.

Soient $g'_1 \in g_1H$ et $g'_2 \in g_2H$. On doit avoir $(g'_1g'_2)H = (g_1g_2)H$.

Par définition, $g'_1 = g_1h_1$ et $g'_2 = g_2h_2$ pour certains $h_1, h_2 \in H$.

Le produit devient $g'_1g'_2 = g_1h_1g_2h_2$.

La condition est donc $(g_1h_1g_2h_2)H = (g_1g_2)H$. Cela est équivalent à $(g_1g_2)^{-1}(g_1h_1g_2h_2) \in H$.

$(g_2^{-1}g_1^{-1})(g_1h_1g_2h_2) = g_2^{-1}h_1g_2h_2 \in H$.

Puisque $h_2 \in H$ et $H$ est un groupe, cette condition est équivalente à $g_2^{-1}h_1g_2 \in H$.

Cette condition doit être vraie pour tous $g_2 \in G$ et tous $h_1 \in H$. En posant $g=g_2^{-1}$ et $h=h_1$, la condition devient: $\forall g \in G, \forall h \in H, g h g^{-1} \in H$.

Ceci est la définition d'un sous-groupe normal (ou distingué) de $G$.

Conclusion :

• Condition nécessaire : Si la loi est bien définie, alors la condition $g^{-1}hg \in H$ doit être satisfaite pour tous $g \in G, h \in H$. Donc $H$ doit être normal.

• Condition suffisante : Si $H$ est normal, alors pour tous $g \in G, h \in H$, $gHg^{-1} = H$, ce qui implique $gH = Hg$. Reprenons le calcul :

  $(g_1h_1)(g_2h_2) = g_1(h_1g_2)h_2$. Comme $g_2H=Hg_2$, il existe $h'_1 \in H$ tel que $h_1g_2=g_2h'_1$.

  Le produit devient $g_1(g_2h'_1)h_2 = (g_1g_2)(h'_1h_2)$.

  Puisque $h'_1h_2 \in H$, on a $(g_1g_2)(h'_1h_2) \in (g_1g_2)H$.

  Donc $(g_1h_1g_2h_2)H = (g_1g_2)H$, ce qui montre que la loi est bien définie.

Le contre-exemple de $G=S_3$ et $H=\{\text{id}, (12)\}$ illustre l'échec. Si on prend $(13)H \cdot (13)H$, le résultat devrait être $((13)(13))H = \text{id} H=H$. Mais si on choisit un autre représentant de $(13)H$, par exemple $(13)(12)=(132)$, on a $(132)H$. Le calcul $(132) \cdot (132) = (123)$ donne la classe $(123)H$, qui est différente de $H$. La loi n'est pas bien définie.

Rappel des définitions :

• Un anneau quotient $A/I$ est un corps si $1_A+I \neq 0_A+I$ et si tout élément non nul $(a+I)$ admet un inverse multiplicatif. La première condition signifie $1_A \notin I$, donc $I \neq A$.
• Un idéal $I$ de $A$ est maximal s'il est propre ($I \neq A$) et s'il n'existe aucun idéal $J$ tel que $I \subsetneq J \subsetneq A$.

$(\Rightarrow)$ Supposons que $A/I$ est un corps.

D'abord, $I \neq A$ car $1_{A/I} \neq 0_{A/I}$.

Soit $J$ un idéal de $A$ tel que $I \subseteq J \subseteq A$. Supposons que $I \neq J$. Nous voulons montrer que $J=A$.

Puisque $I \neq J$, il existe un élément $a \in J$ tel que $a \notin I$.

Comme $a \notin I$, son image dans $A/I$, la classe $a+I$, est non nulle.

Puisque $A/I$ est un corps, l'élément non nul $a+I$ est inversible. Il existe donc $b \in A$ tel que $(a+I)(b+I) = 1+I$.

Ceci signifie que $ab+I = 1+I$, ce qui est équivalent à $1-ab \in I$.

Soit $x = 1-ab$. Puisque $x \in I$ et $I \subseteq J$, on a $x \in J$.

On a $a \in J$. Comme $J$ est un idéal et $b \in A$, on a $ab \in J$.

Puisque $J$ est un sous-groupe additif, $1-ab \in J$ et $ab \in J$ impliquent que $(1-ab)+ab = 1$ est aussi dans $J$.

Si l'idéal $J$ contient l'élément $1_A$, alors pour tout $r \in A$, $r \cdot 1 = r \in J$. Donc $J=A$.

Nous avons montré que tout idéal $J$ contenant strictement $I$ est égal à $A$. Donc $I$ est maximal.

$(\Leftarrow)$ Supposons que $I$ est un idéal maximal.

Puisque $I$ est maximal, $I \neq A$, donc $1 \notin I$, ce qui assure que $1_{A/I} \neq 0_{A/I}$.

Soit $a+I$ un élément non nul de $A/I$. Cela signifie que $a \notin I$.

Considérons l'ensemble $J = I + aA = \{i + ar \mid i \in I, r \in A\}$.

Cet ensemble $J$ est un idéal de $A$.

• Il contient $I$ (en prenant $r=0$).
• Il contient $a = 0+a\cdot 1$, donc il contient strictement $I$.

Puisque $I$ est un idéal maximal, on doit avoir $J=A$.

Comme $J=A$, l'élément $1_A$ appartient à $J$.

Il existe donc $i \in I$ et $b \in A$ tels que $1 = i + ab$.

En passant au quotient $A/I$, on a $1+I = (i+ab)+I$.

Comme $i \in I$, $i+I=0+I$.

Donc $1+I = (ab)+I = (a+I)(b+I)$.

Ceci montre que l'élément $b+I$ est l'inverse multiplicatif de $a+I$.

Tout élément non nul de $A/I$ est inversible, donc $A/I$ est un corps. $\square$

La construction de Grothendieck est une méthode générale pour "compléter" un monoïde commutatif $(M, +, 0)$ en un groupe abélien, appelé le groupe de Grothendieck $K(M)$. Elle formalise l'idée d'introduire des inverses formels.

1. La construction de $\mathbb{Z}$ à partir de $\mathbb{N}$ :

• On part du monoïde commutatif $(\mathbb{N}, +, 0)$.
• On considère le produit cartésien $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$. Une paire $(a,b)$ est pensée comme la différence formelle "a-b".
• On définit une relation d'équivalence : $(a,b) \sim (c,d) \iff a+d = b+c$. Cette relation identifie les différences qui devraient être égales (e.g., $3-1 = 2-0$, donc $(3,1) \sim (2,0)$).
• L'ensemble quotient $(\mathbb{N} \times \mathbb{N})/\sim$ est l'ensemble $\mathbb{Z}$.
• L'addition est définie par $\text{cl}(a,b) + \text{cl}(c,d) = \text{cl}(a+c, b+d)$, ce qui correspond à $(a-b)+(c-d) = (a+c)-(b+d)$.

2. La construction de Grothendieck générale :

• On part d'un monoïde commutatif $(M, +, 0)$ quelconque.
• On considère le produit cartésien $M \times M$. Une paire $(a,b)$ représente la différence formelle $a-b$.
• On définit une relation d'équivalence : $(a,b) \sim (c,d) \iff \exists k \in M \text{ tel que } a+d+k = b+c+k$.
  • Note : Si le monoïde est simplifiable (i.e., $x+k = y+k \Rightarrow x=y$), la condition se simplifie en $a+d=b+c$, comme pour $\mathbb{N}$. L'ajout de $k$ est nécessaire pour gérer les monoïdes non simplifiables.
• L'ensemble quotient $K(M) := (M \times M)/\sim$ est le groupe de Grothendieck.
• L'addition est définie par $\text{cl}(a,b) + \text{cl}(c,d) = \text{cl}(a+c, b+d)$.
• L'élément neutre est $\text{cl}(0,0)$ (ou $\text{cl}(m,m)$ pour tout $m \in M$).
• L'inverse de $\text{cl}(a,b)$ est $\text{cl}(b,a)$.

Conclusion :

La construction de $\mathbb{Z}$ est l'instance de la construction de Grothendieck appliquée au monoïde $(\mathbb{N},+)$. Cette méthode est très puissante et s'applique dans de nombreux domaines :

• En K-théorie topologique, on l'applique au monoïde des classes d'isomorphisme de fibrés vectoriels sur un espace topologique.
• En géométrie algébrique, on l'applique au monoïde des classes de faisceaux cohérents sur une variété.

Elle fournit une manière canonique de construire un groupe abélien à partir d'un monoïde commutatif, satisfaisant une propriété universelle : tout morphisme du monoïde $M$ vers un groupe abélien $G$ se factorise de manière unique à travers le groupe de Grothendieck $K(M)$.

Le foncteur "unités", souvent noté $U$ ou $(\cdot)^\times$, est un foncteur qui associe à chaque monoïde son groupe d'éléments inversibles.

Définition formelle :

Soit Mon la catégorie des monoïdes (les objets sont les monoïdes, les morphismes sont les morphismes de monoïdes) et Grp la catégorie des groupes (objets : groupes, morphismes : morphismes de groupes).

Le foncteur $U: \textbf{Mon} \to \textbf{Grp}$ est défini comme suit :

1. Sur les objets :

   Pour tout monoïde $(M, *_M, e_M)$, le foncteur associe l'objet $U(M) = (M^\times, *_M, e_M)$, qui est le groupe des unités (éléments inversibles) de $M$. Nous avons déjà prouvé que $M^\times$ est bien un groupe.

2. Sur les morphismes :

   Soit $f: M \to N$ un morphisme de monoïdes. On définit le morphisme $U(f): U(M) \to U(N)$ comme étant la restriction de $f$ à $M^\times$.

   • Validité de la définition : Il faut s'assurer que l'image de $M^\times$ par $f$ est bien dans $N^\times$. Soit $x \in M^\times$, avec inverse $x^{-1}$. Alors $f(x) * f(x^{-1}) = f(x*x^{-1}) = f(e_M) = e_N$. De même $f(x^{-1})*f(x)=e_N$. Donc $f(x)$ est inversible dans $N$ (avec inverse $f(x^{-1})$), et $f(x) \in N^\times$. La restriction $f|_{M^\times}$ est donc bien une application de $M^\times$ dans $N^\times$.
   • Propriété de morphisme de groupes : La restriction d'un morphisme de monoïdes est trivialement un morphisme de groupes, car elle préserve la loi de composition.

Propriétés du foncteur :

• $U$ préserve les identités : $U(\text{id}_M) = \text{id}_M|_{M^\times} = \text{id}_{M^\times} = \text{id}_{U(M)}$.
• $U$ préserve la composition : $U(g \circ f) = (g \circ f)|_{M^\times} = g|_{N^\times} \circ f|_{M^\times} = U(g) \circ U(f)$.

Lien entre les catégories :

Ce foncteur établit une relation formelle entre les deux catégories. Il existe aussi un foncteur "d'oubli" $F: \textbf{Grp} \to \textbf{Mon}$ qui "oublie" simplement que les inverses existent et considère chaque groupe comme un monoïde.

Le foncteur $U$ est l'adjoint à gauche du foncteur d'oubli $F$. Cette relation d'adjonction est une structure fondamentale en théorie des catégories et exprime de manière concise le fait que le groupe des unités est la "meilleure approximation par un groupe" d'un monoïde, d'une certaine manière. Il capture l'idée que les groupes sont des monoïdes avec une propriété supplémentaire (l'inversibilité).

Soit $f: (E, \le_E) \to (F, \le_F)$ un isomorphisme d'ordre. Un élément remarquable est défini uniquement par la structure d'ordre. Puisque l'isomorphisme préserve parfaitement cette structure, il doit préserver ces éléments.

Preuve pour le plus petit élément (minimum) :

Soit $m_E$ le plus petit élément de $E$.

• Définition de $m_E$ : Pour tout $x \in E$, on a $m_E \le_E x$.

Montrons que $f(m_E)$ est le plus petit élément de $F$. Soit $y$ un élément quelconque de $F$.

1. Puisque $f$ est une bijection, il existe un unique $x \in E$ tel que $f(x)=y$.
2. Par définition de $m_E$, on a $m_E \le_E x$.
3. Puisque $f$ est un isomorphisme d'ordre, l'équivalence $a \le_E b \iff f(a) \le_F f(b)$ est vraie. En l'appliquant à $m_E \le_E x$, on obtient : $f(m_E) \le_F f(x)$
4. En substituant $f(x)$ par $y$, on a $f(m_E) \le_F y$.

Ceci est vrai pour tout $y \in F$, donc $f(m_E)$ est le plus petit élément de $F$.

Argument général : Toute propriété qui peut être exprimée uniquement en termes de la relation d'ordre (e.g., "être un élément minimal", "être une borne supérieure d'un sous-ensemble", "former une chaîne") sera préservée par un isomorphisme d'ordre. L'isomorphisme agit comme une "traduction" parfaite de la structure d'ordre de $E$ vers $F$.

Deux ensembles finis et totalement ordonnés $(E, \le_E)$ et $(F, \le_F)$ sont isomorphes si et seulement s'ils ont le même cardinal (le même nombre d'éléments).

Preuve :

• Sens direct ($\Rightarrow$) : Si $E$ et $F$ sont isomorphes, il existe une bijection entre eux. Par définition, deux ensembles en bijection ont le même cardinal.

• Sens réciproque ($\Leftarrow$) : Supposons que $|E| = |F| = n$.

  1. Puisque $E$ est fini et totalement ordonné, on peut ordonner ses éléments de manière unique du plus petit au plus grand : $e_1 <_E e_2 <_E \dots <_E e_n$.
  2. De même, on peut ordonner les éléments de $F$ : $f_1 <_F f_2 <_F \dots <_F f_n$.
  3. On définit une application $h: E \to F$ en associant le $k$-ième élément de $E$ au $k$-ième élément de $F$ : $h(e_k) = f_k \quad \text{pour } k=1, \dots, n$
  4. $h$ est une bijection : C'est évident par construction. Elle associe chaque élément de $E$ à un unique élément de $F$.
  5. $h$ est un isomorphisme d'ordre : On doit vérifier $e_i \le_E e_j \iff h(e_i) \le_F h(e_j)$.
     • Si $e_i \le_E e_j$, alors $i \le j$. Par construction, $h(e_i) = f_i$ et $h(e_j) = f_j$. Comme l'ordre des indices est préservé, on a $f_i \le_F f_j$.
     • Réciproquement, si $h(e_i) \le_F h(e_j)$, alors $f_i \le_F f_j$, ce qui implique $i \le j$, et donc $e_i \le_E e_j$.

L'application $h$ est donc un isomorphisme d'ordre.

Conclusion : Pour les ensembles finis et totalement ordonnés, la structure est entièrement déterminée par le nombre d'éléments. Tout ensemble de ce type de cardinal $n$ est isomorphe à l'ensemble de référence $(\{1, 2, \dots, n\}, \le)$.