Exercices “Structures algébriques” (A)

Méthode: Pour trouver l’expression d’une composition d’applications comme $g \circ f$, on applique la définition : $(g \circ f)(x) = g(f(x))$. Cela signifie qu’on remplace d’abord $f(x)$ par son expression, puis on applique l’application $g$ au résultat obtenu. On procède de manière similaire pour $f \circ g$.

Étapes:

1. Détermination de $g \circ f$:

   On applique la définition de la composition :

   $(g \circ f)(x) = g(f(x))$.

   On remplace $f(x)$ par son expression, $3x-2$ :

   $(g \circ f)(x) = g(3x - 2)$.

   Maintenant, on applique la définition de $g(y) = y^2 + 1$ en posant $y = 3x-2$ :

   $(g \circ f)(x) = (3x - 2)^2 + 1$.

   On développe l’expression :

   $(g \circ f)(x) = (9x^2 - 12x + 4) + 1 = 9x^2 - 12x + 5$.

2. Détermination de $f \circ g$:

   On applique la définition de la composition :

   $(f \circ g)(x) = f(g(x))$.

   On remplace $g(x)$ par son expression, $x^2+1$ :

   $(f \circ g)(x) = f(x^2 + 1)$.

   Maintenant, on applique la définition de $f(y) = 3y-2$ en posant $y = x^2+1$ :

   $(f \circ g)(x) = 3(x^2 + 1) - 2$.

   On développe l’expression :

   $(f \circ g)(x) = 3x^2 + 3 - 2 = 3x^2 + 1$.

3. Calculs et conclusion:

   On utilise les expressions trouvées :

   Pour $(g \circ f)(2)$ :

   $(g \circ f)(2) = 9(2)^2 - 12(2) + 5 = 9(4) - 24 + 5 = 36 - 24 + 5 = 17$.

   Pour $(f \circ g)(2)$ :

   $(f \circ g)(2) = 3(2)^2 + 1 = 3(4) + 1 = 12 + 1 = 13$.

   Puisque $(g \circ f)(2) = 17$ et $(f \circ g)(2) = 13$, les résultats sont différents. Cela confirme que les applications $g \circ f$ et $f \circ g$ ne sont pas égales. La composition des applications n’est pas commutative en général.

Réponse:

1. $(g \circ f)(x) = 9x^2 - 12x + 5$
2. $(f \circ g)(x) = 3x^2 + 1$
3. $(g \circ f)(2) = 17$ et $(f \circ g)(2) = 13$. Les compositions ne sont pas égales.

Méthode: Pour étudier les propriétés de $f$, il est utile de connaître son graphe. On met l’expression sous forme canonique pour trouver le sommet de la parabole.

$f(x) = (x^2 - 4x + 4) + 1 = (x - 2)^2 + 1$.

C’est une parabole tournée vers le haut, dont le sommet est au point $(2, 1)$. La valeur minimale de $f(x)$ est $1$, atteinte en $x=2$.

Étapes:

1. Cas 1 : $f_1: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

   • Injectivité : Une application est injective si des éléments distincts ont des images distinctes. Cherchons deux nombres réels distincts ayant la même image. Par symétrie par rapport à l’axe $x=2$, on peut prendre $x_1 = 1$ et $x_2 = 3$.

     $f_1(1) = (1-2)^2 + 1 = (-1)^2 + 1 = 2$.

     $f_1(3) = (3-2)^2 + 1 = 1^2 + 1 = 2$.

     Puisque $1 \neq 3$ mais $f_1(1) = f_1(3)$, l’application n’est pas injective.

   • Surjectivité : Une application est surjective si tout élément de l’ensemble d’arrivée a au moins un antécédent. L’image de $f_1$ est $[1, +\infty[$ car le minimum de la fonction est 1. Un réel comme $y=0 \in \mathbb{R}$ (ensemble d’arrivée) n’a pas d’antécédent, car l’équation $(x-2)^2 + 1 = 0$ n’a pas de solution réelle. L’application n’est pas surjective.

   • Conclusion : $f_1$ n’est ni injective, ni surjective, donc non bijective.

2. Cas 2 : $f_2: [2, +\infty[ \to \mathbb{R}$

   • Injectivité : L’ensemble de départ est $[2, +\infty[$. Sur cet intervalle, la fonction $f(x) = (x-2)^2+1$ est strictement croissante. Soient $x_1, x_2 \in [2, +\infty[$ tels que $f_2(x_1) = f_2(x_2)$.

     $(x_1-2)^2 + 1 = (x_2-2)^2 + 1 \implies (x_1-2)^2 = (x_2-2)^2$.

     Comme $x_1, x_2 \ge 2$, on a $x_1-2 \ge 0$ et $x_2-2 \ge 0$. Donc, on peut prendre la racine carrée :

     $x_1-2 = x_2-2 \implies x_1 = x_2$.

     L’application est injective.

   • Surjectivité : L’ensemble d’arrivée est $\mathbb{R}$. L’image de $f_2$ sur $[2, +\infty[$ est $[f_2(2), \lim_{x \to \infty} f_2(x)[ = [1, +\infty[$. Un réel comme $y=0$ n’a toujours pas d’antécédent. L’application n’est pas surjective.

   • Conclusion : $f_2$ est injective mais pas surjective.

3. Cas 3 : $f_3: [2, +\infty[ \to [1, +\infty[$

   • Injectivité : L’ensemble de départ est le même que pour $f_2$, donc l’application est injective.
   • Surjectivité : L’ensemble d’arrivée est $[1, +\infty[$. Comme nous l’avons vu, l’image de $f$ sur l’ensemble de départ $[2, +\infty[$ est exactement $[1, +\infty[$. L’image de l’application est égale à son ensemble d’arrivée. L’application est surjective.
   • Conclusion : $f_3$ est injective et surjective, elle est bijective.

Réponse:

1. $f_1$: Ni injective, ni surjective.
2. $f_2$: Injective mais pas surjective.
3. $f_3$: Bijective.

Méthode: Pour vérifier si $(E, *)$ est un groupe, nous devons vérifier les quatre points suivants :

1. La loi $*$ est une loi de composition interne sur $E$.
2. La loi $*$ est associative.
3. Il existe un élément neutre dans $E$.
4. Chaque élément de $E$ admet un inverse (symétrique) dans $E$.

Enfin, nous vérifierons la commutativité.

Étapes:

1. Loi de composition interne :

   Soient $a, b \in E$. Cela signifie $a \neq -1$ et $b \neq -1$. On doit vérifier que $a*b \neq -1$.

   Supposons par l’absurde que $a*b = -1$.

   $a + b + ab = -1$

   $1 + a + b + ab = 0$

   $(1+a) + b(1+a) = 0$

   $(1+a)(1+b) = 0$

   Ceci implique que $1+a = 0$ ou $1+b = 0$, donc $a = -1$ ou $b = -1$. C’est une contradiction avec le fait que $a, b \in E$.

   Donc, $a*b \neq -1$, et $a*b \in E$. La loi est bien interne.

2. Associativité :

   Soient $a, b, c \in E$.

   $(a * b) * c = (a+b+ab) * c = (a+b+ab) + c + (a+b+ab)c = a+b+c+ab+ac+bc+abc$.

   $a * (b * c) = a * (b+c+bc) = a + (b+c+bc) + a(b+c+bc) = a+b+c+bc+ab+ac+abc$.

   Les deux expressions sont égales, donc la loi est associative.

3. Élément neutre :

   On cherche $e \in E$ tel que pour tout $a \in E$, $a * e = a$.

   $a + e + ae = a$

   $e + ae = 0$

   $e(1+a) = 0$

   Puisque $a \in E$, $a \neq -1$, donc $1+a \neq 0$. On peut diviser par $(1+a)$ pour obtenir $e=0$.

   Vérifions que $0$ est bien dans $E$ ($0 \neq -1$) et qu’il est aussi neutre à gauche : $0 * a = 0+a+0a = a$.

   L’élément neutre est $e=0$.

4. Inverse (symétrique) :

   Pour un $a \in E$ donné, on cherche $a' \in E$ tel que $a * a' = e = 0$.

   $a + a' + aa' = 0$

   $a'(1+a) = -a$

   Puisque $a \neq -1$, on peut diviser par $1+a$ : $a' = \frac{-a}{1+a}$.

   Pour que $a'$ soit l’inverse de $a$, il doit appartenir à $E$, c’est-à-dire $a' \neq -1$.

   Supposons $a' = -1 \implies \frac{-a}{1+a} = -1 \implies -a = -(1+a) \implies -a = -1-a \implies 0 = -1$, ce qui est impossible.

   Donc $a'$ est toujours différent de $-1$ et appartient à $E$.

   Chaque élément $a \in E$ admet un inverse, $a' = \frac{-a}{1+a}$.

5. Commutativité :

   Soient $a, b \in E$.

   $a*b = a+b+ab$.

   $b*a = b+a+ba$.

   Puisque l’addition et la multiplication dans $\mathbb{R}$ sont commutatives, $a*b = b*a$.

   La loi est commutative.

Conclusion: $(E, *)$ vérifie tous les axiomes d’un groupe (associativité, élément neutre, inverse) et est de plus commutatif.

Réponse: Oui, $(E, *)$ est un groupe abélien (commutatif).

Méthode: Nous devons vérifier les axiomes d’un groupe pour $(G, \times)$ où $\times$ est la multiplication matricielle.

Étapes:

1. Loi de composition interne :

   Soient $M_a, M_b \in G$, avec $a, b \in \mathbb{R}$.

   $M_a \times M_b = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot1+a\cdot0 & 1\cdot b+a\cdot1 \\ 0\cdot1+1\cdot0 & 0\cdot b+1\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & a+b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

   Le résultat est une matrice de la forme $M_{a+b}$. Comme $a+b \in \mathbb{R}$, la matrice $M_{a+b}$ appartient à $G$. La multiplication est donc bien une loi de composition interne.

2. Associativité :

   La multiplication des matrices est associative en général. Cette propriété est donc héritée par les matrices de $G$.

   On peut le vérifier explicitement : $(M_a \times M_b) \times M_c = M_{a+b} \times M_c = M_{(a+b)+c}$.

   $M_a \times (M_b \times M_c) = M_a \times M_{b+c} = M_{a+(b+c)}$.

   Comme l’addition dans $\mathbb{R}$ est associative, $(a+b)+c = a+(b+c)$, donc la loi est associative.

3. Élément neutre :

   On cherche une matrice $M_e \in G$ telle que $M_a \times M_e = M_a$ pour tout $a \in \mathbb{R}$.

   $M_a \times M_e = M_{a+e}$. On veut que $M_{a+e} = M_a$, ce qui implique $a+e = a$, donc $e=0$.

   L’élément neutre est $M_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2$, la matrice identité, qui appartient bien à $G$.

4. Inverse :

   Pour une matrice $M_a \in G$, on cherche son inverse $M_{a'} \in G$ tel que $M_a \times M_{a'} = M_0$.

   $M_a \times M_{a'} = M_{a+a'}$. On veut que $M_{a+a'} = M_0$, ce qui implique $a+a'=0$, donc $a'=-a$.

   L’inverse de $M_a$ est $M_{-a} = \begin{pmatrix} 1 & -a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Comme $-a \in \mathbb{R}$, cet inverse est toujours dans $G$.

5. Commutativité :

   On compare $M_a \times M_b$ et $M_b \times M_a$.

   $M_a \times M_b = M_{a+b}$.

   $M_b \times M_a = M_{b+a}$.

   Puisque l’addition dans $\mathbb{R}$ est commutative ($a+b=b+a$), on a $M_{a+b} = M_{b+a}$.

   Le groupe est donc abélien.

Conclusion: $(G, \times)$ satisfait tous les axiomes d’un groupe abélien.

Réponse: Oui, $(G, \times)$ est un groupe abélien.

Méthode: Pour montrer que $U$ est un sous-groupe de $\mathbb{C}^*$, nous allons utiliser la caractérisation des sous-groupes : $U$ est un sous-groupe si et seulement si $U$ est non vide et pour tous $x, y \in U$, on a $x y^{-1} \in U$.

Étapes:

1. Vérifier que U est non vide :

   L’élément neutre de $(\mathbb{C}^*, \times)$ est $1$. On vérifie si $1 \in U$.

   Le module de $1$ est $|1| = 1$. Donc $1 \in U$, et $U$ n’est pas vide.

2. Utiliser la caractérisation du sous-groupe :

   Soient $x \in U$ et $y \in U$.

   Par définition, cela signifie que $|x| = 1$ et $|y| = 1$.

   On doit montrer que $x y^{-1} \in U$, c’est-à-dire que $|x y^{-1}| = 1$.

3. Calculer le module :

   On utilise les propriétés du module : $|z_1 z_2| = |z_1| |z_2|$ et $|z^{-1}| = 1/|z|$.

   $|x y^{-1}| = |x| \cdot |y^{-1}| = |x| \cdot \frac{1}{|y|}$.

   Puisque $|x|=1$ et $|y|=1$, on a :

   $|x y^{-1}| = 1 \cdot \frac{1}{1} = 1$.

   La condition est vérifiée.

Conclusion:

Puisque $U$ est une partie non vide de $\mathbb{C}^*$ et que pour tous $x,y \in U$, on a $xy^{-1} \in U$, alors $U$ est un sous-groupe de $(\mathbb{C}^*, \times)$.

Réponse: L’ensemble $U = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1 \}$ est un sous-groupe de $(\mathbb{C}^*, \times)$.

Méthode: Pour montrer que c’est un anneau, on peut vérifier les axiomes. Une méthode plus rapide est de montrer que c’est un sous-anneau de $(\mathbb{R}, +, \times)$, qui est un anneau connu. Un sous-ensemble est un sous-anneau s’il contient 1, et s’il est stable par soustraction et multiplication.

Étapes:

1. Montrer que c’est un anneau commutatif :

   • $(\mathbb{Z}[\sqrt{2}], +)$ est un sous-groupe de $(\mathbb{R}, +)$.

     • L’élément neutre $0 = 0+0\sqrt{2}$ est dans $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$.
     • Soient $x = a+b\sqrt{2}$ et $y = c+d\sqrt{2}$.

     $x-y = (a-c) + (b-d)\sqrt{2}$. Comme $a-c \in \mathbb{Z}$ et $b-d \in \mathbb{Z}$, $x-y \in \mathbb{Z}[\sqrt{2}]$. C’est donc un sous-groupe additif de $\mathbb{R}$. Étant un sous-groupe d’un groupe abélien, il est abélien.

   • Stabilité par multiplication :

     $x \times y = (a+b\sqrt{2})(c+d\sqrt{2}) = ac + ad\sqrt{2} + bc\sqrt{2} + 2bd = (ac+2bd) + (ad+bc)\sqrt{2}$.

     Comme $ac+2bd \in \mathbb{Z}$ et $ad+bc \in \mathbb{Z}$, le produit $xy$ est dans $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$.

   • Élément neutre pour la multiplication : $1 = 1 + 0\sqrt{2}$ est dans $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$.

   • La multiplication est associative et distributive car ce sont des propriétés de la multiplication dans $\mathbb{R}$.

   • La multiplication est commutative car $(a+b\sqrt{2})(c+d\sqrt{2}) = (c+d\sqrt{2})(a+b\sqrt{2})$.

   • Conclusion : $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ est un sous-anneau commutatif de $\mathbb{R}$, donc c’est un anneau commutatif.

2. Intégrité :

   Un anneau est intègre s’il est commutatif, non nul, et n’a pas de diviseur de zéro.

   On a déjà montré qu’il est commutatif. $1 \neq 0$.

   Soient $x = a+b\sqrt{2}$ et $y = c+d\sqrt{2}$ deux éléments de $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ tels que $xy=0$.

   Puisque $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ est un sous-ensemble de $\mathbb{R}$, et que $\mathbb{R}$ est un corps (donc un anneau intègre), si le produit de deux nombres réels est nul, l’un des deux doit être nul.

   Donc $xy=0 \implies x=0$ ou $y=0$.

   L’anneau est intègre.

3. Corps :

   Pour être un corps, tout élément non nul doit avoir un inverse multiplicatif dans l’anneau lui-même.

   Considérons l’élément $x = 2 = 2+0\sqrt{2} \in \mathbb{Z}[\sqrt{2}]$. Son inverse dans $\mathbb{R}$ est $1/2$.

   Cherchons si $1/2$ appartient à $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$. On cherche $a, b \in \mathbb{Z}$ tels que $a+b\sqrt{2} = 1/2$.

   Si $b=0$, alors $a=1/2$, ce qui n’est pas un entier.

   Si $b \neq 0$, alors $\sqrt{2} = (1/2 - a)/b$. Le membre de droite serait un nombre rationnel, alors que $\sqrt{2}$ est irrationnel. C’est une contradiction.

   Donc $1/2 \notin \mathbb{Z}[\sqrt{2}]$. L’élément 2 n’a pas d’inverse dans $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$.

   L’anneau n’est pas un corps.

Réponse:

1. Oui, $(\mathbb{Z}[\sqrt{2}], +, \times)$ est un anneau commutatif.
2. Oui, c’est un anneau intègre.
3. Non, ce n’est pas un corps.

Méthode: Les calculs se font modulo 7. Pour trouver l’inverse d’un élément $\bar{a}$, on cherche un élément $\bar{b}$ tel que $\bar{a} \times \bar{b} = \bar{1}$. Pour résoudre l’équation, on isole l’inconnue $x$ en utilisant les opérations du corps.

Étapes:

1. Table de multiplication de $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$:

   Les éléments sont $\{\bar{0}, \bar{1}, \bar{2}, \bar{3}, \bar{4}, \bar{5}, \bar{6}\}$.

| $\times$ | $\bar{0}$ | $\bar{1}$ | $\bar{2}$ | $\bar{3}$ | $\bar{4}$ | $\bar{5}$ | $\bar{6}$ |

| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |

| $\bar{0}$ | $\bar{0}$ | $\bar{0}$ | $\bar{0}$ | $\bar{0}$ | $\bar{0}$ | $\bar{0}$ | $\bar{0}$ |

| $\bar{1}$ | $\bar{0}$ | $\bar{1}$ | $\bar{2}$ | $\bar{3}$ | $\bar{4}$ | $\bar{5}$ | $\bar{6}$ |

| $\bar{2}$ | $\bar{0}$ | $\bar{2}$ | $\bar{4}$ | $\bar{6}$ | $\overline{10}=\bar{3}$ | $\overline{12}=\bar{5}$| $\overline{14}=\bar{1}$|

| $\bar{3}$ | $\bar{0}$ | $\bar{3}$ | $\bar{6}$ | $\bar{9}=\bar{2}$ | $\overline{12}=\bar{5}$| $\overline{15}=\bar{1}$| $\overline{18}=\bar{4}$|

| $\bar{4}$ | $\bar{0}$ | $\bar{4}$ | $\bar{1}$ | $\bar{5}$ | $\overline{16}=\bar{2}$| $\overline{20}=\bar{6}$| $\overline{24}=\bar{3}$|

| $\bar{5}$ | $\bar{0}$ | $\bar{5}$ | $\bar{3}$ | $\bar{1}$ | $\bar{6}$ | $\overline{25}=\bar{4}$| $\overline{30}=\bar{2}$|

| $\bar{6}$ | $\bar{0}$ | $\bar{6}$ | $\bar{5}$ | $\bar{4}$ | $\bar{3}$ | $\bar{2}$ | $\overline{36}=\bar{1}$|

2. Inverses multiplicatifs :

   On cherche dans chaque ligne (sauf la première) où se trouve l’élément $\bar{1}$.

   • $\bar{1} \times \bar{1} = \bar{1} \implies \bar{1}^{-1} = \bar{1}$
   • $\bar{2} \times \bar{4} = \bar{1} \implies \bar{2}^{-1} = \bar{4}$ (et $\bar{4}^{-1} = \bar{2}$)
   • $\bar{3} \times \bar{5} = \bar{1} \implies \bar{3}^{-1} = \bar{5}$ (et $\bar{5}^{-1} = \bar{3}$)
   • $\bar{6} \times \bar{6} = \bar{1} \implies \bar{6}^{-1} = \bar{6}$

3. Résolution de l’équation :

   On veut résoudre $\bar{3}x + \bar{5} = \bar{1}$.

   On soustrait $\bar{5}$ des deux côtés (ce qui revient à ajouter son opposé, $\bar{2}$) :

   $\bar{3}x + \bar{5} - \bar{5} = \bar{1} - \bar{5}$

   $\bar{3}x = \bar{1} + \bar{2}$

   $\bar{3}x = \bar{3}$

   Maintenant, on multiplie par l’inverse de $\bar{3}$, qui est $\bar{5}$ :

   $\bar{5} \times (\bar{3}x) = \bar{5} \times \bar{3}$

   $(\bar{5} \times \bar{3})x = \bar{1}$

   $\bar{1}x = \bar{1}$

   $x = \bar{1}$

   On peut aussi remarquer à l’étape $\bar{3}x = \bar{3}$ que puisque $\bar{3} \neq \bar{0}$, on peut simplifier par $\bar{3}$ pour obtenir directement $x=\bar{1}$.

Réponse:

1. Voir la table ci-dessus.
2. $\bar{1}^{-1}=\bar{1}$, $\bar{2}^{-1}=\bar{4}$, $\bar{3}^{-1}=\bar{5}$, $\bar{4}^{-1}=\bar{2}$, $\bar{5}^{-1}=\bar{3}$, $\bar{6}^{-1}=\bar{6}$.
3. La solution de l’équation est $x = \bar{1}$.

Méthode:

1. Pour montrer que $f$ est un morphisme de groupes, on doit vérifier que $f(x+y) = f(x) \times f(y)$ pour tous $x, y \in \mathbb{R}$.
2. Le noyau est l’ensemble des $x \in \mathbb{R}$ tels que $f(x)$ est l’élément neutre de $(\mathbb{C}^*, \times)$, c’est-à-dire $f(x)=1$.
3. L’image est l’ensemble des valeurs prises par $f(x)$ lorsque $x$ parcourt $\mathbb{R}$. On conclura sur l’injectivité et la surjectivité à partir du noyau et de l’image.

Étapes:

1. Vérification du morphisme :

   Soient $x, y \in \mathbb{R}$.

   $f(x+y) = e^{i(x+y)} = e^{ix} \cdot e^{iy}$.

   Par définition, $f(x) = e^{ix}$ et $f(y) = e^{iy}$.

   Donc, $f(x+y) = f(x) \times f(y)$.

   La propriété est vérifiée, $f$ est bien un morphisme de groupes.

2. Détermination du noyau :

   On cherche les $x \in \mathbb{R}$ tels que $f(x)=1$.

   $e^{ix} = 1 \iff \cos(x) + i\sin(x) = 1 + i\cdot 0$.

   Cela est équivalent au système :

   $\begin{cases} \cos(x) = 1 \\ \sin(x) = 0 \end{cases}$

   Cette condition est remplie si et seulement si $x$ est un multiple entier de $2\pi$.

   Donc, $\text{Ker}(f) = \{ 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \}$.

3. Détermination de l’image et propriétés :

   • Image : L’image de $f$ est l’ensemble des nombres complexes de la forme $e^{ix}$ pour $x \in \mathbb{R}$. Le module de ces nombres est $|e^{ix}| = \sqrt{\cos^2(x)+\sin^2(x)} = 1$.

     L’image est donc l’ensemble des nombres complexes de module 1, c’est-à-dire le cercle unité $U$.

     $\text{Im}(f) = \{ z \in \mathbb{C}^* \mid |z|=1 \}$.

   • Injectivité : Un morphisme est injectif si et seulement si son noyau est réduit à l’élément neutre du groupe de départ. L’élément neutre de $(\mathbb{R}, +)$ est $0$.

     Ici, $\text{Ker}(f) = 2\pi\mathbb{Z}$, qui contient une infinité d’éléments. Le noyau n’est pas $\{0\}$.

     Donc $f$ n’est pas injective. Par exemple, $f(0)=1$ et $f(2\pi)=1$.

   • Surjectivité : Un morphisme est surjectif si son image est égale à l’ensemble d’arrivée.

     Ici, $\text{Im}(f) = U$ et l’ensemble d’arrivée est $\mathbb{C}^*$.

     Puisque $U$ est un sous-ensemble strict de $\mathbb{C}^*$ (par exemple, le nombre $2 \in \mathbb{C}^*$ mais $2 \notin U$), l’application $f$ n’est pas surjective.

Réponse:

1. $f$ est un morphisme de groupes.
2. $\text{Ker}(f) = \{ 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \} = 2\pi\mathbb{Z}$.
3. $\text{Im}(f) = U = \{ z \in \mathbb{C}^* \mid |z|=1 \}$. L’application n’est ni injective, ni surjective.

Méthode: Pour montrer que $\sim$ est une relation d’équivalence, il faut vérifier qu’elle est réflexive, symétrique et transitive. La description géométrique se déduit de l’interprétation de la condition $x^2+y^2=C$.

Étapes:

1. Vérification de la relation d’équivalence :

   • Réflexivité : Soit $(x, y) \in \mathbb{R}^2$. On a $x^2+y^2 = x^2+y^2$, donc $(x,y) \sim (x,y)$. La relation est réflexive.

   • Symétrie : Soient $(x, y), (x', y') \in \mathbb{R}^2$ tels que $(x, y) \sim (x', y')$.

     Cela signifie $x^2+y^2 = (x')^2+(y')^2$.

     L’égalité étant symétrique, on peut écrire $(x')^2+(y')^2 = x^2+y^2$, ce qui signifie $(x', y') \sim (x, y)$. La relation est symétrique.

   • Transitivité : Soient $(x, y), (x', y'), (x'', y'') \in \mathbb{R}^2$ tels que $(x, y) \sim (x', y')$ et $(x', y') \sim (x'', y'')$.

     On a $x^2+y^2 = (x')^2+(y')^2$ et $(x')^2+(y')^2 = (x'')^2+(y'')^2$.

     Par transitivité de l’égalité dans $\mathbb{R}$, on en déduit $x^2+y^2 = (x'')^2+(y'')^2$, ce qui signifie $(x, y) \sim (x'', y'')$. La relation est transitive.

   • Conclusion : La relation $\sim$ est bien une relation d’équivalence.

2. Description de la classe d’équivalence :

   La classe d’équivalence d’un point $(a, b)$, notée $\text{cl}(a,b)$, est l’ensemble de tous les points $(x,y)$ tels que $(x,y) \sim (a,b)$.

   C’est donc l’ensemble des points $(x,y)$ vérifiant $x^2+y^2 = a^2+b^2$.

   Géométriquement, l’équation $x^2+y^2 = R^2$ (avec $R \ge 0$) décrit un cercle de centre l’origine $(0,0)$ et de rayon $R$.

   Ici, $R^2 = a^2+b^2$, donc $R = \sqrt{a^2+b^2}$ (la distance du point $(a,b)$ à l’origine).

   • Si $(a,b) = (0,0)$, la classe d’équivalence est l’ensemble des points $(x,y)$ tels que $x^2+y^2=0$, ce qui n’est possible que si $x=0$ et $y=0$. La classe est donc juste le point $\{(0,0)\}$.
   • Si $(a,b) \neq (0,0)$, la classe d’équivalence est le cercle centré à l’origine passant par le point $(a,b)$.

3. Description de l’ensemble quotient :

   L’ensemble quotient $\mathbb{R}^2 / \sim$ est l’ensemble de toutes les classes d’équivalence.

   D’après la question précédente, les classes d’équivalence sont les cercles centrés à l’origine (plus l’origine elle-même comme un cercle de rayon 0).

   Chaque cercle est entièrement déterminé par son rayon $R \ge 0$. Deux cercles sont distincts si et seulement si leurs rayons sont distincts.

   On peut donc identifier chaque classe d’équivalence avec son rayon $R = \sqrt{x^2+y^2}$. L’ensemble de tous les rayons possibles est l’ensemble des réels positifs ou nuls, $\mathbb{R}_+ = [0, +\infty[$.

   L’ensemble quotient est donc en bijection avec $\mathbb{R}_+$.

Réponse:

1. La relation $\sim$ est réflexive, symétrique et transitive, c’est donc une relation d’équivalence.
2. La classe d’équivalence de $(a, b)$ est le cercle de centre l’origine et de rayon $\sqrt{a^2+b^2}$. Si $(a,b)=(0,0)$, c’est le point origine lui-même.
3. L’ensemble quotient $\mathbb{R}^2/\sim$ peut être identifié à l’ensemble des rayons possibles, c’est-à-dire l’intervalle $[0, +\infty[$.

Méthode:

1. Un élément $\bar{k}$ dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est inversible si et seulement si $k$ et $n$ sont premiers entre eux ($\text{pgcd}(k,n)=1$).
2. Un élément non nul $\bar{a}$ est un diviseur de zéro s’il existe un élément non nul $\bar{b}$ tel que $\bar{a} \times \bar{b} = \bar{0}$. Cela se produit lorsque $\text{pgcd}(a, n) > 1$.
3. Les calculs se font modulo 10.

Étapes:

1. Éléments inversibles :

   On cherche les entiers $k \in \{1, 2, ..., 9\}$ tels que $\text{pgcd}(k, 10)=1$.

   • $\text{pgcd}(1, 10) = 1 \implies \bar{1}$ est inversible.
   • $\text{pgcd}(2, 10) = 2 \neq 1$.
   • $\text{pgcd}(3, 10) = 1 \implies \bar{3}$ est inversible.
   • $\text{pgcd}(4, 10) = 2 \neq 1$.
   • $\text{pgcd}(5, 10) = 5 \neq 1$.
   • $\text{pgcd}(6, 10) = 2 \neq 1$.
   • $\text{pgcd}(7, 10) = 1 \implies \bar{7}$ est inversible.
   • $\text{pgcd}(8, 10) = 2 \neq 1$.
   • $\text{pgcd}(9, 10) = 1 \implies \bar{9}$ est inversible.

   Les éléments inversibles sont $\bar{1}, \bar{3}, \bar{7}, \bar{9}$.

2. Diviseurs de zéro :

   Ce sont les éléments non nuls qui ne sont pas inversibles. D’après la question 1, il s’agit des éléments $\bar{k}$ où $k \in \{2, 4, 5, 6, 8\}$.

   Vérifions pour quelques-uns :

   • $\bar{2} \times \bar{5} = \overline{10} = \bar{0}$. Donc $\bar{2}$ et $\bar{5}$ sont des diviseurs de zéro.
   • $\bar{4} \times \bar{5} = \overline{20} = \bar{0}$. Donc $\bar{4}$ est un diviseur de zéro.
   • $\bar{6} \times \bar{5} = \overline{30} = \bar{0}$. Donc $\bar{6}$ est un diviseur de zéro.
   • $\bar{8} \times \bar{5} = \overline{40} = \bar{0}$. Donc $\bar{8}$ est un diviseur de zéro.

   Les diviseurs de zéro sont $\bar{2}, \bar{4}, \bar{5}, \bar{6}, \bar{8}$.

3. Calcul :

   On calcule d’abord la parenthèse :

   $\bar{3} + \bar{9} = \overline{12}$.

   Modulo 10, $\overline{12} = \bar{2}$.

   On calcule ensuite le produit :

   $\bar{2} \times \bar{7} = \overline{14}$.

   Modulo 10, $\overline{14} = \bar{4}$.

   Le résultat est $\bar{4}$.