Structures algébriques - fiches de révision (A)

Soient $X$ et $Y$ deux ensembles. Une application (ou fonction) $f$ de $X$ dans $Y$, notée $f: X \to Y$, est une règle qui associe à chaque élément $x$ de l'ensemble de départ $X$ un unique élément $y$ de l'ensemble d'arrivée $Y$. Cet unique élément $y$ est noté $f(x)$ et est appelé l'image de $x$ par $f$.

Deux conditions sont donc essentielles :

1. Existence : Chaque élément de l'ensemble de départ $X$ doit avoir une image dans $Y$.
2. Unicité : Chaque élément de $X$ ne doit avoir qu'une seule image.

Formellement, le graphe de l'application est un sous-ensemble $\Gamma_f \subset X \times Y$ tel que pour tout $x \in X$, il existe un et un seul $y \in Y$ pour lequel le couple $(x, y)$ appartient à $\Gamma_f$.

Exemple :

L'application $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = x^2$.

• À chaque réel $x$, on associe un unique réel $x^2$. Par exemple, $f(3) = 9$.
• Un contre-exemple serait une relation qui à $x=4$ associerait $y=2$ et $y=-2$. Ce ne serait pas une application car l'image ne serait pas unique.

Soit $f : X \to Y$ une application.

1. Injectivité

   On dit que $f$ est injective si deux éléments distincts de l'ensemble de départ ont toujours des images distinctes. Autrement dit, chaque élément de l'ensemble d'arrivée $Y$ est l'image d'au plus un élément de $X$.

   Mathématiquement : Pour tous $x_1, x_2 \in X$,

   $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$

2. Surjectivité

   On dit que $f$ est surjective si tout élément de l'ensemble d'arrivée est l'image d'au moins un élément de l'ensemble de départ.

   Mathématiquement : Pour tout $y \in Y$, il existe au moins un $x \in X$ tel que :

   $f(x) = y$

3. Bijectivité

   On dit que $f$ est bijective si elle est à la fois injective et surjective. Cela signifie que pour tout élément $y \in Y$, il existe un et un seul $x \in X$ tel que $f(x)=y$. Une bijection établit une correspondance parfaite "un pour un" entre les éléments de $X$ et de $Y$.

Exemple :

Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = 2x - 3$.

• Elle est injective car si $2x_1 - 3 = 2x_2 - 3$, alors $x_1=x_2$.
• Elle est surjective car pour tout $y \in \mathbb{R}$, on peut trouver $x = (y+3)/2$ tel que $f(x)=y$.
• Elle est donc bijective.

Une loi de composition interne (LCI) ou opération binaire sur un ensemble non vide $X$ est une application $*: X \times X \to X$.

Cela signifie qu'une opération binaire prend deux éléments de l'ensemble $X$ et leur associe un unique élément qui appartient aussi à $X$. Pour un couple $(x, y) \in X \times X$, on note l'image $*(x,y)$ par la notation infixe $x*y$.

La propriété fondamentale est la stabilité : le résultat de l'opération sur deux éléments de $X$ reste dans $X$.

Exemples :

• L'addition $(+)$ est une loi de composition interne sur l'ensemble des entiers $\mathbb{Z}$, car la somme de deux entiers est toujours un entier.
• La division $(/)$ n'est pas une loi de composition interne sur $\mathbb{Z}$, car le résultat de $3/2$ n'est pas un entier.

Contre-exemple :

L'addition sur l'ensemble $I = \{1, 3, 5, ...\}$ des entiers impairs n'est pas une loi de composition interne, car $1+3=4$, et 4 n'est pas dans $I$.

Un groupe est un couple $(G, *)$ où $G$ est un ensemble non vide et $*$ est une loi de composition interne sur $G$, satisfaisant les quatre axiomes suivants "SANI":

1. Stabilité : L’opération $* : E \times E \to E$ est une loi de composition interne, c’est-à-dire que pour tout $x, y \in E$, on a $x * y \in E$.

2. Associativité : L'opération est associative. Pour tous $a, b, c \in G$, on a :

   $(a * b) * c = a * (b * c)$

3. Élément Neutre : Il existe un élément $e \in G$, appelé élément neutre, tel que pour tout $a \in G$ :

   $a * e = e * a = a$

4. Inverse : Pour chaque élément $a \in G$, il existe un élément $a^{-1} \in G$, appelé l'inverse de $a$, tel que :

   $a * a^{-1} = a^{-1} * a = e$

Si, de plus, l'opération $*$ est commutative ($a * b = b * a$), on dit que le groupe est abélien (ou commutatif).

Exemple fondamental :

L'ensemble des entiers relatifs muni de l'addition, $(\mathbb{Z}, +)$, est un groupe abélien.

• L'addition est associative.
• L'élément neutre est $0$.
• L'inverse de tout entier $a$ est son opposé $-a$.

Un anneau intègre est un anneau $(A, +, \times)$ qui remplit trois conditions :

1. Il est commutatif (la multiplication $a \times b = b \times a$ est commutative).

2. Il n'est pas l'anneau nul, c'est-à-dire que son élément neutre pour l'addition $0$ est différent de son élément neutre pour la multiplication $1$ ($1 \neq 0$).

3. Il n'a pas de diviseurs de zéro. Cela signifie que si l'on prend deux éléments quelconques $a, b \in A$, leur produit ne peut être nul que si l'un des deux est nul :

   $a \times b = 0 \implies a=0 \text{ ou } b=0$

Exemple d'anneau intègre :

L'anneau des entiers $(\mathbb{Z}, +, \times)$ est intègre. Si le produit de deux entiers $a \times b$ est $0$, alors il est certain que $a=0$ ou $b=0$.

Exemple d'anneau non intègre :

L'anneau $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ des entiers modulo 6 n'est pas intègre. Dans cet anneau, les éléments sont les classes $\{\bar{0}, \bar{1}, \bar{2}, \bar{3}, \bar{4}, \bar{5}\}$. On a :

$\bar{2} \times \bar{3} = \overline{2 \times 3} = \bar{6} = \bar{0}$

Pourtant, $\bar{2} \neq \bar{0}$ et $\bar{3} \neq \bar{0}$. Les éléments $\bar{2}$ et $\bar{3}$ sont des diviseurs de zéro.

La différence fondamentale réside dans la structure de la multiplication pour les éléments non nuls.

Un anneau $(A, +, \times)$ est une structure où :

• $(A, +)$ est un groupe abélien.
• $(A, \times)$ est un monoïde (la multiplication est associative et a un neutre, 1).
• La multiplication est distributive sur l'addition.

Un corps $(K, +, \times)$ est un anneau qui a des propriétés supplémentaires :

• L'anneau est commutatif.
• $1 \neq 0$.
• Tout élément non nul est inversible pour la multiplication.

En d'autres termes, un corps est un anneau commutatif où l'ensemble des éléments non nuls, noté $K^* = K \setminus \{0\}$, forme un groupe pour la multiplication.

Illustration par l'exemple :

• L'anneau $(\mathbb{Z}, +, \times)$ n'est pas un corps. C'est un anneau intègre, mais la plupart des éléments non nuls n'ont pas d'inverse multiplicatif dans $\mathbb{Z}$. Par exemple, l'inverse de 2 est $1/2$, qui n'est pas un entier. Les seuls éléments inversibles sont $1$ et $-1$.
• L'ensemble des nombres rationnels $(\mathbb{Q}, +, \times)$ est un corps. Tout rationnel non nul $p/q$ a un inverse multiplicatif $q/p$ qui est aussi dans $\mathbb{Q}$.

Il existe deux méthodes principales pour montrer qu'un sous-ensemble $H$ d'un groupe $(G, *)$ est un sous-groupe.

Méthode 1 : Vérification des 3 axiomes

Un sous-ensemble $H \subseteq G$ est un sous-groupe si :

1. $H$ est non vide. Le plus simple est de vérifier que l'élément neutre de $G$, noté $e_G$, est dans $H$.
2. $H$ est stable par l'opération : pour tous $x, y \in H$, le produit $x * y$ est aussi dans $H$.
3. $H$ est stable par passage à l'inverse : pour tout $x \in H$, son inverse $x^{-1}$ est aussi dans $H$.

Méthode 2 : Utilisation du critère unique (plus rapide)

Un sous-ensemble non vide $H$ de $G$ est un sous-groupe si et seulement si :

$\forall x, y \in H, \quad x * y^{-1} \in H$

Cette unique propriété combine la stabilité par l'opération et par l'inverse.

Exemple avec le critère unique :

Montrons que $H = n\mathbb{Z}$ est un sous-groupe de $(\mathbb{Z}, +)$.

1. $H$ est non vide car $0 = n \cdot 0 \in H$.

2. Soient $x, y \in n\mathbb{Z}$. Alors $x=nk_1$ et $y=nk_2$ pour $k_1, k_2 \in \mathbb{Z}$. L'opération est l'addition et l'inverse de $y$ est son opposé $-y$. On calcule $x + (-y) = x-y$.

   $x - y = nk_1 - nk_2 = n(k_1 - k_2)$

   Puisque $k_1 - k_2$ est un entier, $x - y$ est un multiple de $n$ et appartient donc à $H$.

3. Le critère est vérifié, donc $n\mathbb{Z}$ est un sous-groupe de $\mathbb{Z}$.

Un morphisme de groupes est une application entre deux groupes qui "préserve" la structure de groupe.

Soient $(G, *_G, e_G)$ et $(H, *_H, e_H)$ deux groupes. Une application $f : G \to H$ est un morphisme de groupes si elle respecte l'opération de groupe, c'est-à-dire :

$\forall g_1, g_2 \in G, \quad f(g_1 *_G g_2) = f(g_1) *_H f(g_2)$

L'image du produit est le produit des images.

Propriétés importantes :

• Un morphisme de groupes envoie toujours l'élément neutre du premier groupe sur l'élément neutre du second : $f(e_G) = e_H$.
• Il préserve aussi les inverses : $f(g^{-1}) = (f(g))^{-1}$.

Exemple : Le déterminant

L'application déterminant, $\det: (\text{GL}_n(\mathbb{R}), \times) \to (\mathbb{R}^*, \times)$, est un morphisme de groupes.

• $\text{GL}_n(\mathbb{R})$ est le groupe des matrices carrées inversibles.
• $\mathbb{R}^*$ est le groupe des réels non nuls.
• La propriété $\det(A \times B) = \det(A) \times \det(B)$ montre que le déterminant est un morphisme.

Soit $f : (G, *_G, e_G) \to (H, *_H, e_H)$ un morphisme de groupes.

1. Noyau (Kernel)

   Le noyau de $f$, noté $\text{Ker}(f)$, est le sous-ensemble des éléments du groupe de départ $G$ qui sont envoyés sur l'élément neutre $e_H$ du groupe d'arrivée.

   $\text{Ker}(f) = \{ g \in G \mid f(g) = e_H \}$

   Le noyau est un sous-groupe de $G$.

2. Image

   L'image de $f$, notée $\text{Im}(f)$, est le sous-ensemble des éléments du groupe d'arrivée $H$ qui sont l'image d'au moins un élément de $G$.

   $\text{Im}(f) = \{ f(g) \mid g \in G \}$

   L'image est un sous-groupe de $H$.

Relation avec l'injectivité et la surjectivité :

• Un morphisme $f$ est injectif si et seulement si son noyau est réduit à l'élément neutre : $\text{Ker}(f) = \{e_G\}$.
• Un morphisme $f$ est surjectif si et seulement si son image est le groupe d'arrivée tout entier : $\text{Im}(f) = H$.

Exemple :

Pour le morphisme $\det : \text{GL}_n(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^*$,

• Le noyau est l'ensemble des matrices $M$ telles que $\det(M)=1$. C'est le groupe spécial linéaire $\text{SL}_n(\mathbb{R})$.
• L'image est $\mathbb{R}^*$, car tout réel non nul peut être le déterminant d'une matrice inversible.

Une relation d'équivalence sur un ensemble $E$ est une relation binaire, notée $\sim$, qui est :

1. Réflexive : Chaque élément est en relation avec lui-même.

   $\forall x \in E, \quad x \sim x$

2. Symétrique : Si $x$ est en relation avec $y$, alors $y$ est en relation avec $x$.

   $\forall x, y \in E, \quad (x \sim y \implies y \sim x)$

3. Transitive : Si $x$ est en relation avec $y$, et $y$ est en relation avec $z$, alors $x$ est en relation avec $z$.

   $\forall x, y, z \in E, \quad (x \sim y \text{ et } y \sim z \implies x \sim z)$

Une relation d'équivalence permet de regrouper les éléments d'un ensemble en "paquets" appelés classes d'équivalence, où tous les éléments d'un même paquet sont considérés comme équivalents.

Exemple : La congruence modulo 3 sur $\mathbb{Z}$

On dit que $a \sim b$ si $a-b$ est un multiple de 3.

• Réflexive : $a-a=0$, qui est un multiple de 3. Donc $a \sim a$.
• Symétrique : Si $a-b = 3k$, alors $b-a = -3k = 3(-k)$, donc $b \sim a$.
• Transitive : Si $a-b = 3k_1$ et $b-c = 3k_2$, alors $a-c = (a-b)+(b-c) = 3k_1+3k_2 = 3(k_1+k_2)$, donc $a \sim c$.

Les classes d'équivalence sont les ensembles des nombres ayant le même reste dans la division par 3: $\{\dots, -3, 0, 3, \dots\}$, $\{\dots, -2, 1, 4, \dots\}$, et $\{\dots, -1, 2, 5, \dots\}$.

Soit $(A, +, \times)$ un anneau commutatif. Un sous-ensemble $I \subseteq A$ est un idéal de $A$ s'il satisfait deux conditions :

1. $(I, +)$ est un sous-groupe additif de $(A, +)$.

   Cela implique que $0 \in I$, et que pour tous $x, y \in I$, leur différence $x-y$ est aussi dans $I$.

2. Propriété d'absorption : Pour tout élément $a \in A$ (de l'anneau entier) et tout élément $x \in I$, le produit $ax$ est encore dans $I$.

   $\forall a \in A, \forall x \in I, \quad ax \in I$

Un idéal est donc un sous-groupe additif qui "absorbe" la multiplication par n'importe quel élément de l'anneau. C'est une notion plus forte que celle de sous-anneau.

Exemple fondamental :

Dans l'anneau des entiers $(\mathbb{Z}, +, \times)$, les idéaux sont exactement les ensembles de la forme $n\mathbb{Z}$ (les multiples de $n$).

• Prenons $I = 5\mathbb{Z}$. C'est bien un sous-groupe additif.
• Vérifions l'absorption : soit $a \in \mathbb{Z}$ et $x \in 5\mathbb{Z}$. On peut écrire $x=5k$ pour un certain $k \in \mathbb{Z}$. Le produit $ax = a(5k) = 5(ak)$. Comme $ak$ est un entier, $ax$ est bien un multiple de 5, donc il est dans $5\mathbb{Z}$.

La construction d'un anneau quotient permet de créer un nouvel anneau à partir d'un anneau existant $A$ et d'un de ses idéaux $I$. L'idée est de "rendre nuls" tous les éléments de l'idéal $I$.

Étapes de la construction :

1. Relation d'équivalence : On définit sur l'anneau $A$ la relation $a \sim b \iff a-b \in I$. C'est une relation d'équivalence.

2. Ensemble quotient : On considère l'ensemble des classes d'équivalence, noté $A/I$. La classe d'un élément $a$ est l'ensemble $a+I = \{a+i \mid i \in I\}$, souvent notée $\bar{a}$.

3. Définition des opérations : On munit l'ensemble $A/I$ de deux opérations :

   • Addition : $\bar{a} + \bar{b} = \overline{a+b}$
   • Multiplication : $\bar{a} \times \bar{b} = \overline{ab}$

Le fait que $I$ soit un idéal (et pas seulement un sous-anneau) est crucial pour garantir que la multiplication est bien définie, c'est-à-dire que le résultat ne dépend pas des représentants $a$ et $b$ choisis dans leurs classes.

Le triplet $(A/I, +, \times)$ est alors un nouvel anneau, appelé anneau quotient.

• Son élément nul est $\bar{0} = I$.
• Son élément unité est $\bar{1} = 1+I$.

Exemple : L'anneau $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$

• On part de l'anneau $A=\mathbb{Z}$ et de l'idéal $I=4\mathbb{Z}$.
• L'anneau quotient $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ a pour éléments $\{\bar{0}, \bar{1}, \bar{2}, \bar{3}\}$.
• Dans cet anneau, on a par exemple $\bar{2} + \bar{3} = \overline{2+3} = \bar{5} = \bar{1}$, et $\bar{2} \times \bar{3} = \overline{2 \times 3} = \bar{6} = \bar{2}$.

Soient $(E, \le_E)$ et $(F, \le_F)$ deux ensembles ordonnés.

Une application $f: E \to F$ est dite croissante si elle préserve la relation d'ordre. C'est-à-dire que si un élément est "plus petit" qu'un autre dans l'ensemble de départ, alors son image doit être "plus petite" que l'image de l'autre dans l'ensemble d'arrivée.

Mathématiquement : Pour tous $x, y \in E$, $x \le_E y \implies f(x) \le_F f(y)$

Exemple : L'application $f: (\mathbb{R}, \le) \to (\mathbb{R}, \le)$ définie par $f(x) = 2x$ est croissante. Si $x \le y$, alors en multipliant par 2 (qui est positif), on obtient $2x \le 2y$, donc $f(x) \le f(y)$.

Contre-exemple : L'application $g: (\mathbb{R}, \le) \to (\mathbb{R}, \le)$ définie par $g(x) = -x$ n'est pas croissante. Par exemple, $2 \le 3$, mais $g(2)=-2$ et $g(3)=-3$, et on n'a pas $-2 \le -3$. Cette application est dite décroissante.

Un isomorphisme d'ensembles ordonnés est une application $f: (E, \le_E) \to (F, \le_F)$ qui préserve parfaitement la structure d'ordre entre les deux ensembles. Pour cela, elle doit satisfaire deux conditions :

1. Être une bijection : L'application doit établir une correspondance "un pour un" entre les éléments de $E$ et $F$.
2. Préserver l'ordre dans les deux sens : La relation d'ordre entre deux éléments doit être équivalente à la relation d'ordre entre leurs images.

Mathématiquement, une application bijective $f: E \to F$ est un isomorphisme d'ordre si pour tous $x, y \in E$ : $x \le_E y \iff f(x) \le_F f(y)$

Cette condition unique implique que $f$ est croissante et que sa réciproque $f^{-1}$ est aussi croissante.

Intuition : Si deux ensembles ordonnés sont isomorphes, alors du point de vue de leur structure d'ordre, ils sont "identiques". Ils ont la même "forme". Par exemple, si l'un a un plus grand élément, l'autre en aura un aussi.

Exemple : L'application $f: (\mathbb{N}, \le) \to (2\mathbb{N}, \le)$ définie par $f(n)=2n$ (où $2\mathbb{N}=\{0, 2, 4, ...\}$) est un isomorphisme. Elle est bijective, et $n_1 \le n_2 \iff 2n_1 \le 2n_2$.