Outillage - fiches de révision (A)

Une proposition est un énoncé (une phrase déclarative) qui possède une et une seule valeur de vérité : soit elle est vraie (V), soit elle est fausse (F), mais jamais les deux en même temps.

Cette caractéristique permet d'appliquer des opérations logiques pour construire des raisonnements rigoureux.

Exemples :

• "Paris est la capitale de la France." est une proposition vraie.
• "$2 + 2 = 5$" est une proposition fausse.
• "$n$ est un nombre pair" n'est pas une proposition tant que $n$ n'est pas défini. C'est un prédicat.

Contre-exemples (ce qui n'est pas une proposition) :

• Une question : "Quelle heure est-il ?" (n'est ni vraie ni fausse).
• Un ordre : "Faites cet exercice." (n'est ni vrai ni faux).
• Un paradoxe : "Cette phrase est fausse." (ne peut avoir une valeur de vérité cohérente).

Les lois de De Morgan sont des règles de logique qui expliquent comment distribuer la négation (non) sur une conjonction (et) ou une disjonction (ou). Elles sont essentielles pour nier des propositions composées.

Formules :

Soient $P$ et $Q$ deux propositions.

1. Négation de la conjonction ("et") :

   $\text{non}(P \text{ et } Q) \Leftrightarrow (\text{non } P) \text{ ou } (\text{non } Q)$

   Nier que "P et Q sont vraies" signifie que "soit P est fausse, soit Q est fausse (soit les deux)".

2. Négation de la disjonction ("ou") :

   $\text{non}(P \text{ ou } Q) \Leftrightarrow (\text{non } P) \text{ et } (\text{non } Q)$

   Nier que "l'une des deux est vraie" signifie que "P est fausse et Q est fausse".

Exemple :

Nier la phrase "Il fait beau et je suis heureux".

• $P$ : "Il fait beau"
• $Q$ : "Je suis heureux"
• La phrase est $P \text{ et } Q$.
• Sa négation $\text{non}(P \text{ et } Q)$ est, d'après la première loi de De Morgan, $(\text{non } P) \text{ ou } (\text{non } Q)$.
• La négation est donc : "Il ne fait pas beau ou je ne suis pas heureux".

Une implication logique $P \Rightarrow Q$ (lue "si $P$, alors $Q$") est fausse dans un seul et unique cas : lorsque l'hypothèse $P$ est vraie et que la conclusion $Q$ est fausse.

Dans tous les autres cas, l'implication est considérée comme vraie. En particulier, si l'hypothèse $P$ est fausse, l'implication est toujours vraie, quelle que soit la valeur de vérité de $Q$. On dit qu'"avec une hypothèse fausse, on peut prouver n'importe quoi".

Table de vérité :

| P | Q | P ⇒ Q | Commentaire |

|---|---|---|---|

| V | V | V | Une hypothèse vraie mène à une conclusion vraie. L'implication est respectée. |

| V | F | F | Une hypothèse vraie mène à une conclusion fausse. C'est le seul cas de rupture de l'implication. |

| F | V | V | L'hypothèse est fausse, l'implication est vraie par défaut. |

| F | F | V | L'hypothèse est fausse, l'implication est vraie par défaut. |

Exemple :

Considérons l'affirmation "S'il pleut ($P$), alors le sol est mouillé ($Q$)".

• Si il pleut (P vrai) et que le sol n'est pas mouillé (Q faux), l'affirmation est clairement fausse.
• Si il ne pleut pas (P faux), l'affirmation reste valable que le sol soit mouillé (par un arroseur) ou sec.

À partir d'une implication de base $P \Rightarrow Q$, on peut former deux autres implications importantes :

1. La réciproque : On inverse l'hypothèse et la conclusion. La réciproque est $Q \Rightarrow P$.

   La vérité de la réciproque est indépendante de celle de l'implication de départ.

2. La contraposée : On nie l'hypothèse et la conclusion, puis on les inverse. La contraposée est $(\text{non } Q) \Rightarrow (\text{non } P)$.

La contraposée est toujours logiquement équivalente à l'implication de départ. Cela signifie que $P \Rightarrow Q$ et $(\text{non } Q) \Rightarrow (\text{non } P)$ ont exactement la même table de vérité. Démontrer l'une revient à démontrer l'autre.

Exemple :

• Implication : "Si un animal est un chien ($P$), alors c'est un mammifère ($Q$)." (Vrai)
• Réciproque : "Si un animal est un mammifère ($Q$), alors c'est un chien ($P$)." (Faux, un chat est un mammifère mais pas un chien).
• Contraposée : "Si un animal n'est pas un mammifère ($\text{non } Q$), alors ce n'est pas un chien ($\text{non } P$)." (Vrai).

La différence fondamentale réside dans l'ordre des quantificateurs, qui change radicalement le sens de l'énoncé.

1. ∀x, ∃y, P(x, y) : "Pour tout $x$, il existe un $y$ tel que $P(x, y)$ soit vraie."

   • Ici, le choix de $y$ peut dépendre de $x$. Pour chaque $x$ que l'on choisit, on doit pouvoir trouver un $y$ qui fonctionne. Le $y$ peut être différent pour chaque $x$.

2. ∃y, ∀x, P(x, y) : "Il existe un $y$ tel que pour tout $x$, $P(x, y)$ soit vraie."

   • Ici, on doit trouver un seul et même $y$ qui fonctionne pour tous les $x$ à la fois. C'est une condition beaucoup plus forte.

Exemple dans $\mathbb{R}$ :

• ∀x ∈ ℝ, ∃y ∈ ℝ, y > x : "Pour tout réel $x$, il existe un réel $y$ plus grand que $x$."

  • Cette proposition est vraie. Si on me donne un $x$, je peux toujours choisir $y = x+1$. Le $y$ dépend du $x$ choisi.

• ∃y ∈ ℝ, ∀x ∈ ℝ, y > x : "Il existe un réel $y$ qui est plus grand que tous les réels $x$."

  • Cette proposition est fausse. Elle affirmerait l'existence d'un "plus grand nombre réel", ce qui est impossible. Si un tel $y$ existait, on pourrait prendre $x=y$ et l'inégalité $y > y$ serait fausse.

Pour nier une proposition universelle, on transforme le quantificateur universel (∀, "pour tout") en quantificateur existentiel (∃, "il existe") et on nie la propriété qui suit.

Règle de négation :

La négation de ∀x ∈ E, P(x) est ∃x ∈ E, non P(x).

Explication intuitive :

Pour prouver que l'affirmation "Tous les éléments vérifient la propriété P" est fausse, il suffit de trouver un seul contre-exemple, c'est-à-dire un élément qui ne vérifie pas la propriété P.

Exemple :

Soit la proposition $A$ : "Tous les étudiants de la classe ont eu la moyenne."

• Formalisation : ∀e ∈ Classe, Moyenne(e) où Moyenne(e) signifie "l'étudiant $e$ a eu la moyenne".
• Négation de $A$ : Pour nier cette phrase, on n'a pas besoin de prouver que personne n'a eu la moyenne. Il suffit qu'au moins une personne n'ait pas eu la moyenne.
• La négation est donc : "Il existe au moins un étudiant de la classe qui n'a pas eu la moyenne."
• Formalisation de la négation : ∃e ∈ Classe, non Moyenne(e).

Pour qu'une relation $f$ entre un ensemble $A$ et un ensemble $B$ soit une fonction (notée $f: A \to B$), elle doit respecter deux conditions strictes :

1. Existence de l'image : Chaque élément de l'ensemble de départ $A$ doit avoir une image dans l'ensemble d'arrivée $B$. Autrement dit, la fonction doit être définie pour tous les éléments de son domaine.

   • $\forall a \in A, \exists b \in B \text{ tel que } b = f(a)$.

2. Unicité de l'image : Chaque élément de l'ensemble de départ $A$ ne peut avoir qu'une seule et unique image dans $B$. Un élément ne peut pas être envoyé sur deux résultats différents.

   • Si $f(a) = b_1$ et $f(a) = b_2$, alors on doit avoir $b_1 = b_2$.

Interprétation graphique (pour une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$) :

Ces deux conditions sont résumées par le "test de la droite verticale" : toute droite verticale d'abscisse $a$ appartenant au domaine de définition doit couper le graphe de la fonction en exactement un point.

Le "test de la droite horizontale" est une méthode visuelle pour analyser les propriétés d'une fonction $f: A \to B$ (où $A$ et $B$ sont des sous-ensembles de $\mathbb{R}$) en examinant son graphe. Il consiste à tracer des droites horizontales d'équation $y=b$ pour $b$ dans l'ensemble d'arrivée $B$ et à compter le nombre d'intersections avec le graphe.

• Fonction Injective : Une fonction est injective si chaque élément de l'ensemble d'arrivée a au plus un antécédent.

  • Test graphique : Toute droite horizontale coupe le graphe au plus une fois.

• Fonction Surjective : Une fonction est surjective si chaque élément de l'ensemble d'arrivée a au moins un antécédent.

  • Test graphique : Toute droite horizontale (pour $y$ dans l'ensemble d'arrivée) coupe le graphe au moins une fois.

• Fonction Bijective : Une fonction est bijective si elle est à la fois injective et surjective, c'est-à-dire si chaque élément de l'ensemble d'arrivée a exactement un antécédent.

  • Test graphique : Toute droite horizontale (pour $y$ dans l'ensemble d'arrivée) coupe le graphe exactement une fois.

Si une fonction $f: A \to B$ est bijective, elle admet une fonction réciproque $f^{-1}: B \to A$. Pour trouver son expression, on suit les étapes suivantes :

Étapes :

1. On part de l'équation $y = f(x)$, où $y$ est un élément de l'ensemble d'arrivée $B$ et $x$ un élément de l'ensemble de départ $A$.
2. On résout cette équation pour isoler $x$ en fonction de $y$.
3. L'expression de $x$ que l'on obtient est la formule de $f^{-1}(y)$.
4. (Optionnel) On peut renommer la variable $y$ en $x$ pour obtenir la notation plus habituelle $f^{-1}(x)$.

Exemple :

Soit la fonction $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = 4x - 5$. Cette fonction est bijective.

1. On pose $y = f(x) \implies y = 4x - 5$.

2. On isole $x$ :

   $y + 5 = 4x$

   $x = \frac{y+5}{4}$

3. L'expression de la réciproque est $f^{-1}(y) = \frac{y+5}{4}$.

4. En renommant la variable, on écrit $f^{-1}(x) = \frac{x+5}{4}$.

L'inégalité triangulaire est une propriété fondamentale de la valeur absolue des nombres réels.

Formule :

Pour tous les nombres réels $x$ et $y$ :

$|x+y| \le |x|+|y|$

Explication :

Elle stipule que la valeur absolue d'une somme est toujours inférieure ou égale à la somme des valeurs absolues.

Interprétation géométrique :

Sur la droite réelle, $|a|$ est la distance de $a$ à 0. L'inégalité triangulaire peut être vue de plusieurs manières :

1. Distance à l'origine : La distance de $x+y$ à l'origine est toujours plus petite que la somme des distances de $x$ à l'origine et de $y$ à l'origine.

   • Si $x=3$ et $y=2$, $|3+2| = |5| = 5$ et $|3|+|2|=5$. On a égalité.
   • Si $x=3$ et $y=-2$, $|3+(-2)| = |1| = 1$, alors que $|3|+|-2|=3+2=5$. L'inégalité est stricte ($1 < 5$). L'égalité n'a lieu que si $x$ et $y$ ont le même signe (ou si l'un est nul).

2. Distance entre points : En posant $x=a-c$ et $y=c-b$, l'inégalité devient $|(a-c)+(c-b)| \le |a-c| + |c-b|$, soit $|a-b| \le |a-c| + |c-b|$.

   Cela signifie que la distance entre $a$ et $b$ est toujours plus courte que le chemin qui passe par un point intermédiaire $c$. C'est l'analogue de "la ligne droite est le plus court chemin".

Pour multiplier deux nombres complexes $z_1 = a+ib$ et $z_2 = c+id$, on applique les règles de la distributivité comme pour les expressions algébriques, puis on utilise la propriété fondamentale $i^2 = -1$.

Étapes :

1. On écrit le produit : $(a+ib)(c+id)$.

2. On distribue chaque terme du premier facteur sur le second :

   $ac + a(id) + (ib)c + (ib)(id)$

   $= ac + i(ad) + i(bc) + i^2(bd)$

3. On regroupe les termes réels et les termes avec $i$ :

   $= ac + i(ad+bc) + i^2(bd)$

4. On remplace $i^2$ par $-1$ :

   $= ac + i(ad+bc) - bd$

5. On groupe les parties réelles et imaginaires pour obtenir la forme finale :

   $= (ac-bd) + i(ad+bc)$

Exemple :

Calculer $(2+3i) \cdot (4-i)$.

• $(2+3i)(4-i) = 2 \cdot 4 + 2 \cdot (-i) + 3i \cdot 4 + 3i \cdot (-i)$
• $= 8 - 2i + 12i - 3i^2$
• $= 8 + 10i - 3(-1)$
• $= 8 + 10i + 3$
• $= 11 + 10i$

Pour diviser un nombre complexe $z_1 = a+ib$ par un autre nombre complexe non nul $z_2 = c+id$, on utilise une astuce qui consiste à rendre le dénominateur réel. Pour cela, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.

Le conjugué de $z_2 = c+id$ est $\bar{z_2} = c-id$.

Étapes :

1. On écrit la fraction : $\frac{a+ib}{c+id}$.

2. On multiplie le haut et le bas par $\bar{z_2} = c-id$ :

   $\frac{a+ib}{c+id} = \frac{(a+ib)(c-id)}{(c+id)(c-id)}$

3. On développe le numérateur et le dénominateur.

   • Au dénominateur, on utilise l'identité $z_2 \cdot \bar{z_2} = |z_2|^2 = c^2+d^2$, qui est un nombre réel.
   • Au numérateur, on effectue la multiplication classiquement : $(ac+bd) + i(bc-ad)$.

4. On sépare la partie réelle et la partie imaginaire du résultat final.

Exemple :

Calculer $\frac{2+5i}{3-4i}$.

• Le conjugué du dénominateur est $3+4i$.
• $\frac{2+5i}{3-4i} = \frac{(2+5i)(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)}$
• Numérateur : $(2+5i)(3+4i) = 6 + 8i + 15i + 20i^2 = 6 + 23i - 20 = -14+23i$.
• Dénominateur : $(3-4i)(3+4i) = 3^2 - (4i)^2 = 9 - 16i^2 = 9 + 16 = 25$.
• Résultat : $\frac{-14+23i}{25} = -\frac{14}{25} + i\frac{23}{25}$.

Le module d'un nombre complexe $z = a+ib$ est un nombre réel positif qui représente la "taille" ou la "longueur" de ce nombre. Il est noté $|z|$.

Définition (formule) :

$|z| = \sqrt{a^2+b^2}$

où $a = \text{Re}(z)$ est la partie réelle et $b = \text{Im}(z)$ est la partie imaginaire.

Interprétation géométrique :

Dans le plan complexe (plan d'Argand), un nombre complexe $z = a+ib$ est associé au point de coordonnées $(a,b)$. Le module $|z|$ est simplement la distance entre l'origine du repère $(0,0)$ et ce point $(a,b)$. C'est une application directe du théorème de Pythagore dans le triangle rectangle formé par l'origine, le point $(a,0)$ et le point $(a,b)$.

Propriété importante (lien avec le conjugué) :

Le carré du module est très utile en calcul, car il évite les racines carrées :

$|z|^2 = z \cdot \bar{z} = (a+ib)(a-ib) = a^2+b^2$

Exemple :

Si $z = 3-4i$, son module est :

$|z| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.

Géométriquement, le point $(3, -4)$ est à une distance de 5 de l'origine.