Fonctions différentiables - fiches de révision (A)

Une dérivée partielle d'une fonction de plusieurs variables est sa dérivée par rapport à l'une de ces variables, en considérant les autres variables comme des constantes.

Soit $f$ une fonction définie sur un ouvert $U \subset \mathbb{R}^n$ et $a \in U$. La dérivée partielle de $f$ par rapport à sa $k$-ième variable $x_k$ au point $a$ est la limite, si elle existe :

$\frac{\partial f}{\partial x_k}(a) = \lim_{t \to 0} \frac{f(a_1, \dots, a_k+t, \dots, a_n) - f(a_1, \dots, a_n)}{t}$

En pratique, pour calculer $\frac{\partial f}{\partial x_k}$, on dérive $f$ par rapport à $x_k$ en utilisant les règles de dérivation usuelles, comme si toutes les autres variables ($x_1, \dots, x_{k-1}, x_{k+1}, \dots, x_n$) étaient des constantes.

Exemple:

Pour $f(x,y) = x^2y + 3y^2$, la dérivée partielle par rapport à $x$ est :

$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 2xy$

(on traite $y$ comme une constante).

La dérivée partielle par rapport à $y$ est :

$\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = x^2 + 6y$

(on traite $x$ comme une constante).

Une fonction $f : U \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^p$ est dite différentiable en un point $a \in U$ si sa variation locale peut être approchée par une application linéaire.

Formellement, il doit exister une application linéaire $L_a : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^p$ telle que :

$f(a+h) = f(a) + L_a(h) + o(\|h\|)$

Cela signifie que l'erreur commise en approchant $f(a+h) - f(a)$ par $L_a(h)$ tend vers zéro plus vite que $\|h\|$ lorsque $h$ tend vers $0$.

$\lim_{h \to 0} \frac{\|f(a+h) - f(a) - L_a(h)\|}{\|h\|} = 0$

L'application linéaire $L_a$, si elle existe, est unique et s'appelle la différentielle de $f$ en $a$, notée $df_a$.

Intuition:

Tout comme une fonction dérivable d'une variable peut être approchée par sa tangente, une fonction différentiable de plusieurs variables peut être approchée localement par une application affine $x \mapsto f(a) + df_a(x-a)$. La différentielle $df_a$ est la généralisation de la dérivée pour les fonctions de plusieurs variables.

Pour calculer chaque dérivée partielle, on traite les autres variables comme des constantes et on applique les règles de dérivation habituelles.

1. Dérivée partielle par rapport à $x$ ($\partial f / \partial x$):

On considère $y$ et $z$ comme des constantes.

$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z) = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 y^3) + \frac{\partial}{\partial x}(5yz^2) - \frac{\partial}{\partial x}(\cos(x))$

$= (2x) \cdot y^3 + 0 - (-\sin(x))$

$= 2xy^3 + \sin(x)$

2. Dérivée partielle par rapport à $y$ ($\partial f / \partial y$):

On considère $x$ et $z$ comme des constantes.

$\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z) = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 y^3) + \frac{\partial}{\partial y}(5yz^2) - \frac{\partial}{\partial y}(\cos(x))$

$= x^2 \cdot (3y^2) + 5z^2 \cdot (1) - 0$

$= 3x^2y^2 + 5z^2$

3. Dérivée partielle par rapport à $z$ ($\partial f / \partial z$):

On considère $x$ et $y$ comme des constantes.

$\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z) = \frac{\partial}{\partial z}(x^2 y^3) + \frac{\partial}{\partial z}(5yz^2) - \frac{\partial}{\partial z}(\cos(x))$

$= 0 + 5y \cdot (2z) - 0$

$= 10yz$

Le lien est une implication à sens unique :

Différentiable $\implies$ Continue

Si une fonction $f$ est différentiable en un point $a$, alors elle est nécessairement continue en ce point $a$.

Preuve rapide :

Si $f$ est différentiable en $a$, on a $f(a+h) = f(a) + df_a(h) + o(\|h\|)$. Quand $h \to 0$, $df_a(h)$ tend vers $0$ (car $df_a$ est linéaire et continue) et $o(\|h\|)$ tend vers $0$. Donc $\lim_{h \to 0} f(a+h) = f(a)$, ce qui est la définition de la continuité en $a$.

La réciproque est fausse : Continue $\not\implies$ Différentiable

Une fonction peut être continue en un point sans y être différentiable. Les "coins" ou les "pointes" sont des exemples classiques.

Contre-exemple :

La fonction $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ définie par $f(x,y) = |x| + |y|$ est continue en $(0,0)$. Cependant, elle n'est pas différentiable en $(0,0)$ car elle possède un "coin" à l'origine qui ne peut pas être approché par un plan (une application affine).

La matrice jacobienne d'une fonction $f$ en un point $a$, notée $J_f(a)$, est la matrice qui contient toutes les dérivées partielles de premier ordre des fonctions composantes de $f$. C'est une matrice de taille $p \times n$.

Si $f(x_1, \dots, x_n) = (f_1(x_1, \dots, x_n), \dots, f_p(x_1, \dots, x_n))$, alors sa matrice jacobienne est :

Structure :

• Le nombre de lignes ($p$) est la dimension de l'espace d'arrivée. La ligne $i$ correspond aux dérivées partielles de la $i$-ème composante $f_i$.
• Le nombre de colonnes ($n$) est la dimension de l'espace de départ. La colonne $j$ correspond aux dérivées par rapport à la $j$-ème variable $x_j$.

La matrice jacobienne est la représentation matricielle de la différentielle dans les bases canoniques.

Si une fonction $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^p$ est différentiable en un point $a$, sa différentielle $df_a$ est une application linéaire de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}^p$. La matrice jacobienne $J_f(a)$ est la matrice qui représente cette application linéaire.

Pour tout vecteur $h \in \mathbb{R}^n$ (vu comme un vecteur colonne), l'action de la différentielle peut être calculée par une multiplication matricielle :

$df_a(h) = J_f(a) \cdot h$

Le développement limité d'ordre 1 s'écrit alors de manière très pratique :

$f(a+h) = f(a) + J_f(a)h + o(\|h\|)$

Cette relation est fondamentale car elle connecte le concept abstrait de la différentielle à un objet concret et calculable, la matrice jacobienne.

Une fonction $f : U \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^p$ est dite de classe $\mathcal{C}^1$ sur l'ouvert $U$ si elle satisfait deux conditions :

1. Existence des dérivées partielles : Toutes les dérivées partielles $\frac{\partial f_i}{\partial x_j}$ existent en tout point de $U$.

2. Continuité des dérivées partielles : Chacune des fonctions $(x_1, \dots, x_n) \mapsto \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x_1, \dots, x_n)$ est une fonction continue sur $U$.

Être de classe $\mathcal{C}^1$ est une condition de régularité forte. Cela signifie non seulement que la fonction a des dérivées partielles, mais que ces dérivées varient de manière continue.

Hiérarchie de la régularité :

$\text{Classe } \mathcal{C}^1 \implies \text{Différentiable} \implies \text{Continue}$

Non, absolument pas. C'est une idée fausse courante. Une fonction peut avoir toutes ses dérivées partielles en un point sans même y être continue.

Contre-exemple classique :

Soit la fonction $f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ définie par :

$f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2} & \text{si } (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \text{si } (x,y) = (0,0) \end{cases}$

1. Existence des dérivées partielles en (0,0) :

   On utilise la définition :

   $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(t,0) - f(0,0)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{0 - 0}{t} = 0$

   $\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(0,t) - f(0,0)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{0 - 0}{t} = 0$

   Les deux dérivées partielles existent et sont nulles à l'origine.

2. Non-continuité en (0,0) :

   Si on s'approche de l'origine le long de la droite $y=x$, on a :

   $\lim_{x \to 0} f(x,x) = \lim_{x \to 0} \frac{x \cdot x}{x^2+x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{2x^2} = \frac{1}{2}$

   Comme la limite (1/2) est différente de la valeur de la fonction en ce point ($f(0,0)=0$), la fonction n'est pas continue en $(0,0)$.

Puisqu'elle n'est pas continue, elle ne peut pas non plus être différentiable en $(0,0)$.

Le principal avantage est un théorème fondamental qui fournit un critère simple et puissant pour prouver la différentiabilité.

Théorème :

Si une fonction $f: U \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^p$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur un ouvert $U$, alors $f$ est différentiable en tout point de $U$.

Pourquoi est-ce si utile ?

Vérifier la différentiabilité d'une fonction en utilisant la définition (avec la limite et le $o(\|h\|)$) peut être très long et complexe.

Le théorème offre une méthode beaucoup plus directe en pratique :

1. Calculer toutes les dérivées partielles de la fonction.
2. Étudier la continuité de ces dérivées partielles. Si elles sont toutes continues (ce qui est souvent le cas pour les fonctions construites à partir de fonctions usuelles comme les polynômes, sin, cos, exp...), alors on peut directement conclure que la fonction est différentiable.

La règle de la chaîne (ou "chain rule") permet de calculer la jacobienne d'une fonction composée.

Formule :

Soient $f: U \subset \mathbb{R}^n \to V \subset \mathbb{R}^m$ et $g: V \to \mathbb{R}^p$ deux fonctions différentiables. La jacobienne de la composée $h = g \circ f$ au point $a \in U$ est donnée par le produit des matrices jacobiennes :

$J_{g \circ f}(a) = J_g(f(a)) \cdot J_f(a)$

Explication des termes :

• $J_{g \circ f}(a)$ : La jacobienne de la fonction composée $h$ en $a$. C'est une matrice $p \times n$.
• $J_g(f(a))$ : La jacobienne de $g$, évaluée au point image $f(a)$. C'est une matrice $p \times m$.
• $J_f(a)$ : La jacobienne de $f$, évaluée en $a$. C'est une matrice $m \times n$.

Attention à l'ordre !

L'ordre de la multiplication matricielle est crucial et non commutatif. Il suit l'ordre de la composition des fonctions : la jacobienne de la fonction "extérieure" ($g$) est à gauche, et celle de la fonction "intérieure" ($f$) est à droite. La multiplication est bien définie : $(p \times m) \cdot (m \times n) \to (p \times n)$.

Le gradient d'une fonction numérique (ou champ scalaire) $f: U \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ en un point $a$ est le vecteur de $\mathbb{R}^n$ dont les composantes sont les dérivées partielles de $f$ en ce point.

Il est noté $\nabla f(a)$ (lire "nabla f de a") et est défini par :

Le vecteur gradient $\nabla f(a)$ a deux interprétations géométriques majeures en un point $a$ où il n'est pas nul :

1. Direction de la plus forte pente :

Le vecteur $\nabla f(a)$ pointe dans la direction dans laquelle la fonction $f$ augmente le plus rapidement à partir du point $a$. La norme du gradient, $\|\nabla f(a)\|$, donne la valeur de ce taux d'accroissement maximal (la pente la plus forte).

Exemple : Si $f(x,y)$ représente l'altitude d'une montagne, le gradient en un point $(x,y)$ est un vecteur sur la carte qui indique la direction de la pente la plus raide pour monter.

2. Orthogonalité aux lignes de niveau :

Le vecteur $\nabla f(a)$ est orthogonal (perpendiculaire) à la ligne de niveau (ou surface de niveau en 3D) de la fonction $f$ qui passe par le point $a$. Une ligne de niveau est l'ensemble des points $x$ tels que $f(x) = C$ pour une constante $C$.

Exemple : Sur une carte topographique, les lignes de niveau relient les points de même altitude. Le gradient en un point est perpendiculaire à la ligne de niveau passant par ce point.

Si $f: U \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ est différentiable en $a$, sa différentielle $df_a(h)$ peut être exprimée très simplement à l'aide du produit scalaire avec le gradient.

Formule :

Pour tout vecteur $h \in \mathbb{R}^n$, on a :

$df_a(h) = \langle \nabla f(a), h \rangle$

où $\langle \cdot, \cdot \rangle$ est le produit scalaire euclidien usuel.

Détail du calcul :

Rappelons que $df_a(h) = J_f(a)h$. Comme $f$ est une fonction numérique, $J_f(a)$ est une matrice ligne $1 \times n$ et $\nabla f(a)$ est le vecteur colonne transposé.

$J_f(a) = (\nabla f(a))^T = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1}(a) & \cdots & \frac{\partial f}{\partial x_n}(a) \end{pmatrix}$

La multiplication matricielle $J_f(a)h$ est donc :

$\begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1}(a) & \cdots & \frac{\partial f}{\partial x_n}(a) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h_1 \\ \vdots \\ h_n \end{pmatrix} = \frac{\partial f}{\partial x_1}(a)h_1 + \dots + \frac{\partial f}{\partial x_n}(a)h_n$

Ceci est exactement la définition du produit scalaire $\langle \nabla f(a), h \rangle$.

L'inégalité des accroissements finis est une généralisation du théorème des accroissements finis aux fonctions de plusieurs variables. Elle permet de borner la variation d'une fonction entre deux points.

Théorème (Inégalité des Accroissements Finis)

Soit $f: U \to \mathbb{R}$ une fonction différentiable sur un ouvert $U \subset \mathbb{R}^n$. Soient $a, b \in U$ tels que le segment $[a,b]$ soit inclus dans $U$.

Alors, il existe un point $c$ sur le segment $]a,b[$ tel que :

$f(b) - f(a) = \langle \nabla f(c), b-a \rangle$

De cette égalité, on déduit une inégalité très utile en utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz :

$|f(b) - f(a)| \le \|\nabla f(c)\| \cdot \|b-a\|$

Cela mène à la borne générale suivante :

$|f(b) - f(a)| \le \left( \sup_{c \in [a,b]} \|\nabla f(c)\| \right) \cdot \|b-a\|$

En mots : La variation totale de la fonction entre $a$ et $b$ est au plus égale à la distance entre les points, multipliée par la plus grande valeur de la norme du gradient (la "pente maximale") rencontrée sur le segment qui les relie.

Si une fonction différentiable $f: U \to \mathbb{R}$ a un gradient nul en tout point d'un ouvert connexe par arcs $U$, alors la fonction $f$ est constante sur $U$.

Théorème :

Soit $U \subset \mathbb{R}^n$ un ouvert connexe par arcs.

Soit $f: U \to \mathbb{R}$ différentiable.

Si $\nabla f(x) = \vec{0}$ pour tout $x \in U$, alors il existe une constante $C \in \mathbb{R}$ telle que $f(x) = C$ pour tout $x \in U$.

Importance de la connexité par arcs :

L'hypothèse "connexe par arcs" est cruciale. Elle garantit qu'on peut relier n'importe quels deux points de $U$ par un chemin continu. Le théorème des accroissements finis est appliqué le long de ce chemin pour montrer que la fonction ne varie pas.

Contre-exemple (domaine non connexe) :

Soit $U$ l'union de deux boules ouvertes disjointes : $U = B_1 \cup B_2$.

Définissons $f(x) = 0$ pour $x \in B_1$ et $f(x) = 5$ pour $x \in B_2$.

Le gradient de $f$ est nul partout sur $U$ (car $f$ est localement constante). Cependant, la fonction $f$ n'est pas constante sur l'ensemble de $U$.