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Fonctions différentiables (A)

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Concept 1: Fonction Différentiable

Prérequis

• Calculus I: Dérivée d’une fonction d’une variable réelle, développement limité d’ordre 1.
• Topologie: Espaces vectoriels normés, notion d’ouvert, limites et continuité des fonctions de plusieurs variables.
• Algèbre Linéaire: Applications linéaires et leur représentation matricielle.

Définition

Soit $U$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$ et $f : U \rightarrow \mathbb{R}^p$ une fonction. On dit que $f$ est différentiable au point $a \in U$ s’il existe une application linéaire $L_a : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^p$ telle que pour tout vecteur $h \in \mathbb{R}^n$ tel que $a+h \in U$, on ait :

$f(a+h) = f(a) + L_a(h) + o(\|h\|)$

où $o(\|h\|)$ désigne une fonction $R(h)$ telle que $\lim_{h \to 0} \frac{\|R(h)\|}{\|h\|} = 0$.

De manière plus formelle, cela s’écrit :

$f(a+h) = f(a) + L_a(h) + \epsilon_a(h)\|h\|$

où la fonction $\epsilon_a : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^p$ vérifie $\lim_{h \to 0} \epsilon_a(h) = 0_{\mathbb{R}^p}$.

L’application linéaire $L_a$ est alors unique et est appelée la différentielle de $f$ au point $a$, notée $df_a$.

Explications Détaillées

En calcul à une variable, la dérivée $f'(a)$ est un nombre qui permet d’approximer la fonction $f$ au voisinage de $a$ par une droite (la tangente) : $f(a+h) \approx f(a) + f'(a)h$. L’idée de la différentiabilité est de généraliser cette notion d’approximation locale par une fonction “simple”.

Pour une fonction de plusieurs variables $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^p$, une simple multiplication par un nombre ne suffit plus. L’objet le plus simple pour approximer localement une fonction est une application affine, c’est-à-dire une application de la forme $x \mapsto C + L(x)$, où $L$ est une application linéaire.

La définition de la différentiabilité stipule qu’une fonction $f$ est différentiable en $a$ si, au voisinage de ce point, elle peut être très bien approximée par l’application affine $x \mapsto f(a) + L_a(x-a)$. L’application linéaire $L_a$ (la différentielle $df_a$) est la “meilleure” approximation linéaire de la variation de $f$ autour de $a$, c’est-à-dire de $f(a+h)-f(a)$.

Le terme d’erreur $\epsilon_a(h)\|h\|$ devient négligeable par rapport à la partie linéaire $L_a(h)$ lorsque $h$ est petit. Plus précisément, l’erreur tend vers zéro “plus vite” que $\|h\|$, ce qui garantit que l’approximation est de très bonne qualité pour des petits accroissements $h$.

Le choix de la norme n’a pas d’importance car toutes les normes sur $\mathbb{R}^n$ sont équivalentes.

Propriétés Clés

• Unicité de la différentielle: Si une telle application linéaire $L_a$ existe, elle est unique. On peut donc parler de la différentielle de $f$ en $a$, notée $df_a$.
• Différentiabilité des composantes: Une fonction $f = (f_1, \dots, f_p)$ est différentiable en $a$ si et seulement si chacune de ses fonctions composantes $f_i : U \to \mathbb{R}$ est différentiable en $a$.
• La différentiabilité implique la continuité: Si une fonction $f$ est différentiable en un point $a$, alors elle est nécessairement continue en ce point. La réciproque est fausse.

Exemples

Exemple 1 : Fonction affine

Soit $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^p$ une fonction affine, définie par $f(x) = M x + b$, où $M$ est une matrice de taille $p \times n$ et $b \in \mathbb{R}^p$. Montrons que $f$ est différentiable en tout point $a \in \mathbb{R}^n$.

On calcule $f(a+h) = M(a+h) + b = (Ma+b) + Mh = f(a) + Mh$.

En posant $L_a(h) = Mh$, qui est bien une application linéaire, on a :

$f(a+h) = f(a) + L_a(h) + 0$

Le terme d’erreur est nul. La définition est donc satisfaite en tout point $a$, et la différentielle est l’application linéaire $h \mapsto Mh$, c’est-à-dire $df_a(h) = Mh$.

Exemple 2 : Fonction quadratique simple

Soit $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ définie par $f(x,y) = x^2+y^2$. Montrons qu’elle est différentiable au point $a=(a_1, a_2)$. Soit $h=(h_1, h_2)$.

$f(a+h) = f(a_1+h_1, a_2+h_2) = (a_1+h_1)^2 + (a_2+h_2)^2$

$= (a_1^2 + 2a_1h_1 + h_1^2) + (a_2^2 + 2a_2h_2 + h_2^2)$

$= (a_1^2+a_2^2) + (2a_1h_1 + 2a_2h_2) + (h_1^2 + h_2^2)$

$= f(a) + L_a(h) + \|h\|_2^2$

Ici, $L_a(h) = 2a_1h_1 + 2a_2h_2$ est une application linéaire en $h=(h_1, h_2)$. Le terme d’erreur est $R(h) = h_1^2+h_2^2 = \|h\|_2^2$.

Vérifions que c’est un $o(\|h\|)$. On utilise une norme quelconque, par exemple $\|h\|_2 = \sqrt{h_1^2+h_2^2}$.

$\lim_{h \to 0} \frac{|R(h)|}{\|h\|_2} = \lim_{h \to 0} \frac{\|h\|_2^2}{\|h\|_2} = \lim_{h \to 0} \|h\|_2 = 0$

La fonction est donc différentiable en $a$, et sa différentielle est $df_a(h_1,h_2) = 2a_1h_1 + 2a_2h_2$.

Exemple 3 : Fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}^2$

Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$ définie par $f(t) = (\cos(t), \sin(t))$. Cette fonction décrit un cercle.

Une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}^p$ est différentiable si et seulement si ses composantes sont dérivables (au sens usuel).

Ici, $f_1(t) = \cos(t)$ et $f_2(t) = \sin(t)$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$, avec $f_1'(t) = -\sin(t)$ et $f_2'(t) = \sin'(t) = \cos(t)$.

Donc $f$ est différentiable. Sa différentielle en $a \in \mathbb{R}$ est l’application linéaire $df_a : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$ définie par :

$df_a(h) = h \cdot \begin{pmatrix} f_1'(a) \\ f_2'(a) \end{pmatrix} = h \begin{pmatrix} -\sin(a) \\ \cos(a) \end{pmatrix}$

Contre-exemples

Contre-exemple 1 : Fonction non continue

Soit $f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ définie par

$f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2} & \text{si } (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \text{si } (x,y) = (0,0) \end{cases}$

Cette fonction n’est pas continue en $(0,0)$ (en s’approchant de l’origine le long de la droite $y=x$, la limite est $1/2 \neq f(0,0)$). Puisque la différentiabilité implique la continuité, $f$ ne peut pas être différentiable en $(0,0)$.

Contre-exemple 2 : Fonction avec un “coin”

Soit $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ définie par $f(x,y) = |x| + |y|$. Cette fonction est continue en $(0,0)$.

Cherchons s’il existe une application linéaire $L(h_1, h_2) = c_1 h_1 + c_2 h_2$ telle que :

$f(h_1, h_2) = f(0,0) + L(h_1, h_2) + o(\|h\|)$

$|h_1| + |h_2| = 0 + c_1 h_1 + c_2 h_2 + o(\|h\|)$

Si on prend $h=(t, 0)$ avec $t>0$, on a $t = c_1 t + o(t)$, ce qui donne $c_1=1$ en divisant par $t$ et en faisant $t \to 0$.

Si on prend $h=(t, 0)$ avec $t<0$, on a $-t = c_1 t + o(t)$, ce qui donne $c_1=-1$.

Il est impossible d’avoir $c_1=1$ et $c_1=-1$ en même temps. Donc, il n’existe pas d’application linéaire qui convienne. La fonction n’est pas différentiable en $(0,0)$.

Concepts Liés

• Continuité: La différentiabilité est une condition plus forte que la continuité.
• Dérivée Partielle et Matrice Jacobienne: La différentielle $df_a$, si elle existe, est représentée par la matrice Jacobienne, dont les coefficients sont les dérivées partielles de $f$ en $a$. C’est le lien entre le concept abstrait de différentielle et son calcul pratique.

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Concept 2: Dérivée Partielle

Prérequis

• Calculus I: Définition de la dérivée d’une fonction d’une variable réelle et techniques de dérivation.
• Fonctions de plusieurs variables: Compréhension du domaine de définition et de la notation $f(x_1, \dots, x_n)$.

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un ouvert $U \subset \mathbb{R}^n$ à valeurs dans $\mathbb{R}^p$. Soit $a = (a_1, \dots, a_n) \in U$.

On dit que $f$ admet une dérivée partielle par rapport à sa $k$-ième variable (pour $k \in \{1, \dots, n\}$) au point $a$ si la limite suivante existe :

$\lim_{t \to 0} \frac{f(a_1, \dots, a_k+t, \dots, a_n) - f(a_1, \dots, a_n)}{t}$

Lorsque cette limite existe, on la note $\frac{\partial f}{\partial x_k}(a)$ ou $\partial_k f(a)$. C’est un vecteur de $\mathbb{R}^p$.

Explications Détaillées

L’idée de la dérivée partielle est très intuitive. Pour comprendre comment une fonction de plusieurs variables change, on peut simplifier le problème en ne faisant varier qu’une seule variable à la fois, tout en considérant les autres comme des constantes.

Calculer la dérivée partielle $\frac{\partial f}{\partial x_k}(a)$ revient à :

1. Fixer toutes les variables de $f$ sauf la $k$-ième, $x_k$. On obtient une fonction d’une seule variable, $t \mapsto g(t) = f(a_1, \dots, a_{k-1}, t, a_{k+1}, \dots, a_n)$.
2. Dériver cette fonction $g(t)$ de la manière habituelle par rapport à $t$.
3. Évaluer cette dérivée au point $t=a_k$.

La dérivée partielle $\frac{\partial f}{\partial x_k}(a)$ mesure le taux de variation instantané de $f$ au point $a$ lorsqu’on se déplace dans la direction de l’axe des $x_k$. Si $f$ est à valeurs dans $\mathbb{R}^p$, ses dérivées partielles sont aussi des vecteurs de $\mathbb{R}^p$. Le calcul se fait alors composante par composante.

Propriétés Clés

• Règles de calcul: Les règles de dérivation usuelles (somme, produit, quotient, composition de fonctions d’une variable) s’appliquent directement au calcul des dérivées partielles, en traitant les autres variables comme des constantes.

• Linéarité: L’opérateur de dérivation partielle est linéaire :

  $\frac{\partial}{\partial x_k} (f + \lambda g)(a) = \frac{\partial f}{\partial x_k}(a) + \lambda \frac{\partial g}{\partial x_k}(a)$

Exemples

Exemple 1 : Fonction polynomiale

Soit $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ définie par $f(x,y,z) = x^2 y^3 + 5yz^2 - \cos(x)$.

• Dérivée partielle par rapport à $x$: On traite $y$ et $z$ comme des constantes.

  $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z) = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 y^3) + \frac{\partial}{\partial x}(5yz^2) - \frac{\partial}{\partial x}(\cos(x)) = 2x \cdot y^3 + 0 - (-\sin(x)) = 2xy^3 + \sin(x)$

• Dérivée partielle par rapport à $y$: On traite $x$ et $z$ comme des constantes.

  $\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z) = x^2 \cdot (3y^2) + 5z^2 \cdot (1) - 0 = 3x^2y^2 + 5z^2$

• Dérivée partielle par rapport à $z$: On traite $x$ et $y$ comme des constantes.

  $\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z) = 0 + 5y \cdot (2z) - 0 = 10yz$

Exemple 2 : Fonction vectorielle

Soit $g : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ définie par $g(x,y) = \begin{pmatrix} x^2 + y^4 \\ \sin(ye^x) \end{pmatrix}$.

On calcule les dérivées partielles pour chaque composante.

• Dérivée partielle par rapport à $x$:

  $\frac{\partial g}{\partial x}(x,y) = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y^4) \\ \frac{\partial}{\partial x}(\sin(ye^x)) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x \\ \cos(ye^x) \cdot \frac{\partial}{\partial x}(ye^x) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x \\ ye^x \cos(ye^x) \end{pmatrix}$

• Dérivée partielle par rapport à $y$:

  $\frac{\partial g}{\partial y}(x,y) = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + y^4) \\ \frac{\partial}{\partial y}(\sin(ye^x)) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4y^3 \\ \cos(ye^x) \cdot \frac{\partial}{\partial y}(ye^x) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4y^3 \\ e^x \cos(ye^x) \end{pmatrix}$

Exemple 3 : Utilisation de la définition

Soit $f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ définie par $f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^3}{x^2+y^2} & \text{si } (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \text{si } (x,y) = (0,0) \end{cases}$.

Calculons les dérivées partielles en $(0,0)$ en utilisant la définition.

• Par rapport à $x$:

  $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(t,0) - f(0,0)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{t^3/(t^2+0^2) - 0}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{t^2}{t} = \lim_{t \to 0} t = 0$

• Par rapport à $y$:

  $\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(0,t) - f(0,0)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{0^3/(0^2+t^2) - 0}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{0}{t} = 0$

Les deux dérivées partielles existent en $(0,0)$ et sont nulles.

Contre-exemples

Contre-exemple 1 : L’existence des dérivées partielles n’implique pas la continuité

Reprenons la fonction $f(x,y) = \frac{xy}{x^2+y^2}$ pour $(x,y) \neq (0,0)$ et $f(0,0)=0$.

Calculons les dérivées partielles en $(0,0)$ :

$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(t,0) - f(0,0)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{0 - 0}{t} = 0$

$\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(0,t) - f(0,0)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{0 - 0}{t} = 0$

Les deux dérivées partielles existent à l’origine. Cependant, comme nous l’avons vu, la fonction n’est même pas continue en $(0,0)$.

Contre-exemple 2 : Une dérivée partielle peut ne pas exister

Soit $f(x,y) = \sqrt{x^2+y^2}$ (la norme euclidienne).

En dehors de $(0,0)$, les dérivées partielles existent : $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$.

Essayons de calculer la dérivée partielle par rapport à $x$ en $(0,0)$ :

$\lim_{t \to 0} \frac{f(t,0) - f(0,0)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{t^2+0^2} - 0}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{|t|}{t}$

Cette limite n’existe pas (elle vaut 1 pour $t \to 0^+$ et -1 pour $t \to 0^-$). Donc, $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)$ n’existe pas.

Concepts Liés

• Fonction Différentiable: Si une fonction est différentiable en un point, alors toutes ses dérivées partielles existent en ce point. La réciproque est fausse.
• Matrice Jacobienne: C’est la matrice qui contient toutes les dérivées partielles d’une fonction vectorielle.
• Gradient: Pour une fonction à valeurs réelles, le gradient est le vecteur de ses dérivées partielles.

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Concept 3: Matrice Jacobienne

Prérequis

• Dérivée Partielle: Savoir calculer les dérivées partielles d’une fonction.
• Algèbre Linéaire: Matrices, multiplication matricielle.
• Fonction Différentiable: Définition de la différentielle.

Définition

Soit $f: U \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^p$ une fonction définie sur un ouvert $U$. On suppose que $f$ admet des dérivées partielles par rapport à toutes ses variables en un point $a \in U$. Les composantes de $f$ sont notées $f = (f_1, \dots, f_p)$.

La matrice jacobienne de $f$ au point $a$, notée $J_f(a)$, est la matrice de taille $p \times n$ dont les coefficients sont les dérivées partielles des fonctions composantes $f_i$ par rapport aux variables $x_j$ :

$$J_f(a) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(a) & \frac{\partial f_1}{\partial x_2}(a) & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(a) \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1}(a) & \frac{\partial f_2}{\partial x_2}(a) & \cdots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n}(a) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_p}{\partial x_1}(a) & \frac{\partial f_p}{\partial x_2}(a) & \cdots & \frac{\partial f_p}{\partial x_n}(a) \end{pmatrix}$$

L’élément à la ligne $i$ et la colonne $j$ est $(J_f(a))_{ij} = \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(a)$.

Explications Détaillées

La matrice jacobienne est l’outil qui concrétise la notion de différentielle. Si une fonction $f$ est différentiable en $a$, sa différentielle $df_a$ est une application linéaire de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}^p$. Comme toute application linéaire entre ces espaces, elle peut être représentée par une matrice. Cette matrice est précisément la matrice jacobienne $J_f(a)$.

Comment se souvenir de sa structure ?

• Nombre de lignes ($p$) = dimension de l’espace d’arrivée ($\mathbb{R}^p$). Chaque ligne correspond à une fonction composante $f_i$.
• Nombre de colonnes ($n$) = dimension de l’espace de départ ($\mathbb{R}^n$). Chaque colonne correspond à une variable de départ $x_j$.

La matrice jacobienne rassemble toute l’information sur les variations de $f$ au premier ordre le long des directions des axes de coordonnées.

Propriétés Clés

• Représentation de la différentielle: (Théorème 4.10) Si $f$ est différentiable en $a$, alors sa différentielle $df_a$ est l’application linéaire dont la matrice dans les bases canoniques est $J_f(a)$. On a pour tout vecteur $h \in \mathbb{R}^n$ :

  $df_a(h) = J_f(a) h$

  où $h$ est vu comme un vecteur colonne.

• Développement limité d’ordre 1: Si $f$ est différentiable en $a$, on peut écrire :

  $f(a+h) = f(a) + J_f(a)h + o(\|h\|)$

  Ceci est la formulation la plus pratique de la différentiabilité.

Exemples

Exemple 1 : Fonction de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}^2$

Soit $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ définie par $f(x,y,z) = (x^2y, \sin(z)+y)$.

Ici $n=3, p=2$. La jacobienne sera une matrice $2 \times 3$.

Les composantes sont $f_1(x,y,z) = x^2y$ et $f_2(x,y,z) = \sin(z)+y$.

Calculons les dérivées partielles :

• $\frac{\partial f_1}{\partial x} = 2xy$, $\frac{\partial f_1}{\partial y} = x^2$, $\frac{\partial f_1}{\partial z} = 0$
• $\frac{\partial f_2}{\partial x} = 0$, $\frac{\partial f_2}{\partial y} = 1$, $\frac{\partial f_2}{\partial z} = \cos(z)$

La matrice jacobienne en un point $(x,y,z)$ est :

$J_f(x,y,z) = \begin{pmatrix} 2xy & x^2 & 0 \\ 0 & 1 & \cos(z) \end{pmatrix}$

Par exemple, au point $a=(1,2,0)$, on a $J_f(1,2,0) = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$.

Exemple 2 : Coordonnées polaires

Considérons la fonction $P: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ qui convertit les coordonnées polaires en coordonnées cartésiennes : $P(r, \theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta)$.

Ici $n=2, p=2$. Les variables sont $(r, \theta)$ et les composantes sont $x(r, \theta) = r\cos\theta$ et $y(r, \theta) = r\sin\theta$.

• $\frac{\partial x}{\partial r} = \cos\theta$, $\frac{\partial x}{\partial \theta} = -r\sin\theta$
• $\frac{\partial y}{\partial r} = \sin\theta$, $\frac{\partial y}{\partial \theta} = r\cos\theta$

La matrice jacobienne est :

$J_P(r,\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix}$

Le déterminant de cette matrice est $\det(J_P(r,\theta)) = r\cos^2\theta - (-r\sin^2\theta) = r$, qui est le facteur de changement d’aire pour les intégrales en coordonnées polaires.

Exemple 3 : Fonction à valeurs réelles (cas du Gradient)

Soit $g: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$. Ici $p=1$. La matrice jacobienne est une matrice $1 \times n$, c’est-à-dire un vecteur ligne.

$J_g(a) = \begin{pmatrix} \frac{\partial g}{\partial x_1}(a) & \frac{\partial g}{\partial x_2}(a) & \cdots & \frac{\partial g}{\partial x_n}(a) \end{pmatrix}$

Cette matrice est la transposée du vecteur gradient $\nabla g(a)$.

Contre-exemples

Contre-exemple 1 : L’existence de la Jacobienne n’implique pas la différentiabilité

Reprenons la fonction $f(x,y) = \frac{xy}{x^2+y^2}$ pour $(x,y) \neq (0,0)$ et $f(0,0)=0$.

Nous avons vu que $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = 0$ et $\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) = 0$.

La matrice jacobienne en $(0,0)$ existe donc et est la matrice nulle : $J_f(0,0) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \end{pmatrix}$.

Cependant, la fonction n’est pas différentiable en $(0,0)$ car elle n’y est pas continue.

Contre-exemple 2 : Mauvais usage de la Jacobienne

Il est crucial de ne pas confondre l’existence de la Jacobienne avec la différentiabilité. Si une fonction n’est pas différentiable, la formule $f(a+h) \approx f(a) + J_f(a)h$ peut donner une très mauvaise approximation. Pour la fonction précédente, l’approximation serait $f(h) \approx f(0) + J_f(0)h = 0 + 0 = 0$. Or, sur la droite $y=x$, la fonction vaut $1/2$, ce qui est loin de 0.

Concepts Liés

• Fonction Différentiable: La jacobienne est la représentation matricielle de la différentielle.
• Dérivée Partielle: Les entrées de la jacobienne sont les dérivées partielles.
• Règle de la chaîne (Chain Rule): La différentiation des fonctions composées se traduit élégamment par un produit des matrices jacobiennes.
• Gradient: Pour une fonction scalaire, le gradient est la transposée de la matrice jacobienne.

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Concept 4: Fonction de Classe $\mathcal{C}^1$

Prérequis

• Dérivée Partielle: Savoir calculer les dérivées partielles.
• Continuité: Comprendre la continuité des fonctions de plusieurs variables.

Définition

Une fonction $f : U \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^p$, définie sur un ouvert $U$, est dite de classe $\mathcal{C}^1$ sur $U$ si :

1. $f$ admet des dérivées partielles par rapport à toutes ses variables en tout point de $U$.
2. Chacune de ces fonctions dérivées partielles $a \mapsto \frac{\partial f}{\partial x_k}(a)$ est continue sur $U$.

L’ensemble des fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ sur $U$ à valeurs dans $\mathbb{R}^p$ est noté $\mathcal{C}^1(U; \mathbb{R}^p)$.

Explications Détaillées

Être de classe $\mathcal{C}^1$ est une condition de régularité plus forte que la simple existence des dérivées partielles ou même que la différentiabilité. Cela signifie non seulement que la fonction peut être approchée localement par une application affine (différentiabilité), mais aussi que cette approximation linéaire (la différentielle, ou matrice jacobienne) varie de manière continue lorsque l’on se déplace dans le domaine.

En pratique, pour vérifier qu’une fonction est de classe $\mathcal{C}^1$, on suit deux étapes :

1. On calcule formellement toutes ses dérivées partielles $\frac{\partial f_i}{\partial x_j}$.
2. On étudie la continuité de chacune des fonctions obtenues. Si elles sont toutes continues sur le domaine $U$, alors la fonction est de classe $\mathcal{C}^1$. Les fonctions usuelles (polynômes, sin, cos, exp, log) et leurs compositions donnent généralement des fonctions $\mathcal{C}^1$ sur leur domaine de définition.

La hiérarchie de la régularité est la suivante :

$\text{Classe } \mathcal{C}^1 \implies \text{Différentiable} \implies \left\{ \begin{array}{c} \text{Continue} \\ \text{Existence des dérivées partielles} \end{array} \right.$

Attention, aucune des implications inverses n’est vraie !

Propriétés Clés

• Théorème fondamental (Théorème 4.14): Si une fonction est de classe $\mathcal{C}^1$ sur un ouvert $U$, alors elle est différentiable en tout point de $U$.

  C’est le résultat le plus important concernant les fonctions $\mathcal{C}^1$. Il fournit un critère pratique et puissant pour prouver qu’une fonction est différentiable, ce qui est souvent plus simple que de revenir à la définition de la différentiabilité.

• Stabilité par opérations: L’ensemble $\mathcal{C}^1(U; \mathbb{R}^p)$ est un espace vectoriel. De plus, le produit et la composition de fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ (quand c’est possible) sont aussi de classe $\mathcal{C}^1$.

Exemples

Exemple 1 : Fonction polynomiale

Soit $f(x,y) = x^3 - 3xy^2 + y$ sur $\mathbb{R}^2$.

1. Calcul des dérivées partielles:

   $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 3x^2 - 3y^2$

   $\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = -6xy + 1$

2. Continuité des dérivées partielles:

   Les fonctions $(x,y) \mapsto 3x^2 - 3y^2$ et $(x,y) \mapsto -6xy + 1$ sont des fonctions polynomiales en $x$ et $y$. Elles sont donc continues sur $\mathbb{R}^2$.

   Conclusion : $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^2$. Par le théorème fondamental, $f$ est aussi différentiable sur $\mathbb{R}^2$.

Exemple 2 : Fonction avec un sinus

Soit $f(x,y,z) = -2x \cos(y)$ sur $\mathbb{R}^3$.

1. Calcul des dérivées partielles:

   $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z) = -2\cos(y)$

   $\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z) = -2x(-\sin(y)) = 2x\sin(y)$

   $\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z) = 0$

2. Continuité des dérivées partielles:

   • $(x,y,z) \mapsto -2\cos(y)$ est continue car c’est la composition d’une projection et de la fonction cosinus.
   • $(x,y,z) \mapsto 2x\sin(y)$ est continue comme produit de fonctions continues.
   • $(x,y,z) \mapsto 0$ est une fonction constante, donc continue.

   Conclusion : $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^3$.

Exemple 3 : Une fonction vectorielle

Soit $g(x,y) = (e^{x+y}, \ln(1+x^2))$ sur $\mathbb{R}^2$.

Les composantes sont $g_1(x,y) = e^{x+y}$ et $g_2(x,y) = \ln(1+x^2)$.

• Pour $g_1$: $\frac{\partial g_1}{\partial x} = e^{x+y}$ et $\frac{\partial g_1}{\partial y} = e^{x+y}$. Ces fonctions sont continues sur $\mathbb{R}^2$.
• Pour $g_2$: $\frac{\partial g_2}{\partial x} = \frac{2x}{1+x^2}$ et $\frac{\partial g_2}{\partial y} = 0$. Ces fonctions sont continues sur $\mathbb{R}^2$.

Toutes les dérivées partielles des composantes sont continues, donc $g$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^2$.

Contre-exemples

Contre-exemple 1 : Différentiable mais pas $\mathcal{C}^1$

Considérons la fonction $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = x^2 \sin(1/x)$ si $x \neq 0$ et $f(0)=0$.

• Cette fonction est dérivable en 0, avec $f'(0) = \lim_{h\to 0} \frac{h^2\sin(1/h)}{h} = \lim_{h\to 0} h\sin(1/h) = 0$.
• Pour $x \neq 0$, $f'(x) = 2x\sin(1/x) - \cos(1/x)$.

La fonction dérivée $f'(x)$ n’a pas de limite en 0 (à cause du terme $\cos(1/x)$). Elle n’est donc pas continue en 0.

La fonction $f$ est dérivable (donc différentiable) partout, mais n’est pas de classe $\mathcal{C}^1$. Un exemple similaire peut être construit pour les fonctions de plusieurs variables.

Contre-exemple 2 : Dérivées partielles existantes mais non continues

Reprenons $f(x,y) = \frac{xy}{x^2+y^2}$ pour $(x,y) \neq (0,0)$ et $f(0,0)=0$.

Nous avons vu que $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = 0$.

Pour $(x,y) \neq (0,0)$, on calcule $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \frac{y(x^2+y^2) - xy(2x)}{(x^2+y^2)^2} = \frac{y^3-xy^2}{(x^2+y^2)^2}$.

Cette fonction n’est pas continue en $(0,0)$. Par exemple, le long de l’axe $y$ (en posant $x=t, y=c$), la limite quand $t \to 0$ dépend de $c$. La fonction n’est donc pas de classe $\mathcal{C}^1$.

Concepts Liés

• Différentiabilité: Être $\mathcal{C}^1$ est la condition suffisante la plus couramment utilisée pour prouver la différentiabilité.
• Dérivées d’ordre supérieur: La notion de classe $\mathcal{C}^1$ se généralise aux classes $\mathcal{C}^k$ (toutes les dérivées partielles jusqu’à l’ordre $k$ existent et sont continues) et $\mathcal{C}^\infty$ (infiniment différentiable).

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Concept 5: Règles de Calcul Différentiel (Opérations)

Prérequis

• Fonction Différentiable et de Classe $\mathcal{C}^1$.
• Matrice Jacobienne.
• Algèbre Linéaire: Produit matriciel.

Définition et Propriétés

Les opérations algébriques usuelles (somme, produit par un scalaire, produit de fonctions) et la composition se comportent bien avec la différentiation. Si les fonctions sont différentiables (ou de classe $\mathcal{C}^1$), le résultat de l’opération l’est aussi, et on dispose de formules pour calculer la nouvelle différentielle (ou matrice jacobienne).

1. Combinaison linéaire (Proposition 4.16)

• Hypothèses: Soient $f, g: U \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^p$ différentiables en $a \in U$ et $\lambda \in \mathbb{R}$.

• Conclusion: La fonction $h = f + \lambda g$ est différentiable en $a$ et sa différentielle est :

  $d(f+\lambda g)_a = df_a + \lambda dg_a$

• En termes de Jacobiennes:

  $J_{f+\lambda g}(a) = J_f(a) + \lambda J_g(a)$

• Régularité: Si $f$ et $g$ sont de classe $\mathcal{C}^1$, alors $f+\lambda g$ l’est aussi. L’ensemble $\mathcal{C}^1(U, \mathbb{R}^p)$ est un espace vectoriel.

2. Formule de Leibniz pour le produit (Proposition 4.17)

• Hypothèses: Soient $f: U \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ (scalaire) et $g: U \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^p$ (vectorielle) différentiables en $a \in U$.

• Conclusion: La fonction produit $h = fg$ est différentiable en $a$.

• En termes de Jacobiennes:

  $J_{fg}(a) = g(a) J_f(a) + f(a) J_g(a)$

  Ici, $g(a)$ est un vecteur colonne ($p \times 1$), $J_f(a)$ est un vecteur ligne ($1 \times n$), leur produit est une matrice $p \times n$. $f(a)$ est un scalaire et $J_g(a)$ est une matrice $p \times n$.

• Régularité: Si $f$ et $g$ sont de classe $\mathcal{C}^1$, alors $fg$ l’est aussi.

3. Composition - Règle de la chaîne (Théorème 4.19)

• Hypothèses: Soient $U \subset \mathbb{R}^n$ et $V \subset \mathbb{R}^m$ des ouverts. Soient $f: U \to V$ différentiable en $a \in U$, et $g: V \to \mathbb{R}^p$ différentiable en $b=f(a) \in V$.

• Conclusion: La fonction composée $g \circ f : U \to \mathbb{R}^p$ est différentiable en $a$.

• Formule de la différentielle:

  $d(g \circ f)_a = dg_{f(a)} \circ df_a$

  C’est une composition d’applications linéaires.

• Formule des Jacobiennes: La règle de la chaîne se traduit par un produit matriciel.

  $J_{g \circ f}(a) = J_g(f(a)) \cdot J_f(a)$

  où le produit est une multiplication de matrices.

  Taille des matrices : $J_{g \circ f}(a)$ est $p \times n$. $J_g(f(a))$ est $p \times m$. $J_f(a)$ est $m \times n$. Le produit $(p \times m) \cdot (m \times n)$ donne bien une matrice $(p \times n)$. L’ordre est crucial !

• Régularité: Si $f$ et $g$ sont de classe $\mathcal{C}^1$, alors $g \circ f$ l’est aussi.

Exemples

Exemple 1 : Règle de la chaîne (simple)

Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$ avec $f(t) = (t^2, \sin(t))$ et $g: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ avec $g(x,y) = xy$. Calculons la dérivée de $h = g \circ f$ en $t=\pi$.

$f(\pi) = (\pi^2, 0)$.

• Jacobienne de f: $f'(t)$ est $J_f(t) = \begin{pmatrix} 2t \\ \cos(t) \end{pmatrix}$. Donc $J_f(\pi) = \begin{pmatrix} 2\pi \\ -1 \end{pmatrix}$.

• Jacobienne de g: $J_g(x,y) = \begin{pmatrix} \frac{\partial g}{\partial x} & \frac{\partial g}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y & x \end{pmatrix}$. En $f(\pi)=(\pi^2, 0)$, on a $J_g(f(\pi)) = \begin{pmatrix} 0 & \pi^2 \end{pmatrix}$.

• Application de la règle:

  $J_{g \circ f}(\pi) = J_g(f(\pi)) \cdot J_f(\pi) = \begin{pmatrix} 0 & \pi^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2\pi \\ -1 \end{pmatrix} = 0 \cdot (2\pi) + \pi^2 \cdot (-1) = -\pi^2$

  Vérification directe : $h(t) = g(f(t)) = t^2\sin(t)$. $h'(t) = 2t\sin(t) + t^2\cos(t)$. $h'(\pi) = 2\pi\sin(\pi) + \pi^2\cos(\pi) = -\pi^2$. Ça fonctionne.

Exemple 2 : Règle de la chaîne (variables intermédiaires)

Soit $\varphi : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ de classe $\mathcal{C}^1$ et $g(x,y) = \varphi(u(x,y), v(x,y))$ où $u(x,y) = x+y$ et $v(x,y)=x^2+y^2$. Exprimons les dérivées partielles de $g$.

On a $g = \varphi \circ f$ avec $f(x,y) = (x+y, x^2+y^2)$.

$J_f(x,y) = \begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2x & 2y \end{pmatrix}$

$J_\varphi(u,v) = \begin{pmatrix} \frac{\partial \varphi}{\partial u} & \frac{\partial \varphi}{\partial v} \end{pmatrix}$

Par la règle de la chaîne, $J_g(x,y) = J_\varphi(f(x,y)) \cdot J_f(x,y)$:

$\begin{pmatrix} \frac{\partial g}{\partial x} & \frac{\partial g}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\partial \varphi}{\partial u} & \frac{\partial \varphi}{\partial v} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2x & 2y \end{pmatrix}$

$= \left( \frac{\partial \varphi}{\partial u} \cdot 1 + \frac{\partial \varphi}{\partial v} \cdot 2x, \quad \frac{\partial \varphi}{\partial u} \cdot 1 + \frac{\partial \varphi}{\partial v} \cdot 2y \right)$

Donc :

$\frac{\partial g}{\partial x}(x,y) = \frac{\partial \varphi}{\partial u}(u(x,y), v(x,y)) + 2x \frac{\partial \varphi}{\partial v}(u(x,y), v(x,y))$.

$\frac{\partial g}{\partial y}(x,y) = \frac{\partial \varphi}{\partial u}(u(x,y), v(x,y)) + 2y \frac{\partial \varphi}{\partial v}(u(x,y), v(x,y))$.

Exemple 3 : Produit (Formule de Leibniz)

Soit $f(x,y) = x^2$ et $g(x,y) = \begin{pmatrix} y \\ \sin(x) \end{pmatrix}$. Soit $h=fg$.

• $f(x,y)=x^2$, $J_f(x,y) = \begin{pmatrix} 2x & 0 \end{pmatrix}$.
• $g(x,y)=\begin{pmatrix} y \\ \sin(x) \end{pmatrix}$, $J_g(x,y) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \cos(x) & 0 \end{pmatrix}$.

$J_h(x,y) = g(x,y) J_f(x,y) + f(x,y) J_g(x,y)$

$= \begin{pmatrix} y \\ \sin(x) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2x & 0 \end{pmatrix} + x^2 \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \cos(x) & 0 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 2xy & 0 \\ 2x\sin(x) & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & x^2 \\ x^2\cos(x) & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2xy & x^2 \\ 2x\sin(x)+x^2\cos(x) & 0 \end{pmatrix}$

Vérification : $h(x,y) = x^2 \begin{pmatrix} y \\ \sin(x) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x^2y \\ x^2\sin(x) \end{pmatrix}$.

$\frac{\partial h_1}{\partial x} = 2xy$, $\frac{\partial h_1}{\partial y} = x^2$.

$\frac{\partial h_2}{\partial x} = 2x\sin(x)+x^2\cos(x)$, $\frac{\partial h_2}{\partial y} = 0$. La jacobienne correspond.

Contre-exemples

Contre-exemple 1 : Non-différentiabilité

La formule de la chaîne ne s’applique que si les fonctions sont différentiables aux points concernés. Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(t)=|t|$ et $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ par $g(x)=x^2$.

$f$ n’est pas différentiable en 0. $g$ est différentiable partout.

$g \circ f(t) = (|t|)^2 = t^2$. Cette fonction est différentiable en 0.

$f \circ g(t) = |t^2| = t^2$. Cette fonction est aussi différentiable en 0.

Ici, la composée est différentiable, mais on ne peut pas appliquer la formule.

Contre-exemple 2 : Erreur d’ordre dans la composition

Reprenons l’Exemple 1. $J_g(f(\pi)) = \begin{pmatrix} 0 & \pi^2 \end{pmatrix}$ et $J_f(\pi) = \begin{pmatrix} 2\pi \\ -1 \end{pmatrix}$.

Le produit $J_g(f(\pi)) \cdot J_f(\pi)$ est $(1 \times 2) \cdot (2 \times 1)$, ce qui donne une matrice $1 \times 1$ (un scalaire).

Si on inversait l’ordre, $J_f(\pi) \cdot J_g(f(\pi))$, on aurait un produit $(2 \times 1) \cdot (1 \times 2)$, ce qui donnerait une matrice $2 \times 2$. De plus, le résultat serait incorrect :

$\begin{pmatrix} 2\pi \\ -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & \pi^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2\pi^3 \\ 0 & -\pi^2 \end{pmatrix} \neq -\pi^2$

Concepts Liés

• Toutes les notions de différentiabilité : Ces règles permettent de construire des fonctions différentiables ou $\mathcal{C}^1$ complexes à partir de briques de base simples.
• Applications en physique et géométrie: La règle de la chaîne est fondamentale pour étudier des quantités le long de trajectoires (dérivée particulaire) ou lors de changements de coordonnées (e.g., polaires, sphériques).

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Concept 6: Gradient d’une Fonction Numérique

Prérequis

• Dérivée Partielle.
• Algèbre Linéaire: Vecteurs, produit scalaire euclidien.
• Matrice Jacobienne.

Définition

Soit $U$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$ et $f : U \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction à valeurs réelles (un champ scalaire) qui admet des dérivées partielles en un point $a \in U$.

Le gradient de $f$ au point $a$ est le vecteur de $\mathbb{R}^n$, noté $\nabla f(a)$ (lire “nabla f de a”), défini par :

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