Normes sur Rⁿ et suites convergentes - preuves (A)

Soient $x, y \in \mathbb{R}^n$. Nous utilisons l'axiome de l'inégalité triangulaire de la norme $\| \cdot \|$.

Étape 1 : Majorer $\|x\| - \|y\|$

On écrit $x = (x-y) + y$. En appliquant l'inégalité triangulaire, on obtient :

$\|x\| = \|(x-y) + y\| \le \|x-y\| + \|y\|$.

En soustrayant $\|y\|$ des deux côtés, on a :

$\|x\| - \|y\| \le \|x-y\|$. (1)

Étape 2 : Minorer $\|x\| - \|y\|$

De la même manière, on écrit $y = (y-x) + x$. En appliquant l'inégalité triangulaire :

$\|y\| = \|(y-x) + x\| \le \|y-x\| + \|x\|$.

On sait par l'axiome d'homogénéité que $\|y-x\| = \|(-1)(x-y)\| = |-1|\|x-y\| = \|x-y\|$.

L'inégalité devient donc $\|y\| \le \|x-y\| + \|x\|$.

En réarrangeant les termes, on obtient :

$\|y\| - \|x\| \le \|x-y\|$, ce qui est équivalent à $-(\|x\| - \|y\|) \le \|x-y\|$. (2)

Conclusion

En combinant les inégalités (1) et (2), on a :

$- \|x-y\| \le \|x\| - \|y\| \le \|x-y\|$.

Ceci est exactement la définition de la valeur absolue, donc on peut conclure :

$|\|x\| - \|y\|| \le \|x - y\|$.

Soient $v = (x, y)$ et $v' = (x', y')$ des vecteurs de $\mathbb{R}^2$, et $\lambda \in \mathbb{R}$ un scalaire. Nous vérifions les trois axiomes d'une norme.

1. Axiome de séparation : $N(v) = 0 \iff v = (0,0)$

($\implies$) Supposons que $N(x, y) = 0$. Par définition, cela signifie $|x + 2y| + 3|y| = 0$.

Comme $|x + 2y| \ge 0$ et $3|y| \ge 0$, leur somme est nulle si et seulement si les deux termes sont nuls :

$|x + 2y| = 0$ et $3|y| = 0$.

La deuxième équation, $3|y|=0$, implique $|y|=0$, donc $y=0$.

En substituant $y=0$ dans la première équation, on obtient $|x + 2(0)| = 0$, soit $|x|=0$, ce qui implique $x=0$.

Ainsi, $(x, y) = (0,0)$.

($\impliedby$) Supposons que $(x, y) = (0,0)$. Alors $N(0,0) = |0 + 2(0)| + 3|0| = 0+0=0$.

L'axiome de séparation est donc vérifié.

2. Axiome d'homogénéité : $N(\lambda v) = |\lambda| N(v)$

Calculons $N(\lambda v) = N(\lambda x, \lambda y)$ :

\begin{align*} N(\lambda x, \lambda y) &= |(\lambda x) + 2(\lambda y)| + 3|\lambda y| \\ &= |\lambda(x + 2y)| + 3|\lambda||y| \\ &= |\lambda| |x + 2y| + 3|\lambda||y| \quad \text{(propriété de la valeur absolue)} \\ &= |\lambda| (|x + 2y| + 3|y|) \\ &= |\lambda| N(x,y). \end{align*}

L'axiome d'homogénéité est vérifié.

3. Inégalité triangulaire : $N(v+v') \le N(v) + N(v')$

Calculons $N(v+v') = N(x+x', y+y')$ :

\begin{align*} N(x+x', y+y') &= |(x+x') + 2(y+y')| + 3|y+y'| \\ &= |(x+2y) + (x'+2y')| + 3|y+y'| \end{align*}

En utilisant l'inégalité triangulaire pour la valeur absolue sur $\mathbb{R}$ (c'est-à-dire $|a+b| \le |a|+|b|$), on peut majorer chaque terme :

\begin{align*} N(x+x', y+y') &\le \left(|x+2y| + |x'+2y'|\right) + 3\left(|y| + |y'|\right) \\ &= (|x+2y| + 3|y|) + (|x'+2y'| + 3|y'|) \\ &= N(x,y) + N(x',y'). \end{align*}

L'inégalité triangulaire est vérifiée.

Conclusion

Puisque les trois axiomes sont satisfaits, $N$ est bien une norme sur $\mathbb{R}^2$.

Soient $x, y \in \mathbb{R}^n$ et $\lambda \in \mathbb{R}$.

1. Axiome de séparation : $\|x\|_\infty = 0 \iff x = 0_{\mathbb{R}^n}$

($\implies$) Supposons $\|x\|_\infty = 0$. Cela signifie $\max_{1 \le j \le n} |x_j| = 0$.

Comme $|x_j| \ge 0$ pour tout $j$, le maximum ne peut être 0 que si toutes les composantes sont nulles. Donc, $|x_j| = 0$ pour tout $j \in \{1, \dots, n\}$.

Cela implique $x_j=0$ pour tout $j$, et donc $x = (0, \dots, 0) = 0_{\mathbb{R}^n}$.

($\impliedby$) Si $x = 0_{\mathbb{R}^n}$, alors $x_j=0$ pour tout $j$. Ainsi $\|x\|_\infty = \max(|0|, \dots, |0|) = 0$.

L'axiome est vérifié.

2. Axiome d'homogénéité : $\|\lambda x\|_\infty = |\lambda| \|x\|_\infty$

Le vecteur $\lambda x$ a pour composantes $(\lambda x_1, \dots, \lambda x_n)$.

\begin{align*} \|\lambda x\|_\infty &= \max_{1 \le j \le n} |\lambda x_j| \\ &= \max_{1 \le j \le n} (|\lambda| |x_j|) \end{align*}

Comme $|\lambda|$ est une constante non-négative, on peut la sortir du maximum :

$\|\lambda x\|_\infty = |\lambda| \left(\max_{1 \le j \le n} |x_j|\right) = |\lambda| \|x\|_\infty.$

L'axiome est vérifié.

3. Inégalité triangulaire : $\|x+y\|_\infty \le \|x\|_\infty + \|y\|_\infty$

Le vecteur $x+y$ a pour composantes $(x_1+y_1, \dots, x_n+y_n)$.

$\|x+y\|_\infty = \max_{1 \le j \le n} |x_j + y_j|$

Soit $j_0$ l'indice où ce maximum est atteint : $\|x+y\|_\infty = |x_{j_0} + y_{j_0}|$.

En utilisant l'inégalité triangulaire pour la valeur absolue sur $\mathbb{R}$, on a :

$|x_{j_0} + y_{j_0}| \le |x_{j_0}| + |y_{j_0}|$

Par définition de la norme infinie, pour tout indice $j$, on a $|x_j| \le \max_{k} |x_k| = \|x\|_\infty$ et $|y_j| \le \max_{k} |y_k| = \|y\|_\infty$.

Ceci est vrai en particulier pour $j_0$ :

$|x_{j_0}| \le \|x\|_\infty \quad \text{et} \quad |y_{j_0}| \le \|y\|_\infty$

En combinant ces inégalités, on obtient :

$\|x+y\|_\infty = |x_{j_0} + y_{j_0}| \le |x_{j_0}| + |y_{j_0}| \le \|x\|_\infty + \|y\|_\infty.$

L'axiome est vérifié.

Conclusion

Les trois axiomes étant satisfaits, $\| \cdot \|_\infty$ est une norme sur $\mathbb{R}^n$.

Soient $x, y \in \mathbb{R}^n$ et $\lambda \in \mathbb{R}$.

1. Axiome de séparation : $\|x\|_1 = 0 \iff x = 0_{\mathbb{R}^n}$

($\implies$) Supposons $\|x\|_1 = 0$. Cela signifie $\sum_{j=1}^n |x_j| = 0$.

Chaque terme $|x_j|$ est positif ou nul. Une somme de termes positifs ou nuls est égale à zéro si et seulement si chaque terme de la somme est nul.

Donc, $|x_j| = 0$ pour tout $j \in \{1, \dots, n\}$, ce qui implique $x_j = 0$ pour tout $j$.

Ainsi, $x = (0, \dots, 0) = 0_{\mathbb{R}^n}$.

($\impliedby$) Si $x = 0_{\mathbb{R}^n}$, alors $x_j=0$ pour tout $j$. Ainsi $\|x\|_1 = \sum_{j=1}^n |0| = 0$.

L'axiome est vérifié.

2. Axiome d'homogénéité : $\|\lambda x\|_1 = |\lambda| \|x\|_1$

Le vecteur $\lambda x$ a pour composantes $(\lambda x_1, \dots, \lambda x_n)$.

\begin{align*} \|\lambda x\|_1 &= \sum_{j=1}^n |\lambda x_j| \\ &= \sum_{j=1}^n |\lambda| |x_j| \\ &= |\lambda| \sum_{j=1}^n |x_j| \quad \text{(mise en facteur de la constante } |\lambda| \text{)} \\ &= |\lambda| \|x\|_1. \end{align*}

L'axiome est vérifié.

3. Inégalité triangulaire : $\|x+y\|_1 \le \|x\|_1 + \|y\|_1$

Le vecteur $x+y$ a pour composantes $(x_1+y_1, \dots, x_n+y_n)$.

$\|x+y\|_1 = \sum_{j=1}^n |x_j + y_j|$

En utilisant l'inégalité triangulaire pour la valeur absolue sur $\mathbb{R}$ pour chaque composante $j$, on a $|x_j + y_j| \le |x_j| + |y_j|$.

En sommant sur toutes les composantes :

$\sum_{j=1}^n |x_j + y_j| \le \sum_{j=1}^n (|x_j| + |y_j|)$

Par les propriétés de la somme, on peut la séparer en deux :

$\sum_{j=1}^n (|x_j| + |y_j|) = \sum_{j=1}^n |x_j| + \sum_{j=1}^n |y_j| = \|x\|_1 + \|y\|_1.$

On a donc bien $\|x+y\|_1 \le \|x\|_1 + \|y\|_1$. L'axiome est vérifié.

Conclusion

Les trois axiomes étant satisfaits, $\| \cdot \|_1$ est une norme sur $\mathbb{R}^n$.

Soient $x, y \in \mathbb{R}^n$. L'inégalité que nous voulons prouver est $\sqrt{\sum (x_j+y_j)^2} \le \sqrt{\sum x_j^2} + \sqrt{\sum y_j^2}$.

Comme les deux membres sont positifs, cette inégalité est équivalente à l'inégalité entre leurs carrés :

$\|x+y\|_2^2 \le (\|x\|_2 + \|y\|_2)^2$.

Étape 1 : Développer $\|x+y\|_2^2$

Par définition de la norme euclidienne :

\begin{align*} \|x+y\|_2^2 &= \sum_{j=1}^n (x_j+y_j)^2 \\ &= \sum_{j=1}^n (x_j^2 + 2x_j y_j + y_j^2) \\ &= \sum_{j=1}^n x_j^2 + 2 \sum_{j=1}^n x_j y_j + \sum_{j=1}^n y_j^2 \end{align*}

Étape 2 : Reconnaître les termes

On reconnaît les carrés des normes de $x$ et $y$, ainsi que le produit scalaire usuel $\langle x, y \rangle = \sum_{j=1}^n x_j y_j$.

L'expression devient :

$\|x+y\|_2^2 = \|x\|_2^2 + 2 \langle x, y \rangle + \|y\|_2^2$.

Étape 3 : Appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz

L'inégalité de Cauchy-Schwarz nous dit que $\langle x, y \rangle \le |\langle x, y \rangle| \le \|x\|_2 \|y\|_2$.

En utilisant cette majoration dans notre expression :

$\|x+y\|_2^2 \le \|x\|_2^2 + 2 \|x\|_2 \|y\|_2 + \|y\|_2^2$

Étape 4 : Conclure

Le membre de droite est une identité remarquable :

$\|x\|_2^2 + 2 \|x\|_2 \|y\|_2 + \|y\|_2^2 = (\|x\|_2 + \|y\|_2)^2$.

Nous avons donc montré que $\|x+y\|_2^2 \le (\|x\|_2 + \|y\|_2)^2$.

Puisque la fonction racine carrée est croissante sur $\mathbb{R}_+$, on peut prendre la racine carrée des deux côtés tout en préservant l'inégalité :

$\|x+y\|_2 \le \|x\|_2 + \|y\|_2$.

Ceci prouve l'inégalité triangulaire pour la norme euclidienne.

Soit $x = (x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n$. Nous devons trouver des constantes $\alpha, \beta > 0$ indépendantes de $x$.

Partie 1 : Majoration de $\|x\|_1$ par $\|x\|_\infty$

Par définition, $\|x\|_1 = \sum_{j=1}^n |x_j| = |x_1| + |x_2| + \dots + |x_n|$.

La norme infinie est définie comme $\|x\|_\infty = \max_{1 \le k \le n} |x_k|$.

Par définition du maximum, pour n'importe quel indice $j \in \{1, \dots, n\}$, on a :

$|x_j| \le \|x\|_\infty$.

En appliquant cette majoration à chaque terme de la somme définissant $\|x\|_1$ :

$\|x\|_1 = \sum_{j=1}^n |x_j| \le \sum_{j=1}^n \|x\|_\infty$

La somme $\sum_{j=1}^n \|x\|_\infty$ est une somme de $n$ termes identiques, donc elle est égale à $n \|x\|_\infty$.

Nous avons donc montré que :

$\|x\|_1 \le n \|x\|_\infty$.

On peut choisir $\beta = n$. Cette constante est bien strictement positive.

Partie 2 : Minoration de $\|x\|_1$ par $\|x\|_\infty$

Soit $j_0 \in \{1, \dots, n\}$ un indice tel que le maximum de la norme infinie est atteint, c'est-à-dire :

$|x_{j_0}| = \max_{1 \le k \le n} |x_k| = \|x\|_\infty$.

Considérons la somme définissant la norme 1 :

$\|x\|_1 = |x_1| + |x_2| + \dots + |x_{j_0}| + \dots + |x_n|$.

Puisque tous les termes $|x_j|$ sont non-négatifs, la somme est supérieure ou égale à n'importe lequel de ses termes. En particulier, elle est supérieure ou égale à $|x_{j_0}|$.

$\|x\|_1 \ge |x_{j_0}|$.

En utilisant le fait que $|x_{j_0}| = \|x\|_\infty$, on obtient :

$\|x\|_1 \ge \|x\|_\infty$.

On peut aussi l'écrire $1 \cdot \|x\|_\infty \le \|x\|_1$.

On peut donc choisir $\alpha = 1$. Cette constante est bien strictement positive.

Conclusion

Nous avons trouvé deux constantes $\alpha=1 > 0$ et $\beta=n > 0$ telles que pour tout $x \in \mathbb{R}^n$ :

$1 \cdot \|x\|_\infty \le \|x\|_1 \le n \cdot \|x\|_\infty$.

Les normes $\| \cdot \|_1$ et $\| \cdot \|_\infty$ sont donc équivalentes sur $\mathbb{R}^n$.

Soit $(x^k)_{k \in \mathbb{N}}$ une suite de $\mathbb{R}^n$ munie d'une norme $\| \cdot \|$.

Supposons par l'absurde que la suite admette deux limites distinctes, $a \in \mathbb{R}^n$ et $b \in \mathbb{R}^n$, avec $a \neq b$.

Puisque $a \neq b$, le vecteur $a-b$ n'est pas le vecteur nul. Par l'axiome de séparation de la norme, on a $\|a-b\| > 0$.

Posons $\varepsilon = \frac{\|a-b\|}{2}$. Par construction, $\varepsilon > 0$.

Par définition de la convergence :

1. Puisque $x^k \to a$, il existe un rang $k_1 \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $k \ge k_1$, on a $\|x^k - a\| < \varepsilon$.
2. Puisque $x^k \to b$, il existe un rang $k_2 \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $k \ge k_2$, on a $\|x^k - b\| < \varepsilon$.

Soit $k_0 = \max(k_1, k_2)$. Pour tout entier $k \ge k_0$, les deux conditions sont satisfaites simultanément.

Considérons la distance $\|a-b\|$. En utilisant l'astuce d'ajouter et de soustraire $x^k$ et en appliquant l'inégalité triangulaire, nous avons pour $k \ge k_0$ :

$\|a-b\| = \|(a-x^k) + (x^k-b)\| \le \|a-x^k\| + \|x^k-b\|$

On sait que $\|a-x^k\| = \|x^k-a\|$. Donc pour $k \ge k_0$ :

$\|a-b\| \le \|x^k-a\| + \|x^k-b\| < \varepsilon + \varepsilon = 2\varepsilon$

En remplaçant $\varepsilon$ par sa valeur $\frac{\|a-b\|}{2}$, on obtient :

$\|a-b\| < 2 \left( \frac{\|a-b\|}{2} \right)$, ce qui simplifie en $\|a-b\| < \|a-b\|$.

Ceci est une contradiction stricte. L'hypothèse de départ (l'existence de deux limites distinctes) est donc fausse.

Conclusion

La limite d'une suite convergente dans $\mathbb{R}^n$ est unique.

Soit $(x^k)$ une suite de vecteurs dans $\mathbb{R}^n$ qui converge vers $a \in \mathbb{R}^n$. Cela signifie que $\lim_{k \to \infty} \|x^k - a\| = 0$ pour n'importe quelle norme sur $\mathbb{R}^n$ (puisqu'elles sont toutes équivalentes).

Nous voulons montrer que pour tout $j \in \{1, \dots, n\}$, la suite réelle $(x_j^k)$ converge vers $a_j$, c'est-à-dire $\lim_{k \to \infty} |x_j^k - a_j| = 0$.

Soit $j$ un indice de composante fixé. Considérons le vecteur $v^k = x^k - a$. Ses composantes sont $v_j^k = x_j^k - a_j$.

Nous savons que pour tout vecteur $v \in \mathbb{R}^n$, et pour toute composante $j$, on a l'inégalité suivante :

$|v_j| \le \max_{1 \le i \le n} |v_i| = \|v\|_\infty$.

Appliquons cette inégalité au vecteur $v^k = x^k - a$ :

$|x_j^k - a_j| \le \|x^k - a\|_\infty$.

Nous avons donc l'encadrement suivant pour chaque $j$ :

$0 \le |x_j^k - a_j| \le \|x^k - a\|_\infty$.

Par hypothèse, la suite de vecteurs $(x^k)$ converge vers $a$. Puisque toutes les normes sont équivalentes, la convergence est vraie pour la norme infinie. Donc :

$\lim_{k \to \infty} \|x^k - a\|_\infty = 0$.

Par le théorème des gendarmes (ou théorème d'encadrement) appliqué aux suites réelles, comme $|x_j^k - a_j|$ est encadré par $0$ et une suite qui tend vers $0$, on peut conclure que :

$\lim_{k \to \infty} |x_j^k - a_j| = 0$.

Ceci est vrai pour chaque composante $j \in \{1, \dots, n\}$. La convergence de la suite de vecteurs implique donc la convergence de chacune de ses suites de composantes.

Supposons que pour chaque $j \in \{1, \dots, n\}$, la suite réelle $(x_j^k)$ converge vers $a_j$. Cela signifie que :

$\forall j \in \{1, \dots, n\}, \quad \lim_{k \to \infty} |x_j^k - a_j| = 0$.

Nous voulons montrer que la suite de vecteurs $(x^k)$ converge vers $a$, c'est-à-dire $\lim_{k \to \infty} \|x^k - a\| = 0$. Grâce à l'équivalence de toutes les normes sur $\mathbb{R}^n$, il suffit de le démontrer pour une seule norme de notre choix. Choisissons la norme 1, $\| \cdot \|_1$, car son expression est pratique.

La norme 1 du vecteur $x^k - a$ est donnée par :

$\|x^k - a\|_1 = \sum_{j=1}^n |x_j^k - a_j|$.

Nous avons une somme de $n$ termes. Par hypothèse, pour chaque $j$, le terme $|x_j^k - a_j|$ tend vers 0 lorsque $k \to \infty$.

La limite d'une somme finie de suites convergentes est la somme de leurs limites.

Donc :

$\lim_{k \to \infty} \|x^k - a\|_1 = \lim_{k \to \infty} \sum_{j=1}^n |x_j^k - a_j|$

$= \sum_{j=1}^n \left( \lim_{k \to \infty} |x_j^k - a_j| \right)$

$= \sum_{j=1}^n 0 = 0$

Puisque $\lim_{k \to \infty} \|x^k - a\|_1 = 0$, la suite de vecteurs $(x^k)$ converge vers $a$ pour la norme 1.

Comme toutes les normes sur $\mathbb{R}^n$ sont équivalentes, la convergence pour la norme 1 implique la convergence pour n'importe quelle autre norme.

Conclusion

La convergence de toutes les suites de composantes implique la convergence de la suite de vecteurs.

Soit $(x^k)_{k \in \mathbb{N}}$ une suite de vecteurs dans $\mathbb{R}^n$ qui converge vers une limite $a \in \mathbb{R}^n$.

Par définition de la convergence, pour tout $\delta > 0$, il existe un rang $k_\delta \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $k \ge k_\delta$, on a $\|x^k - a\| < \delta$.

Nous voulons démontrer que $(x^k)$ est une suite de Cauchy. C'est-à-dire, nous devons montrer que :

$\forall \varepsilon > 0, \quad \exists k_\varepsilon \in \mathbb{N} \text{ tel que } \forall p, q \ge k_\varepsilon, \quad \|x^p - x^q\| < \varepsilon$.

Soit $\varepsilon > 0$ un réel quelconque.

Posons $\delta = \frac{\varepsilon}{2}$. Puisque $\delta > 0$, la définition de la convergence nous assure qu'il existe un rang, que nous nommerons $k_\varepsilon$, tel que pour tout indice $k \ge k_\varepsilon$ :

$\|x^k - a\| < \frac{\varepsilon}{2}$.

Maintenant, considérons deux indices quelconques $p$ et $q$ tels que $p \ge k_\varepsilon$ et $q \ge k_\varepsilon$.

Nous voulons majorer la distance $\|x^p - x^q\|$. En utilisant l'inégalité triangulaire, on a :

$\|x^p - x^q\| = \|(x^p - a) + (a - x^q)\| \le \|x^p - a\| + \|a - x^q\|$

On sait que $\|a - x^q\| = \|(-1)(x^q - a)\| = |-1|\|x^q - a\| = \|x^q - a\|$.

L'inégalité devient donc :

$\|x^p - x^q\| \le \|x^p - a\| + \|x^q - a\|$

Puisque $p \ge k_\varepsilon$ et $q \ge k_\varepsilon$, nous pouvons utiliser la propriété de convergence :

$\|x^p - a\| < \frac{\varepsilon}{2}$

$\|x^q - a\| < \frac{\varepsilon}{2}$

En substituant ces majorations dans notre inégalité, on obtient :

$\|x^p - x^q\| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$

Nous avons donc montré que pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un rang $k_\varepsilon$ tel que pour tous $p, q \ge k_\varepsilon$, on a $\|x^p - x^q\| < \varepsilon$.

Ceci est précisément la définition d'une suite de Cauchy.

Conclusion

Toute suite convergente dans $\mathbb{R}^n$ est une suite de Cauchy.

Soient $N_1, N_2, N_3$ trois normes sur $\mathbb{R}^n$.

Hypothèses :

1. $N_1$ est équivalente à $N_2$. Cela signifie qu'il existe deux constantes réelles $\alpha_1 > 0$ et $\beta_1 > 0$ telles que pour tout $x \in \mathbb{R}^n$ :

   $\alpha_1 N_2(x) \le N_1(x) \le \beta_1 N_2(x)$. (I)

2. $N_2$ est équivalente à $N_3$. Cela signifie qu'il existe deux constantes réelles $\alpha_2 > 0$ et $\beta_2 > 0$ telles que pour tout $x \in \mathbb{R}^n$ :

   $\alpha_2 N_3(x) \le N_2(x) \le \beta_2 N_3(x)$. (II)

Objectif :

Nous voulons prouver que $N_1$ est équivalente à $N_3$. Nous devons donc trouver des constantes $\alpha_3 > 0$ et $\beta_3 > 0$ telles que pour tout $x \in \mathbb{R}^n$ :

$\alpha_3 N_3(x) \le N_1(x) \le \beta_3 N_3(x)$.

Étape 1 : Trouver la majoration (la constante $\beta_3$)

Nous partons de l'inégalité de droite dans (I) :

$N_1(x) \le \beta_1 N_2(x)$.

Maintenant, nous utilisons l'inégalité de droite dans (II) pour majorer $N_2(x)$ :

$N_2(x) \le \beta_2 N_3(x)$.

En combinant les deux, on obtient :

$N_1(x) \le \beta_1 \left( \beta_2 N_3(x) \right) = (\beta_1 \beta_2) N_3(x)$.

Posons $\beta_3 = \beta_1 \beta_2$. Puisque $\beta_1 > 0$ et $\beta_2 > 0$, leur produit $\beta_3$ est aussi strictement positif. Nous avons donc la moitié de la preuve : $N_1(x) \le \beta_3 N_3(x)$.

Étape 2 : Trouver la minoration (la constante $\alpha_3$)

Nous partons de l'inégalité de gauche dans (I) :

$\alpha_1 N_2(x) \le N_1(x)$.

Maintenant, nous utilisons l'inégalité de gauche dans (II) pour minorer $N_2(x)$ :

$\alpha_2 N_3(x) \le N_2(x)$.

En combinant les deux, on obtient :

$N_1(x) \ge \alpha_1 N_2(x) \ge \alpha_1 \left( \alpha_2 N_3(x) \right) = (\alpha_1 \alpha_2) N_3(x)$.

Posons $\alpha_3 = \alpha_1 \alpha_2$. Puisque $\alpha_1 > 0$ et $\alpha_2 > 0$, leur produit $\alpha_3$ est aussi strictement positif. Nous avons donc l'autre moitié de la preuve : $\alpha_3 N_3(x) \le N_1(x)$.

Conclusion

Nous avons trouvé deux constantes $\alpha_3 = \alpha_1 \alpha_2 > 0$ et $\beta_3 = \beta_1 \beta_2 > 0$ telles que pour tout $x \in \mathbb{R}^n$ :

$\alpha_3 N_3(x) \le N_1(x) \le \beta_3 N_3(x)$.

Ceci prouve que $N_1$ est équivalente à $N_3$. La relation d'équivalence des normes est donc transitive.