Séries formelles - preuves (A)

Soit $S(X) = B(X) + C(X)$. Le coefficient de $X^n$ dans $S(X)$ est, par définition de l'addition :

$s_n = b_n + c_n$

Étape 1 : Coefficient du membre de gauche

Calculons le coefficient de $X^n$ dans le produit $P(X) = A(X) \cdot S(X)$.

D'après la formule du produit de Cauchy :

$[X^n]P(X) = \sum_{k=0}^n a_k s_{n-k} = \sum_{k=0}^n a_k (b_{n-k} + c_{n-k})$

Étape 2 : Utilisation de la distributivité dans l'anneau des coefficients

Puisque les coefficients proviennent d'un anneau commutatif $\mathcal{A}$, on peut distribuer $a_k$ :

$[X^n]P(X) = \sum_{k=0}^n (a_k b_{n-k} + a_k c_{n-k})$

Par linéarité de la somme finie :

$[X^n]P(X) = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} + \sum_{k=0}^n a_k c_{n-k}$

Conclusion

Le premier terme est exactement le coefficient de $X^n$ dans $A(X)B(X)$, et le second est le coefficient de $X^n$ dans $A(X)C(X)$.

Ainsi, pour tout $n$, les coefficients sont identiques. Les séries sont donc égales.

On cherche une série $B(X) = \sum b_n X^n$ telle que $A(X)B(X) = 1$.

Le produit s'écrit $\sum_{n \ge 0} c_n X^n = 1$, où $c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}$.

Étape 1 : Sens direct ($\Rightarrow$)

Si $A(X)$ est inversible, il existe $B(X)$ tel que $A(X)B(X) = 1$.

En identifiant les termes constants (coefficient de $X^0$) de cette égalité :

$c_0 = a_0 b_0 = 1$

Ceci implique directement que $a_0$ est inversible dans $\mathcal{A}$ et que $b_0 = a_0^{-1}$.

Étape 2 : Sens indirect ($\Leftarrow$)

Supposons $a_0$ inversible. Nous devons construire la suite $(b_n)$ des coefficients de $B(X)$.

L'équation $A(X)B(X)=1$ impose :

1. Pour $n=0$ : $a_0 b_0 = 1 \implies b_0 = a_0^{-1}$ (possible car $a_0$ inversible).
2. Pour $n \ge 1$ : le coefficient de $X^n$ dans le produit doit être nul.

$\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} = 0$

Isolons le terme contenant $b_n$ (qui correspond à $k=0$) :

$a_0 b_n + \sum_{k=1}^n a_k b_{n-k} = 0$

$a_0 b_n = - \sum_{k=1}^n a_k b_{n-k}$

Comme $a_0$ est inversible, on peut multiplier par $a_0^{-1}$ :

$b_n = - a_0^{-1} \sum_{k=1}^n a_k b_{n-k}$

Conclusion

La formule de récurrence permet de calculer $b_n$ de manière unique pour tout $n$ en fonction des termes précédents $b_0, \dots, b_{n-1}$. La série $B(X)$ existe donc bien.

Supposons que $B(X)$ et $C(X)$ soient deux inverses de $A(X)$. Par définition (et commutativité) :

$B(X)A(X) = 1 \quad \text{et} \quad A(X)C(X) = 1$

Étape 1 : Calcul associatif

Considérons le produit $B(X)A(X)C(X)$.

En groupant les premiers termes :

$(B(X)A(X))C(X) = 1 \cdot C(X) = C(X)$

Étape 2 : Autre groupement

En groupant les derniers termes :

$B(X)(A(X)C(X)) = B(X) \cdot 1 = B(X)$

Conclusion

Puisque l'anneau $\mathcal{A}[[X]]$ est associatif, $(BA)C = B(AC)$.

On en déduit donc que $C(X) = B(X)$. L'inverse est unique.

Soit $S(X) = \sum_{n \ge 0} X^n$. Nous voulons calculer $P(X) = (1-X)S(X)$.

Étape 1 : Distribution

$P(X) = 1 \cdot S(X) - X \cdot S(X) = \sum_{n \ge 0} X^n - \sum_{n \ge 0} X^{n+1}$

Étape 2 : Changement d'indice

Dans la deuxième somme, posons $k = n+1$. Quand $n=0$, $k=1$.

$\sum_{n \ge 0} X^{n+1} = \sum_{k \ge 1} X^k$

Nous pouvons donc écrire $P(X)$ comme :

$P(X) = (1 + X + X^2 + \dots) - (X + X^2 + X^3 + \dots)$

Ou formellement :

$P(X) = 1 + \sum_{n \ge 1} X^n - \sum_{k \ge 1} X^k$

Conclusion

Les deux sommes infinies $\sum_{n \ge 1} X^n$ s'annulent exactement.

Il ne reste que le terme constant :

$P(X) = 1$

La série $\sum_{n \ge 0} X^n$ est bien l'inverse de $1-X$.

La dérivation est une opération linéaire. Il suffit de prouver la formule pour $A(X) = X^m$ et $B(X) = X^p$ avec $m, p \in \mathbb{N}$.

Étape 1 : Calcul du membre de gauche

Le produit est $A(X)B(X) = X^m \cdot X^p = X^{m+p}$.

La dérivée est :

$(X^{m+p})' = (m+p) X^{m+p-1}$

Étape 2 : Calcul du membre de droite

On sait que $(X^k)' = kX^{k-1}$.

$A'(X)B(X) + A(X)B'(X) = (mX^{m-1})X^p + X^m(pX^{p-1})$

En utilisant les règles de puissances :

$= m X^{m-1+p} + p X^{m+p-1}$

$= m X^{m+p-1} + p X^{m+p-1}$

$= (m+p) X^{m+p-1}$

Conclusion

L'égalité est vérifiée pour les monômes.

Pour des séries générales $A = \sum a_m X^m$ et $B = \sum b_p X^p$, le coefficient de $X^k$ dans $(AB)'$ dépend linéairement des coefficients de $A$ et $B$. Comme l'égalité tient terme à terme, elle tient pour les séries entières par linéarité.

Soit $B(X) = A(X)^{-1}$. On a donc l'identité :

$A(X)B(X) = 1$

Étape 1 : Dérivation de l'équation

Dérivons les deux membres par rapport à $X$.

La dérivée de la constante $1$ est $0$.

Pour le membre de gauche, on utilise la règle du produit $(UV)' = U'V + UV'$ :

$A'(X)B(X) + A(X)B'(X) = 0$

Étape 2 : Isolation de $B'(X)$

Nous voulons trouver $B'(X)$ (qui est $(A^{-1})'$).

$A(X)B'(X) = - A'(X)B(X)$

Puisque $A(X)$ est inversible, on multiplie par $A(X)^{-1}$ (c'est-à-dire $B(X)$) :

$B'(X) = - A(X)^{-1} A'(X) B(X)$

Conclusion

Comme la multiplication est commutative et $B(X) = A(X)^{-1}$ :

$B'(X) = - A(X)^{-1} B(X) A'(X) = - (A(X)^{-1})^2 A'(X)$

Ce qui correspond à la formule $-A^{-2}A'$.

Étape 1 : Écriture de la définition

Appliquons la définition avec $r = -m$ :

$\binom{-m}{k} = \frac{(-m)(-m-1)(-m-2)\cdots(-m-k+1)}{k!}$

Étape 2 : Factorisation des signes

Il y a $k$ facteurs au numérateur. Chaque facteur est de la forme $-(m+j)$.

On peut sortir $-1$ de chacun des $k$ facteurs :

$\binom{-m}{k} = \frac{(-1)^k \cdot m(m+1)(m+2)\cdots(m+k-1)}{k!}$

Étape 3 : Réarrangement

Le produit $m(m+1)\cdots(m+k-1)$ peut être lu à l'envers : $(m+k-1)(m+k-2)\cdots(m)$.

C'est le produit de $k$ entiers consécutifs décroissants partant de $m+k-1$.

Cela correspond exactement au numérateur de $\binom{n}{k}$ où $n = m+k-1$.

$\frac{(m+k-1)(m+k-2)\cdots m}{k!} = \binom{m+k-1}{k}$

Conclusion

En combinant les résultats :

$\binom{-m}{k} = (-1)^k \binom{m+k-1}{k}$

On sait que $\frac{1}{1-X} = \sum_{n \ge 0} 1 \cdot X^n$.

Posons $A(X) = \sum_{n \ge 0} a_n X^n$ avec $a_n = 1$ pour tout $n$.

On cherche $A(X)^2$.

Étape 1 : Formule du produit de Cauchy

Le coefficient $c_n$ de $X^n$ dans $A(X)A(X)$ est :

$c_n = \sum_{k=0}^n a_k a_{n-k}$

Étape 2 : Évaluation de la somme

Puisque $a_i = 1$ pour tout $i \ge 0$ :

$c_n = \sum_{k=0}^n 1 \cdot 1 = \sum_{k=0}^n 1$

Cette somme comporte $n+1$ termes (de $k=0$ à $k=n$), chacun valant 1.

$c_n = n + 1$

Conclusion

Ainsi,

$\frac{1}{(1-X)^2} = \sum_{n \ge 0} (n+1) X^n = 1 + 2X + 3X^2 + \dots$

Soit $U(X) = \sum_{n \ge 0} u_n X^n$.

Étape 1 : Équation fonctionnelle

La récurrence est $u_n = \lambda u_{n-1}$ pour $n \ge 1$.

Multiplions par $X^n$ et sommons de $n=1$ à $+\infty$ :

$\sum_{n=1}^\infty u_n X^n = \lambda \sum_{n=1}^\infty u_{n-1} X^n$

Le membre de gauche est $U(X) - u_0$.

Le membre de droite peut être réécrit en sortant un $X$ :

$\lambda X \sum_{n=1}^\infty u_{n-1} X^{n-1} = \lambda X \sum_{k=0}^\infty u_k X^k = \lambda X U(X)$

Donc :

$U(X) - u_0 = \lambda X U(X)$

Étape 2 : Résolution pour $U(X)$

$U(X) (1 - \lambda X) = u_0$

Comme $u_0 = A$ :

$U(X) = \frac{A}{1 - \lambda X}$

Étape 3 : Développement en série

On reconnait la forme de la série géométrique $\frac{1}{1-Y} = \sum Y^n$ avec $Y = \lambda X$.

$U(X) = A \sum_{n \ge 0} (\lambda X)^n = \sum_{n \ge 0} (A \lambda^n) X^n$

Conclusion

En identifiant les coefficients de $X^n$, on retrouve bien $u_n = A \lambda^n$.

Étape 1 : Sommation de la récurrence

Pour $n \ge 2$, on a $f_n = f_{n-1} + f_{n-2}$. Multiplions par $X^n$ et sommons :

$\sum_{n=2}^\infty f_n X^n = \sum_{n=2}^\infty f_{n-1} X^n + \sum_{n=2}^\infty f_{n-2} X^n$

Étape 2 : Expression en fonction de $F(X)$

• Membre de gauche : $\sum_{n=2}^\infty f_n X^n = F(X) - f_0 - f_1 X$.
• Premier terme de droite : $\sum_{n=2}^\infty f_{n-1} X^n = X \sum_{n=2}^\infty f_{n-1} X^{n-1} = X (F(X) - f_0)$.
• Second terme de droite : $\sum_{n=2}^\infty f_{n-2} X^n = X^2 \sum_{n=2}^\infty f_{n-2} X^{n-2} = X^2 F(X)$.

Étape 3 : Résolution algébrique

En remplaçant les valeurs initiales $f_0=0$ et $f_1=1$ :

$F(X) - X = X F(X) + X^2 F(X)$

Regroupons les termes en $F(X)$ :

$F(X) - X F(X) - X^2 F(X) = X$

$F(X) (1 - X - X^2) = X$

Conclusion

$F(X) = \frac{X}{1 - X - X^2}$