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Séries formelles - fiches de révision (A)

Qu'est-ce qu'une série formelle ?

Solution

Une série formelle est une expression de la forme d'une somme infinie, représentant une suite de coefficients $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ :

A(X) = \sum_{n \ge 0} a_n X^n = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \cdots

Points clés :

$X$ est une variable purement symbolique (un "marque-page" pour la position).
On ne remplace jamais $X$ par une valeur ; on ne se soucie pas de la convergence.
L'ensemble des séries formelles à coefficients dans $\mathcal{A}$ est noté $\mathcal{A}[[X]]$ .

Différence avec un polynôme : Une série peut avoir une infinité de coefficients non nuls, alors qu'un polynôme n'en a qu'un nombre fini.

Quelle est la formule du produit de Cauchy de deux séries formelles ?

Solution

Le produit de $A(X) = \sum a_n X^n$ et $B(X) = \sum b_n X^n$ est la série $C(X) = \sum c_n X^n$ où :

c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} = a_0 b_n + a_1 b_{n-1} + \cdots + a_n b_0

Explication :

Le coefficient $c_n$ rassemble toutes les combinaisons possibles pour obtenir une puissance totale de $X^n$ en multipliant un terme de $A$ par un terme de $B$ (convolution).

Exemple :

Si $A(X)=1+X$ et $B(X)=1+X$ , le coefficient de $X^1$ est $1\cdot1 + 1\cdot1 = 2$ .

Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour qu'une série formelle soit inversible ?

Solution

Une série formelle $A(X) = \sum_{n \ge 0} a_n X^n$ admet un inverse multiplicatif $A(X)^{-1}$ si et seulement si :

\text{Son terme constant } a_0 \text{ est inversible dans l'anneau des coefficients } \mathcal{A}.

Si les coefficients sont dans un corps (comme $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ), cela signifie simplement que $a_0 \neq 0$ .

Exemples :

$1 - X$ est inversible (terme constant $1 \neq 0$ ).
$X + X^2$ n'est pas inversible (terme constant $0$ ).

Quelle est la formule de l'inverse de la série géométrique (Inverse fondamental) ?

Solution

L'inverse de $(1-X)$ est la somme de toutes les puissances de $X$ :

\frac{1}{1 - X} = \sum_{n \ge 0} X^n = 1 + X + X^2 + X^3 + \cdots

Généralisation :

Pour tout scalaire $\alpha$ :

\frac{1}{1 - \alpha X} = \sum_{n \ge 0} \alpha^n X^n

Cette formule est essentielle pour développer des fractions rationnelles en séries.

Comment définit-on la dérivée formelle d'une série ?

Solution

Pour une série $A(X) = \sum_{n \ge 0} a_n X^n$ , la dérivée formelle est définie algébriquement par :

A'(X) = \sum_{n \ge 1} n a_n X^{n-1} = 1a_1 + 2a_2 X + 3a_3 X^2 + \cdots

Propriétés :

Elle suit les mêmes règles que la dérivée en analyse (linéarité, règle du produit, règle de la chaîne), mais sans notion de limite.

Exemple :

(e^X)' = \left(\sum \frac{X^n}{n!}\right)' = \sum \frac{n X^{n-1}}{n!} = \sum \frac{X^{n-1}}{(n-1)!} = e^X

Quelle est la condition pour pouvoir effectuer la composition $A(B(X))$ de deux séries ?

Solution

Pour composer $A(X)$ avec $B(X)$ (c'est-à-dire calculer $A(B(X))$ ), il faut impérativement que :

\text{Le terme constant de } B(X) \text{ soit nul } (b_0 = 0).

Pourquoi ?

Si $b_0 \neq 0$ , le calcul du terme constant de la composée impliquerait une somme infinie ( $a_0 + a_1 b_0 + a_2 b_0^2 + \dots$ ), ce qui n'est pas défini dans l'anneau des séries formelles.

Quelle est la formule du coefficient binomial généralisé $\binom{r}{k}$ ?

Solution

Pour un réel $r$ quelconque et un entier $k \ge 0$ :

\binom{r}{k} = \frac{r(r-1)(r-2)\cdots(r-k+1)}{k!}

Si $k=0$ , $\binom{r}{0} = 1$ .

Usage :

Cette définition permet de calculer des coefficients binomiaux même quand $r$ est négatif ou fractionnaire.

Exemple pour $r=-1$ :

\binom{-1}{k} = \frac{-1(-2)\cdots(-k)}{k!} = (-1)^k

Quelle est la formule du Binôme Généralisé pour un exposant entier négatif $(1-X)^{-m}$ ?

Solution

Pour un entier $m \ge 1$ :

(1-X)^{-m} = \frac{1}{(1-X)^m} = \sum_{n \ge 0} \binom{n+m-1}{n} X^n

Interprétation combinatoire :

Le coefficient $\binom{n+m-1}{n}$ correspond au nombre de façons de choisir $n$ objets parmi $m$ types avec répétition (multiensembles).

Exemple ( $m=2$ ) :

\frac{1}{(1-X)^2} = \sum_{n \ge 0} (n+1) X^n

Comment résoudre une récurrence linéaire à l'aide des séries génératrices ?

Solution

Étapes :

Série génératrice : Poser $A(X) = \sum_{n \ge 0} a_n X^n$ .
Équation fonctionnelle : Utiliser la relation de récurrence pour trouver une équation liant $A(X)$ (souvent en multipliant par $X^n$ et en sommant). Insérer les conditions initiales.
Résolution algébrique : Isoler $A(X)$ pour obtenir une fraction rationnelle $\frac{P(X)}{Q(X)}$ .
Développement : Utiliser la décomposition en éléments simples et le développement en série (type binôme négatif) pour trouver le coefficient de $X^n$ , qui est la formule explicite de $a_n$ .

Comment extraire le coefficient de $X^n$ de la série $A(X) = \frac{1}{1-2X}$ ?

Solution

On utilise la série géométrique $\frac{1}{1-U} = \sum U^n$ avec $U = 2X$ .

Calcul :

A(X) = \frac{1}{1-(2X)} = \sum_{n \ge 0} (2X)^n = \sum_{n \ge 0} 2^n X^n

Résultat :

Le coefficient de $X^n$ , noté $[X^n]A(X)$ , est $2^n$ .

Si c'était une suite récurrente, on aurait $a_n = 2^n$ .

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