Groupes d'isométries - fiches de révision (B)

Soit $f \in \mathcal{L}(E)$. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. $f$ préserve la norme : $\forall x \in E, \|f(x)\| = \|x\|$.
2. $f$ préserve le produit scalaire (hermitien) : $\forall x, y \in E, \varphi(f(x), f(y)) = \varphi(x, y)$.
3. $f$ est un automorphisme tel que $f^{-1} = f^*$.

Démonstration :

$(1) \implies (2)$ :

Cette implication repose sur les identités de polarisation.

• Cas euclidien ($\mathbb{R}$) :

  $\varphi(x,y) = \frac{1}{4}(\|x+y\|^2 - \|x-y\|^2)$.

  Puisque $f$ est linéaire et préserve la norme, $\|f(u)\| = \|u\|$ pour tout $u \in E$.

  $\varphi(f(x), f(y)) = \frac{1}{4}(\|f(x)+f(y)\|^2 - \|f(x)-f(y)\|^2)$

  $= \frac{1}{4}(\|f(x+y)\|^2 - \|f(x-y)\|^2) = \frac{1}{4}(\|x+y\|^2 - \|x-y\|^2) = \varphi(x,y)$.

• Cas hermitien ($\mathbb{C}$) :

  On utilise l'identité de polarisation complexe :

  $\varphi(x,y) = \frac{1}{4} \sum_{k=0}^{3} i^k \|x+i^k y\|^2$.

  Le raisonnement est identique, car la préservation de la norme s'applique à $\|x+i^k y\|$.

$(2) \implies (3)$ :

• Injectivité : Soit $x \in \ker(f)$, i.e. $f(x)=0$. Alors $\|f(x)\|^2 = \varphi(f(x), f(x)) = 0$. Par (2), $\varphi(f(x),f(x)) = \varphi(x,x) = \|x\|^2$. Donc $\|x\|^2 = 0$, ce qui implique $x=0$. Le noyau est trivial.

• Isomorphisme : En dimension finie, l'injectivité d'un endomorphisme implique sa surjectivité (théorème du rang), donc $f$ est un isomorphisme.

• $f^{-1} = f^*$ : Par définition de l'adjoint $f^*$, on a $\forall x, y \in E, \varphi(f(x),y) = \varphi(x, f^*(y))$.

  En utilisant (2), on a $\varphi(f(x),f(y)) = \varphi(x,y)$. En comparant avec la définition de l'adjoint, $\varphi(f(x),f(y)) = \varphi(x, f^*f(y))$.

  On en déduit $\varphi(x,y) = \varphi(x, f^*f(y))$, soit $\varphi(x, (f^*f - \text{Id})(y)) = 0$ pour tous $x, y \in E$. Le produit scalaire étant non-dégénéré, cela implique $(f^*f - \text{Id})(y) = 0$ pour tout $y$, donc $f^*f = \text{Id}$. Puisque $f$ est inversible, on a $f^* = f^{-1}$.

$(3) \implies (1)$ :

On suppose $f^*f = \text{Id}$.

$\|f(x)\|^2 = \varphi(f(x), f(x)) = \varphi(x, f^*f(x)) = \varphi(x, \text{Id}(x)) = \varphi(x,x) = \|x\|^2$.

Donc $\|f(x)\| = \|x\|$.

Soit $f$ une isométrie sur $E$. On a montré que $f^*f = \text{Id}$.

Soit $\mathcal{B}$ une base orthonormée de $E$. Soit $M$ la matrice de $f$ dans la base $\mathcal{B}$.

La matrice de l'endomorphisme adjoint $f^*$ dans la base $\mathcal{B}$ est la matrice adjointe de $M$, notée $M^*$.

• Dans le cas réel (espace euclidien), $M^* = {}^tM$.
• Dans le cas complexe (espace hermitien), $M^* = {}^t\overline{M}$.

La relation $f^*f = \text{Id}$ se traduit matriciellement par $M^*M = I$, où $I$ est la matrice identité.

En appliquant le déterminant à cette équation matricielle, on obtient :

$\det(M^*M) = \det(I)$

$\det(M^*)\det(M) = 1$

On sait que $\det({}^tA) = \det(A)$ et $\det(\overline{A}) = \overline{\det(A)}$. Donc, $\det(M^*) = \overline{\det(M)}$.

L'équation devient :

$\overline{\det(M)}\det(M) = 1$

Par définition du module d'un nombre complexe $z$, on a $|z|^2 = \bar{z}z$.

Ainsi, $|\det(M)|^2 = 1$.

Puisque le module est un nombre réel positif, on en conclut que $|\det(M)| = 1$.

Le déterminant d'un endomorphisme ne dépendant pas de la base choisie, on a bien $|\det(f)|=1$.

Théorème : Le groupe spécial orthogonal $SO_n(\mathbb{R})$ est un sous-groupe distingué (ou normal) du groupe orthogonal $O_n(\mathbb{R})$. Le groupe quotient $O_n(\mathbb{R}) / SO_n(\mathbb{R})$ est isomorphe au groupe multiplicatif $\{-1, 1\}$, et donc à $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.

Justification :

Pour démontrer qu'un sous-groupe $H$ d'un groupe $G$ est distingué, il suffit de montrer que $H$ est le noyau d'un morphisme de groupes de $G$ vers un autre groupe.

Considérons l'application déterminant :

$\det : O_n(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^*$

1. C'est un morphisme de groupes :

   Pour tous $M, N \in O_n(\mathbb{R})$, $\det(MN) = \det(M)\det(N)$. La structure de groupe est donc transportée.

2. L'image est $\{-1, 1\}$ :

   Pour toute matrice $M \in O_n(\mathbb{R})$, on a $|\det(M)|=1$. Comme le déterminant est réel, $\det(M)$ ne peut valoir que $1$ ou $-1$. L'image du morphisme est donc contenue dans $\{-1, 1\}$.

   De plus, ce morphisme est surjectif car $I_n \in O_n(\mathbb{R})$ a pour déterminant 1, et la matrice d'une réflexion hyperplane (par exemple, $\text{diag}(-1, 1, ..., 1)$) est dans $O_n(\mathbb{R})$ et a pour déterminant -1.

3. Le noyau est $SO_n(\mathbb{R})$ :

   Par définition, le noyau d'un morphisme de groupes $\phi: G \to G'$ est l'ensemble $\{g \in G \mid \phi(g) = e_{G'}\}$, où $e_{G'}$ est l'élément neutre du groupe d'arrivée.

   Ici, le groupe d'arrivée est $(\{-1, 1\}, \times)$, dont l'élément neutre est $1$.

   Le noyau de $\det$ est donc :

   $\ker(\det) = \{ M \in O_n(\mathbb{R}) \mid \det(M) = 1 \}$

   Ceci est précisément la définition de $SO_n(\mathbb{R})$.

Puisque $SO_n(\mathbb{R})$ est le noyau d'un morphisme de groupes défini sur $O_n(\mathbb{R})$, c'est un sous-groupe distingué de $O_n(\mathbb{R})$.

Groupe quotient :

D'après le premier théorème d'isomorphisme pour les groupes, si $\phi: G \to G'$ est un morphisme surjectif, alors $G/\ker(\phi) \cong G'$.

En appliquant ce théorème ici, on obtient :

$O_n(\mathbb{R}) / SO_n(\mathbb{R}) \cong \{-1, 1\}$.

Les deux classes d'équivalence de ce quotient sont :

• La classe de l'identité : $SO_n(\mathbb{R})$, l'ensemble des isométries directes (déterminant 1).
• L'autre classe : $O_n(\mathbb{R}) \setminus SO_n(\mathbb{R})$, l'ensemble des isométries indirectes (déterminant -1).

Soit $f \in SO(E)$ où $E$ est un espace vectoriel euclidien de dimension 3. On veut montrer que $f$ admet 1 comme valeur propre. L'espace propre associé, de dimension au moins 1, sera l'axe de rotation.

Soit $M \in SO_3(\mathbb{R})$ la matrice de $f$ dans une base orthonormée. Le polynôme caractéristique de $M$, noté $\chi_M(\lambda) = \det(M-\lambda I_3)$, est un polynôme de degré 3 à coefficients réels.

1. Existence d'une valeur propre réelle :

   En tant que polynôme de degré impair à coefficients réels, $\chi_M(\lambda)$ admet au moins une racine réelle. En effet, $\lim_{\lambda \to +\infty} \chi_M(\lambda) = -\infty$ et $\lim_{\lambda \to -\infty} \chi_M(\lambda) = +\infty$. Par le théorème des valeurs intermédiaires, le polynôme doit s'annuler au moins une fois.

2. Nature des valeurs propres d'une isométrie :

   Soit $\lambda$ une valeur propre (réelle ou complexe) de $f$, et $v$ un vecteur propre associé dans $E \otimes \mathbb{C}$. On a $f(v)=\lambda v$.

   Comme $f$ est une isométrie, $\|f(v)\| = \|v\|$.

   $\|f(v)\| = \|\lambda v\| = |\lambda|\|v\|$.

   Puisque $v \neq 0$, on a $\|v\| \neq 0$, donc $|\lambda|=1$.

   Les valeurs propres réelles d'une isométrie ne peuvent donc être que $1$ ou $-1$.

3. Analyse des valeurs propres :

   Les racines de $\chi_M(\lambda)$ dans $\mathbb{C}$ sont de module 1. Le déterminant de $M$ est le produit de ses valeurs propres (comptées avec multiplicité), et $\det(M)=1$ car $M \in SO_3(\mathbb{R})$.

   • Cas 1 : Toutes les valeurs propres sont réelles. Elles sont dans $\{-1, 1\}$. Leur produit doit être 1. Les possibilités pour le triplet de valeurs propres $(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)$ sont $(1, 1, 1)$ ou $(1, -1, -1)$. Dans les deux cas, 1 est une valeur propre. Le cas $(1,1,1)$ correspond à l'identité.

   • Cas 2 : Une seule valeur propre est réelle. Soit $\lambda_1$ cette valeur propre réelle. Comme les coefficients de $\chi_M$ sont réels, les deux autres valeurs propres doivent être des complexes conjugués, de la forme $e^{i\theta}$ et $e^{-i\theta}$ avec $\sin\theta \neq 0$.

   Le déterminant est le produit des valeurs propres : $\det(M) = \lambda_1 \cdot e^{i\theta} \cdot e^{-i\theta} = \lambda_1 \cdot 1 = \lambda_1$.

   Puisque $\det(M)=1$, on a $\lambda_1 = 1$.

Dans tous les cas, 1 est une valeur propre de $f$.

Conclusion :

L'espace propre $E_1 = \ker(f-\text{Id})$ est non trivial. C'est une droite vectorielle (si $f \neq \text{Id}$ et les valeurs propres complexes ne sont pas 1) ou un plan (cas de la réflexion) ou l'espace entier (cas de l'identité). Dans le cas d'une rotation non triviale, $E_1$ est une droite, qui est l'axe de rotation. Les vecteurs de cet axe sont invariants par $f$.

1. Nature de l'isométrie :

On calcule le déterminant de $M$.

$\det(M) = (\frac{1}{3})^3 \det \begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & -1 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{27} [2(4 - (-2)) - (-1)(4-1) + 2(4 - (-2))]$

$= \frac{1}{27} [2(6) + 3 + 2(6)] = \frac{1}{27} [12 + 3 + 12] = \frac{27}{27} = 1$.

Puisque $\det(M)=1$, il s'agit d'une isométrie directe, donc une rotation (ou l'identité). Comme $M \neq I_3$, c'est une rotation.

2. Axe de la rotation :

L'axe est l'ensemble des vecteurs invariants, c'est-à-dire l'espace propre associé à la valeur propre 1. On résout l'équation $MU=U$, soit $(M-I_3)U=0$.

$M-I_3 = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & -1 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} -1 & -1 & 2 \\ 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \end{pmatrix}$.

On résout le système :

$\begin{cases} -x - y + 2z = 0 \\ 2x - y - z = 0 \\ -x + 2y - z = 0 \end{cases}$

De la première équation, $y = 2z - x$. En substituant dans la deuxième : $2x - (2z-x) - z = 0 \implies 3x - 3z = 0 \implies x=z$.

En reportant dans l'expression de $y$, on a $y=2z-z=z$.

La solution est donc de la forme $(x,x,x)$.

L'axe de rotation est la droite vectorielle dirigée par le vecteur $N=(1,1,1)$. On peut le choisir unitaire : $n = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)$.

3. Angle de la rotation :

La trace d'une matrice de rotation est liée à son angle $\theta$ par la formule $\text{Tr}(M) = 1 + 2\cos\theta$.

$\text{Tr}(M) = \frac{1}{3}(2+2+2) = \frac{6}{3} = 2$.

Donc, $1+2\cos\theta = 2 \implies 2\cos\theta = 1 \implies \cos\theta = 1/2$.

L'angle est donc $\theta = \pm \frac{\pi}{3} \pmod{2\pi}$.

Pour déterminer le signe de l'angle, on choisit un vecteur $U$ non colinéaire à l'axe, par exemple $U=(1,0,0)$, et on calcule son image $M(U) = \frac{1}{3}(2,2,-1)$.

On calcule ensuite le produit vectoriel $n \wedge U = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1) \wedge (1,0,0) = \frac{1}{\sqrt{3}}(0,1,-1)$.

Le signe de l'angle (orienté par l'axe $n$) est le signe du produit mixte $\det(U, M(U), n)$.

$\det(U, M(U), n) = \begin{vmatrix} 1 & 2/3 & 1/\sqrt{3} \\ 0 & 2/3 & 1/\sqrt{3} \\ 0 & -1/3 & 1/\sqrt{3} \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( \frac{2}{3}\frac{1}{\sqrt{3}} - (-\frac{1}{3})\frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{3}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} > 0$.

Le signe de $\sin\theta$ est positif. Donc $\theta = +\frac{\pi}{3}$.

Conclusion : L'isométrie est une rotation d'angle $\pi/3$ autour de l'axe dirigé par $(1,1,1)$.

Le produit vectoriel $u \wedge v$ est une opération spécifique à la dimension 3 qui peut être généralisée et mieux comprise dans le cadre de l'algèbre extérieure.

1. Algèbre Extérieure et Bivecteurs :

   Dans un espace vectoriel $E$ de dimension $n$, l'algèbre extérieure $\Lambda(E)$ est une algèbre graduée dont les éléments de grade $k$ (les $k$-vecteurs) représentent des "volumes" orientés de dimension $k$.

   Un bivecteur (ou 2-vecteur) est un élément de $\Lambda^2(E)$ de la forme $u \wedge v$ (le produit extérieur, à ne pas confondre avec le produit vectoriel). Ce bivecteur représente le parallélogramme orienté défini par les vecteurs $u$ et $v$. Il possède une aire (la norme du bivecteur) et une orientation (le plan et le sens de parcours $u \to v$).

2. Le cas de $\mathbb{R}^3$ :

   Dans $\mathbb{R}^3$, l'espace des bivecteurs $\Lambda^2(\mathbb{R}^3)$ est de dimension $\binom{3}{2}=3$. Il est donc isomorphe à $\mathbb{R}^3$. Cette coïncidence de dimension est la raison pour laquelle on peut identifier un bivecteur (un plan orienté) à un vecteur (son vecteur normal).

3. Dualité de Hodge :

   Pour un espace euclidien orienté $E$ de dimension $n$, l'opérateur étoile de Hodge $\star$ est un isomorphisme linéaire entre les espaces $\Lambda^k(E)$ et $\Lambda^{n-k}(E)$.

   Dans le cas de $E=\mathbb{R}^3$ ($n=3$), l'opérateur étoile de Hodge est un isomorphisme $\star: \Lambda^2(\mathbb{R}^3) \to \Lambda^1(\mathbb{R}^3) \cong \mathbb{R}^3$.

   Il associe à un bivecteur $u \wedge v$ l'unique vecteur $\star(u \wedge v)$ tel que pour tout $w \in \mathbb{R}^3$:

   $(u \wedge v) \wedge w = \langle \star(u \wedge v), w \rangle \mathbf{e}$

   où $\mathbf{e} = e_1 \wedge e_2 \wedge e_3$ est le pseudo-scalaire de volume unité et le produit scalaire est identifié à une contraction. L'expression de gauche est le déterminant $\det(u,v,w)$ multiplié par $\mathbf{e}$.

4. Lien avec le produit vectoriel :

   La définition du produit vectoriel $u \times v$ est : l'unique vecteur tel que $\forall w \in \mathbb{R}^3, \det(u,v,w) = \langle u \times v, w \rangle$.

   En comparant avec la définition de l'opérateur de Hodge, on voit que :

   $u \times v = \star(u \wedge v)$

   Le produit vectoriel est donc la composition de deux opérations plus fondamentales :

   a. Le produit extérieur $u \wedge v$, qui crée un bivecteur (un objet géométrique représentant un plan orienté).

   b. L'opérateur étoile de Hodge $\star$, qui transforme ce bivecteur en son vecteur dual (le vecteur normal orthogonal).

Cette perspective explique pourquoi le produit vectoriel n'existe sous cette forme (vecteur $\to$ vecteur) qu'en dimension 3 (et 7, pour des raisons plus profondes liées aux octonions), tandis que le produit extérieur est défini en toute dimension.

La formule de Rodrigues exprime $\mathcal{R}_{N,\theta}(U)$ en fonction de $U$, $N$ et $\theta$ :

$\mathcal{R}_{N,\theta}(U) = \cos(\theta)U + (1-\cos(\theta))\langle U,N \rangle N + \sin(\theta) (N \wedge U)$

Démonstration :

La méthode consiste à décomposer le vecteur $U$ en une composante parallèle à l'axe de rotation $N$ et une composante orthogonale.

1. Décomposition orthogonale de $U$ :

   Soit $U_\parallel$ la projection orthogonale de $U$ sur l'axe $\text{Vect}(N)$, et $U_\perp$ la projection sur le plan orthogonal $N^\perp$.

   $U = U_\parallel + U_\perp$

   On a $U_\parallel = \langle U,N \rangle N$ et $U_\perp = U - U_\parallel = U - \langle U,N \rangle N$.

2. Action de la rotation sur chaque composante :

   • La composante parallèle à l'axe est invariante par la rotation : $\mathcal{R}(U_\parallel) = U_\parallel$.
   • La composante orthogonale $U_\perp$ est contenue dans le plan $N^\perp$. La rotation $\mathcal{R}$ agit comme une rotation plane d'angle $\theta$ dans ce plan.

3. Rotation de $U_\perp$ dans le plan $N^\perp$ :

   Le plan $N^\perp$ est orienté par le vecteur normal $N$. Dans ce plan, une base directe (mais pas nécessairement normée) peut être formée par $(U_\perp, N \wedge U_\perp)$.

   Notons que $N \wedge U_\perp = N \wedge (U - \langle U,N \rangle N) = N \wedge U - \langle U,N \rangle (N \wedge N) = N \wedge U$.

   Le vecteur $N \wedge U$ est orthogonal à $U_\perp$ (et à $N$) et a la même norme que $U_\perp$ : $\|N \wedge U\| = \|N\|\|U\||\sin(\alpha)| = \|U_\perp\|$, où $\alpha$ est l'angle entre $N$ et $U$.

   L'image de $U_\perp$ par la rotation d'angle $\theta$ dans ce plan est :

   $\mathcal{R}(U_\perp) = \cos(\theta) U_\perp + \sin(\theta) \frac{N \wedge U}{\|N \wedge U\|} \|U_\perp\| = \cos(\theta) U_\perp + \sin(\theta) (N \wedge U)$

4. Recomposition du vecteur image :

   Par linéarité de $\mathcal{R}$, on a :

   $\mathcal{R}(U) = \mathcal{R}(U_\parallel) + \mathcal{R}(U_\perp)$

   $\mathcal{R}(U) = U_\parallel + \cos(\theta) U_\perp + \sin(\theta) (N \wedge U)$

   On substitue les expressions de $U_\parallel$ et $U_\perp$ :

   $\mathcal{R}(U) = \langle U,N \rangle N + \cos(\theta) (U - \langle U,N \rangle N) + \sin(\theta) (N \wedge U)$

   En regroupant les termes :

   $\mathcal{R}(U) = \cos(\theta) U + (1-\cos(\theta))\langle U,N \rangle N + \sin(\theta) (N \wedge U)$

   C.Q.F.D.

Soit $K$ la matrice antisymétrique associée au produit vectoriel par un vecteur unitaire $N$: $K(U) = N \wedge U$. La rotation $\mathcal{R}_{N,\theta}$ a pour matrice $R = e^{\theta K}$.

1. Propriétés de la matrice $K$ :

Si $N=(a,b,c)$, alors $K = \begin{pmatrix} 0 & -c & b \\ c & 0 & -a \\ -b & a & 0 \end{pmatrix}$.

On calcule $K^2$:

$K^2(U) = N \wedge (N \wedge U)$.

En utilisant la formule du double produit vectoriel ("BAC-CAB") : $A \wedge (B \wedge C) = \langle A,C \rangle B - \langle A,B \rangle C$.

$K^2(U) = \langle N,U \rangle N - \langle N,N \rangle U = \langle N,U \rangle N - \|N\|^2 U$.

Puisque $N$ est unitaire, $\|N\|^2=1$, donc $K^2(U) = \langle N,U \rangle N - U$.

Matriciellement, $K^2 = N{}^tN - I$.

On calcule $K^3$:

$K^3(U) = K(K^2(U)) = N \wedge (\langle N,U \rangle N - U) = \langle N,U \rangle (N \wedge N) - (N \wedge U) = - (N \wedge U) = -K(U)$.

Donc, $K^3 = -K$. Cette relation est caractéristique de l'algèbre de Lie $\mathfrak{so}(3)$.

Les puissances de $K$ sont cycliques : $K^4 = -K^2$, $K^5 = K$, etc.

2. Développement en série de l'exponentielle :

On utilise le développement en série de Taylor de $e^x$:

$R = e^{\theta K} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\theta K)^n}{n!} = I + \theta K + \frac{\theta^2}{2!}K^2 + \frac{\theta^3}{3!}K^3 + \frac{\theta^4}{4!}K^4 + \dots$

On sépare les termes pairs et impairs :

$e^{\theta K} = I + (\theta K + \frac{\theta^3}{3!}K^3 + \dots) + (\frac{\theta^2}{2!}K^2 + \frac{\theta^4}{4!}K^4 + \dots)$

En utilisant $K^3=-K, K^4=-K^2, K^5=K$, etc.

• Partie impaire : $K(\theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \dots) = K \sin(\theta)$

• Partie paire : $I + K^2(\frac{\theta^2}{2!} - \frac{\theta^4}{4!} + \frac{\theta^6}{6!} - \dots) = I + K^2(1 - (1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \dots)) = I - K^2(1-\cos\theta)$.

  (Attention à la manipulation du $I$, il vaut mieux factoriser $K^2$: $I + K^2(\frac{\theta^2}{2!} - \frac{\theta^4}{4!} + \dots) = I + K^2(\cos\theta - 1)$)

  En fait, la série pour le cosinus est $1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \dots$.

  La série paire est $I + K^2(\frac{\theta^2}{2!} - \frac{\theta^4}{4!} + \dots)$.

  Donc $e^{\theta K} = I + K(\theta - \frac{\theta^3}{3!} + \dots) + K^2(\frac{\theta^2}{2!} - \frac{\theta^4}{4!} + \dots) = I + K\sin\theta + K^2(1-\cos\theta)$.

3. Lien avec la formule de Rodrigues :

L'action sur un vecteur $U$ est :

$R(U) = (I + (\sin\theta)K + (1-\cos\theta)K^2)U$

$= U + \sin\theta (N \wedge U) + (1-\cos\theta)(\langle N,U \rangle N - U)$

$= U(1 - (1-\cos\theta)) + (1-\cos\theta)\langle N,U \rangle N + \sin\theta (N \wedge U)$

$= \cos\theta U + (1-\cos\theta)\langle N,U \rangle N + \sin\theta (N \wedge U)$

On retrouve exactement la formule de Rodrigues. Ceci montre que la rotation est l'exponentielle de l'opérateur de produit vectoriel, un élément de l'algèbre de Lie $\mathfrak{so}(3)$.

Théorème : Il existe un morphisme de groupes surjectif $\mathcal{J} : SU_2(\mathbb{C}) \to SO_3(\mathbb{R})$, dont le noyau est $\{\pm I_2\}$. Par conséquent, le groupe des rotations $SO_3(\mathbb{R})$ est isomorphe au groupe quotient $SU_2(\mathbb{C}) / \{\pm I_2\}$.

On dit que $SU_2(\mathbb{C})$ est un revêtement double de $SO_3(\mathbb{R})$.

Explication du morphisme :

1. L'espace d'action $\mathcal{V}$ : On identifie $\mathbb{R}^3$ à l'espace vectoriel réel $\mathcal{V}$ des matrices hermitiennes de trace nulle de taille 2x2.

   $\mathcal{V} = \{ M \in M_2(\mathbb{C}) \mid M^*=M, \text{Tr}(M)=0 \}$. C'est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension 3.

   On le munit du produit scalaire euclidien $\varphi(A,B) = \frac{1}{2}\text{Tr}(AB)$.

2. L'action de $SU_2(\mathbb{C})$ sur $\mathcal{V}$ :

   Pour toute matrice $U \in SU_2(\mathbb{C})$, on définit l'application adjointe $\text{Ad}_U : \mathcal{V} \to \mathcal{V}$ par :

   $\text{Ad}_U(M) = UMU^*$

   • L'application est bien à valeurs dans $\mathcal{V}$ :

     • $(\text{Ad}_U(M))^* = (UMU^*)^* = (U^*)^*M^*U^* = UMU^* = \text{Ad}_U(M)$. (hermitienne)
     • $\text{Tr}(\text{Ad}_U(M)) = \text{Tr}(UMU^*) = \text{Tr}(MU^*U) = \text{Tr}(MI_2) = \text{Tr}(M) = 0$. (trace nulle)

   • Cette action est une isométrie pour le produit scalaire $\varphi$ :

     $\|\text{Ad}_U(M)\|^2 = \frac{1}{2}\text{Tr}((UMU^*)^2) = \frac{1}{2}\text{Tr}(UM^2U^*) = \frac{1}{2}\text{Tr}(M^2) = \|M\|^2$.

     Ainsi, $\text{Ad}_U$ est un élément de $O(\mathcal{V}) \cong O_3(\mathbb{R})$.

3. Le morphisme $\mathcal{J}$ :

   Le morphisme est $\mathcal{J}: U \mapsto \text{Ad}_U$.

   • C'est bien un morphisme : $\mathcal{J}(UV) = \text{Ad}_{UV} = (M \mapsto (UV)M(UV)^*) = (M \mapsto U(VMV^*)U^*) = \text{Ad}_U \circ \text{Ad}_V = \mathcal{J}(U)\mathcal{J}(V)$.
   • Son image est dans $SO_3(\mathbb{R})$ : Le groupe $SU_2(\mathbb{C})$ est topologiquement une 3-sphère, donc connexe. $\mathcal{J}$ est continue. L'image $\mathcal{J}(SU_2(\mathbb{C}))$ est une partie connexe de $O_3(\mathbb{R})$. Puisque $\mathcal{J}(I_2)=\text{Id} \in SO_3(\mathbb{R})$, toute l'image est dans $SO_3(\mathbb{R})$.
   • Le morphisme est surjectif (ce qui est plus long à prouver).
   • Son noyau est $\ker(\mathcal{J}) = \{U \in SU_2(\mathbb{C}) \mid UMU^*=M, \forall M \in \mathcal{V}\}$. Cela implique que $U$ commute avec toutes les matrices de $\mathcal{V}$, et par extension avec tout $M_2(\mathbb{C})$. Par le lemme de Schur, $U$ est une matrice scalaire $\lambda I_2$. La condition $\det(U)=1$ impose $\lambda^2=1$, soit $\lambda = \pm 1$. Le noyau est donc $\{I_2, -I_2\}$.

Cette construction signifie que chaque rotation de $SO_3(\mathbb{R})$ correspond à deux éléments distincts de $SU_2(\mathbb{C})$ ($U$ et $-U$). Topologiquement, $SU_2(\mathbb{C})$ "s'enroule deux fois" sur $SO_3(\mathbb{R})$.

Soit l'espace $\mathcal{V} = \{ M \in M_2(\mathbb{C}) \mid M^*=M, \text{Tr}(M)=0 \}$ muni du produit scalaire $\varphi(A,B) = \frac{1}{2}\text{Tr}(AB)$. Soit $U \in SU_2(\mathbb{C})$. On veut prouver que l'application $\text{Ad}_U: M \mapsto UMU^*$ est une isométrie sur $(\mathcal{V}, \varphi)$.

Il suffit de montrer que $\text{Ad}_U$ préserve la norme associée, c'est-à-dire que pour tout $M \in \mathcal{V}$, on a $\| \text{Ad}_U(M) \| = \|M\|$.

La norme au carré est donnée par $\|M\|^2 = \varphi(M,M) = \frac{1}{2}\text{Tr}(M^2)$.

Calculons la norme au carré de l'image $\text{Ad}_U(M)$:

$\| \text{Ad}_U(M) \|^2 = \varphi(\text{Ad}_U(M), \text{Ad}_U(M)) = \frac{1}{2}\text{Tr}(\text{Ad}_U(M) \cdot \text{Ad}_U(M))$

Substituons la définition de $\text{Ad}_U(M)$:

$\| \text{Ad}_U(M) \|^2 = \frac{1}{2}\text{Tr}((UMU^*)(UMU^*))$

Puisque $U \in SU_2(\mathbb{C})$, on a $U^*U = I_2$.

$\| \text{Ad}_U(M) \|^2 = \frac{1}{2}\text{Tr}(UM(U^*U)MU^*)$

$= \frac{1}{2}\text{Tr}(UM(I_2)MU^*) = \frac{1}{2}\text{Tr}(UM^2U^*)$

On utilise la propriété de cyclicité de la trace: $\text{Tr}(ABC) = \text{Tr}(CAB)$.

$\text{Tr}(UM^2U^*) = \text{Tr}(U^*UM^2) = \text{Tr}(I_2M^2) = \text{Tr}(M^2)$.

Donc, on obtient:

$\| \text{Ad}_U(M) \|^2 = \frac{1}{2}\text{Tr}(M^2) = \|M\|^2$.

Comme les normes sont préservées, $\text{Ad}_U$ est une isométrie de l'espace euclidien $(\mathcal{V}, \varphi)$.

On peut aussi le montrer en préservant le produit scalaire directement via la polarisation ou un calcul similaire:

$\varphi(\text{Ad}_U(A), \text{Ad}_U(B)) = \frac{1}{2}\text{Tr}((UAU^*)(UBU^*)) = \frac{1}{2}\text{Tr}(UABU^*) = \frac{1}{2}\text{Tr}(BU^*UA) = \frac{1}{2}\text{Tr}(BA) = \frac{1}{2}\text{Tr}(AB) = \varphi(A,B)$.

La relation de revêtement double entre $SU_2(\mathbb{C})$ et $SO_3(\mathbb{R})$ n'est pas une simple curiosité mathématique ; elle est au cœur de la description quantique du moment cinétique et du spin.

1. Représentations de groupe et symétries :

   En mécanique quantique, les états d'un système sont des vecteurs dans un espace de Hilbert, et les symétries physiques (comme les rotations de l'espace) sont représentées par des opérateurs unitaires agissant sur cet espace. L'ensemble de ces opérateurs doit former une représentation du groupe de symétrie, ici $SO_3(\mathbb{R})$.

2. Le problème des représentations :

   Les représentations de $SO_3(\mathbb{R})$ décrivent comment les fonctions d'onde des particules sans spin (spin entier) se transforment sous une rotation. Par exemple, les orbitales atomiques p se transforment comme des vecteurs (représentation de dimension 3) et les orbitales s sont scalaires (représentation triviale).

   Cependant, l'expérience (comme celle de Stern-Gerlach) a montré l'existence de particules (comme l'électron) dont le moment cinétique intrinsèque, le spin, est demi-entier. Leurs fonctions d'onde ne se transforment selon aucune des représentations "classiques" de $SO_3(\mathbb{R})$.

3. L'intervention de $SU_2(\mathbb{C})$ :

   Le problème est résolu en considérant les représentations du revêtement universel de $SO_3(\mathbb{R})$, qui est $SU_2(\mathbb{C})$. Un théorème fondamental stipule que les représentations projectives d'un groupe de Lie $G$ correspondent aux représentations linéaires de son revêtement universel $\tilde{G}$.

   $SU_2(\mathbb{C})$ admet des représentations qui ne sont pas des représentations de $SO_3(\mathbb{R})$. La plus simple est la représentation fondamentale de dimension 2, où $SU_2(\mathbb{C})$ agit sur $\mathbb{C}^2$. C'est précisément l'espace d'états d'une particule de spin 1/2. Les vecteurs de $\mathbb{C}^2$ sont appelés spineurs.

4. La rotation de $2\pi$ :

   La conséquence physique la plus célèbre du revêtement double est le comportement des spineurs sous une rotation de $2\pi$.

   • Dans $SO_3(\mathbb{R})$, une rotation de $2\pi$ est l'identité. On s'attend à ce qu'un système physique revienne à son état initial.
   • Dans $SU_2(\mathbb{C})$, une rotation d'un angle $\theta$ autour d'un axe $N$ est représentée par la matrice $U = \cos(\theta/2)I - i\sin(\theta/2)(N \cdot \vec{\sigma})$, où $\vec{\sigma}$ sont les matrices de Pauli.
   • Pour une rotation de $\theta = 2\pi$, l'opérateur correspondant dans $SU_2(\mathbb{C})$ est $U = \cos(\pi)I - i\sin(\pi)(\dots) = -I_2$.
   • L'image de $-I_2$ dans $SO_3(\mathbb{R})$ est bien l'identité, mais l'opérateur agissant sur l'espace des spineurs n'est pas l'identité. Il multiplie la fonction d'onde par $-1$.
   • Un système de spin 1/2 doit donc subir une rotation de $4\pi$ pour que sa fonction d'onde revienne à son état initial (à l'identique, et pas seulement à un facteur de phase près). Ce phénomène a été vérifié expérimentalement par interférométrie neutronique.

En résumé, la structure topologique non simplement connexe de $SO_3(\mathbb{R})$ autorise l'existence de particules, les fermions, dont la nature "rotationnelle" est plus riche et ne peut être décrite que par le groupe $SU_2(\mathbb{C})$, son revêtement simplement connexe.