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Groupes d’isométries (B)

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Concept 1: Isométrie (Endomorphismes Orthogonaux et Unitaires)

Prérequis

• Espaces vectoriels euclidiens et hermitiens, produit scalaire (hermitien), norme associée.
• Endomorphismes, endomorphisme adjoint ($f^*$).
• Identités de polarisation.
• Théorème du rang.

Définition

Soit $(E, \varphi)$ un espace vectoriel euclidien (sur $\mathbb{R}$) ou hermitien (sur $\mathbb{C}$). Un endomorphisme $f \in \mathcal{L}(E)$ est une isométrie vectorielle si et seulement si $f$ préserve la norme, i.e. :

$\forall x \in E, \quad \|f(x)\| = \|x\|$

où $\| \cdot \| = \sqrt{\varphi(\cdot, \cdot)}$ est la norme induite par le produit scalaire (ou hermitien).

Dans le cas réel (euclidien), une isométrie est aussi appelée transformation orthogonale.

Dans le cas complexe (hermitien), une isométrie est aussi appelée transformation unitaire.

Propriétés Clés

• Caractérisations équivalentes : Soit $f \in \mathcal{L}(E)$. Les assertions suivantes sont équivalentes :

  1. $f$ est une isométrie (i.e. $\forall x \in E, \|f(x)\| = \|x\|$).
  2. $f$ préserve le produit scalaire (i.e. $\forall x, y \in E, \varphi(f(x), f(y)) = \varphi(x, y)$).
  3. $f$ est un automorphisme et son inverse est son adjoint (i.e. $f \in GL(E)$ et $f^{-1} = f^*$).

  Démonstration.

  $(1) \implies (2)$ : Par les identités de polarisation.

  Cas euclidien : $\varphi(x,y) = \frac{1}{4}(\|x+y\|^2 - \|x-y\|^2)$.

  Comme $\|f(u)\| = \|u\|$ pour tout $u \in E$, on a :

  $\varphi(f(x), f(y)) = \frac{1}{4}(\|f(x)+f(y)\|^2 - \|f(x)-f(y)\|^2) = \frac{1}{4}(\|f(x+y)\|^2 - \|f(x-y)\|^2) = \frac{1}{4}(\|x+y\|^2 - \|x-y\|^2) = \varphi(x,y)$.

  Le cas hermitien est analogue en utilisant la formule de polarisation complexe.

  $(2) \implies (3)$ :

  Injectivité : Soit $x \in \ker(f)$, alors $f(x)=0$. On a $\|f(x)\|^2 = \varphi(f(x), f(x)) = \varphi(x,x) = \|x\|^2$. Donc $\|x\|=0$, ce qui implique $x=0$. Ainsi $\ker(f)=\{0\}$.

  En dimension finie, le théorème du rang implique que $f$ est surjective, donc c’est un isomorphisme.

  Pour tout $x,y \in E$, on a $\varphi(f(x),f(y)) = \varphi(x,y)$. Par définition de l’adjoint, $\varphi(f(x),f(y)) = \varphi(x, f^* (f(y)))$.

  Donc $\varphi(x, f^*f(y)) = \varphi(x,y)$, soit $\varphi(x, (f^*f - \text{Id})(y)) = 0$ pour tout $x \in E$.

  Le produit scalaire étant non-dégénéré, il s’ensuit que $(f^*f - \text{Id})(y)=0$ pour tout $y \in E$, donc $f^*f = \text{Id}$. Comme $f$ est un isomorphisme, on a $f^{-1}=f^*$.

  $(3) \implies (1)$ :

  Pour tout $x \in E$, $\|f(x)\|^2 = \varphi(f(x), f(x)) = \varphi(x, f^*f(x))$.

  Puisque $f^*=f^{-1}$, on a $f^*f = \text{Id}$, d’où $\|f(x)\|^2 = \varphi(x,x) = \|x\|^2$.

• Conservation de l’orthonormalité : Un endomorphisme $f$ est une isométrie si et seulement si l’image par $f$ d’une base orthonormée de $E$ est une base orthonormée de $E$.

• Groupe des isométries : L’ensemble des isométries de $E$, noté $O(E)$ (cas euclidien) ou $U(E)$ (cas hermitien), forme un groupe pour la loi de composition $\circ$. C’est un sous-groupe de $GL(E)$.

• Déterminant : Si $f$ est une isométrie, alors $|\det(f)| = 1$.

  Démonstration. Soit $M$ la matrice de $f$ dans une base orthonormée. Alors la matrice de $f^*$ est $M^* := {}^t\overline{M}$. La condition $f^*f = \text{Id}$ se traduit par $M^*M = I$. En passant au déterminant : $\det(M^*M) = \det(M^*)\det(M) = \overline{\det(M)}\det(M) = |\det(M)|^2 = \det(I) = 1$.

Exemples

Exemple 1 : Rotation plane

Soit $E=\mathbb{R}^2$ euclidien canonique. L’endomorphisme $f$ de matrice $R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ dans la base canonique est une isométrie. Pour tout $x=(x_1, x_2)$, $f(x) = (x_1\cos\theta - x_2\sin\theta, x_1\sin\theta + x_2\cos\theta)$. Un calcul direct montre que $\|f(x)\|^2 = (x_1\cos\theta - x_2\sin\theta)^2 + (x_1\sin\theta + x_2\cos\theta)^2 = x_1^2+x_2^2 = \|x\|^2$.

Exemple 2 : Réflexion (symétrie orthogonale)

Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. La réflexion par rapport à $F$ est l’endomorphisme $s_F$ défini par $s_F(x) = x_F - x_{F^\perp}$, où $x = x_F + x_{F^\perp}$ est la décomposition orthogonale de $x$. On a $\|s_F(x)\|^2 = \|x_F - x_{F^\perp}\|^2 = \|x_F\|^2 + \|-x_{F^\perp}\|^2 = \|x_F\|^2 + \|x_{F^\perp}\|^2 = \|x\|^2$. C’est une isométrie.

Exemple 3 : Isométrie unitaire

Dans $E=\mathbb{C}^2$ hermitien canonique, l’endomorphisme $f$ de matrice $U = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & i \\ i & 1 \end{pmatrix}$ est une isométrie. On a $U^* = {}^t\overline{U} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & -i \\ -i & 1 \end{pmatrix}$. Un calcul montre $UU^* = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1-i^2 & -i+i \\ i-i & -i^2+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2$. Donc $U$ est unitaire et $f$ est une isométrie.

Contre-exemples

Contre-exemple 1 : Homothétie

L’homothétie $h_\lambda : x \mapsto \lambda x$ pour $\lambda \in \mathbb{R} \setminus \{\pm 1\}$ n’est pas une isométrie. En effet, $\|h_\lambda(x)\| = \|\lambda x\| = |\lambda|\|x\| \neq \|x\|$ pour $x\neq 0$.

Contre-exemple 2 : Projection orthogonale

Soit $p_F$ la projection orthogonale sur un sous-espace strict non nul $F \subset E$. Pour $x \in F^\perp \setminus \{0\}$, on a $p_F(x)=0$, donc $\|p_F(x)\|=0$ alors que $\|x\| \neq 0$. La norme n’est pas préservée.

Concepts liés

• Groupes orthogonaux $O_n(\mathbb{R})$ et unitaires $U_n(\mathbb{C})$ : Ce sont les réalisations matricielles des groupes d’isométries $O(\mathbb{R}^n)$ et $U(\mathbb{C}^n)$ dans une base orthonormée.
• Automorphismes d’espaces préhilbertiens : La notion d’isométrie se généralise aux espaces de dimension infinie, où elle est un concept central en analyse fonctionnelle (e.g., opérateurs unitaires sur les espaces de Hilbert).
• Théorème de Cartan-Dieudonné : Toute isométrie d’un espace euclidien de dimension $n$ se décompose en un produit d’au plus $n$ réflexions hyperplanes.

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Concept 2: Groupes Orthogonaux et Unitaires

Prérequis

• Concept d’isométrie, algèbre matricielle.
• Théorie des groupes (définition d’un groupe, sous-groupe, sous-groupe distingué).

Définition

Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On définit les groupes matriciels suivants :

• Le groupe orthogonal d’ordre $n$ :

$O_n(\mathbb{R}) = \{ M \in M_n(\mathbb{R}) \mid {}^tMM = I_n \}$

• Le groupe spécial orthogonal d’ordre $n$ :

$SO_n(\mathbb{R}) = \{ M \in O_n(\mathbb{R}) \mid \det(M) = 1 \}$

• Le groupe unitaire d’ordre $n$ :

$U_n(\mathbb{C}) = \{ M \in M_n(\mathbb{C}) \mid M^*M = I_n \}, \text{ où } M^*={}^t\overline{M}$

• Le groupe spécial unitaire d’ordre $n$ :

$SU_n(\mathbb{C}) = \{ M \in U_n(\mathbb{C}) \mid \det(M) = 1 \}$

Ces ensembles sont des groupes pour la multiplication matricielle.

Propriétés Clés

• Structure de groupe : Ces quatre ensembles sont des sous-groupes de $GL_n(\mathbb{K})$ (avec $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$). La stabilité par produit et par inversion est une vérification directe. Par exemple, si $M, N \in O_n(\mathbb{R})$, alors ${}^t(MN)(MN) = {}^tN{}^tMMN = {}^tN I_n N = {}^tNN = I_n$. De plus, ${}^t(M^{-1})M^{-1} = (M^t)^{-1}M^{-1} = (M^tM)^{-1} = I_n^{-1} = I_n$.

• Interprétation géométrique : La matrice d’une isométrie d’un espace euclidien (resp. hermitien) de dimension $n$ dans une base orthonormée est un élément de $O_n(\mathbb{R})$ (resp. $U_n(\mathbb{C})$). Réciproquement, toute matrice de $O_n(\mathbb{R})$ (resp. $U_n(\mathbb{C})$) définit une isométrie sur $\mathbb{R}^n$ (resp. $\mathbb{C}^n$) muni de son produit scalaire canonique.

• Structure de sous-groupe distingué :

  • $SO_n(\mathbb{R})$ est un sous-groupe distingué de $O_n(\mathbb{R})$. L’application $\det: O_n(\mathbb{R}) \to \{-1, 1\}$ est un morphisme de groupe surjectif dont le noyau est $SO_n(\mathbb{R})$. Le groupe quotient $O_n(\mathbb{R})/SO_n(\mathbb{R})$ est isomorphe à $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Les éléments de $SO_n(\mathbb{R})$ sont appelés isométries directes (ou rotations), ceux de $O_n(\mathbb{R}) \setminus SO_n(\mathbb{R})$ sont les isométries indirectes.
  • De même, $SU_n(\mathbb{C})$ est un sous-groupe distingué de $U_n(\mathbb{C})$.

• Propriétés topologiques : Vus comme sous-ensembles de $M_n(\mathbb{K}) \cong \mathbb{K}^{n^2}$, ces groupes sont des compacts de $M_n(\mathbb{K})$. Ce sont des exemples fondamentaux de groupes de Lie.

Exemples

Exemple 1 : Le groupe $SO_2(\mathbb{R})$

Ce groupe est l’ensemble des matrices $R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ pour $\theta \in \mathbb{R}$. Il est abélien : $R(\theta_1)R(\theta_2)=R(\theta_1+\theta_2)$. Topologiquement, il est homéomorphe au cercle unité $S^1$.

Exemple 2 : Le groupe $O_2(\mathbb{R})$

Il est constitué de $SO_2(\mathbb{R})$ (les rotations) et des matrices de la forme $S(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ \sin\theta & -\cos\theta \end{pmatrix}$ (les réflexions). Ce groupe n’est pas abélien.

Exemple 3 : Le groupe $SU_2(\mathbb{C})$

Toute matrice de $SU_2(\mathbb{C})$ s’écrit sous la forme $U = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ -\bar{\beta} & \bar{\alpha} \end{pmatrix}$ avec $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$ tels que $|\alpha|^2+|\beta|^2=1$. Cet ensemble est en bijection avec la sphère $S^3 \subset \mathbb{R}^4$.

Contre-exemples

Contre-exemple 1 : Matrice de $SL_n(\mathbb{R})$ non orthogonale

La matrice $M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ a un déterminant $\det(M)=1$, donc $M \in SL_2(\mathbb{R})$. Cependant, ${}^tMM = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \neq I_2$. Donc $M \notin O_2(\mathbb{R})$.

Contre-exemple 2 : Groupe non compact

Le groupe $GL_n(\mathbb{R})$ n’est pas compact car il n’est pas borné (considérer les matrices $\lambda I_n$ avec $\lambda \to \infty$).

Concepts liés

• Groupes de Lie : Les groupes orthogonaux et unitaires sont des exemples paradigmatiques de groupes de Lie compacts, qui sont des variétés différentielles munies d’une structure de groupe compatible.
• Algèbres de Lie : À chaque groupe de Lie est associée une algèbre de Lie, qui est l’espace tangent à l’identité. Les algèbres de Lie $\mathfrak{so}(n)$, $\mathfrak{su}(n)$ (matrices antisymétriques et antihermitiennes de trace nulle) sont cruciales pour l’étude locale de ces groupes.
• Théorie des représentations : Ces groupes jouent un rôle central dans la théorie des représentations des groupes compacts et en physique (e.g., symétries du modèle standard).

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Concept 3: Classification des isométries en dimension 2 et 3

Prérequis

• Groupes $O_2(\mathbb{R})$ et $O_3(\mathbb{R})$.
• Valeurs propres, vecteurs propres, polynôme caractéristique.
• Sous-espaces stables.

Définition

La classification des isométries vectorielles d’un espace euclidien de petite dimension repose sur l’analyse de leurs sous-espaces invariants et de leur déterminant.

Théorème 2.4.1 (Classification dans $O_2(\mathbb{R})$)

Soit $f$ une isométrie de $\mathbb{R}^2$.

1. Si $\det(f)=1$ ($f \in SO_2(\mathbb{R})$), alors $f$ est une rotation. Sa matrice dans toute base orthonormée directe est de la forme $R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ pour un certain $\theta \in \mathbb{R}$.
2. Si $\det(f)=-1$ ($f \in O_2(\mathbb{R}) \setminus SO_2(\mathbb{R})$), alors $f$ est une réflexion orthogonale (ou symétrie axiale). Il existe une base orthonormée dans laquelle sa matrice est $S = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$.

Théorème 2.4.2 (Classification dans $O_3(\mathbb{R})$ - Théorème d’Euler)

Soit $f$ une isométrie de $\mathbb{R}^3$.

1. Si $\det(f)=1$ ($f \in SO_3(\mathbb{R})$), alors $f$ est une rotation (non triviale si $f\neq \text{Id}$). Il existe un axe (droite vectorielle de vecteurs invariants) et un angle de rotation $\theta$. Dans une base orthonormée directe adaptée, sa matrice est $R = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.
2. Si $\det(f)=-1$, alors $f$ est une isométrie indirecte. C’est la composée d’une rotation et d’une réflexion par rapport au plan orthogonal à l’axe de la rotation. Dans une base orthonormée directe adaptée, sa matrice est $S = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$.

Propriétés Clés

• Existence d’un axe de rotation (Théorème d’Euler) : Toute isométrie de $SO_3(\mathbb{R})$ admet la valeur propre 1.

  Démonstration. Soit $M \in SO_3(\mathbb{R})$. Son polynôme caractéristique $\chi_M(\lambda) = \det(M-\lambda I_3)$ est de degré 3 à coefficients réels. On a $\lim_{\lambda \to \pm\infty} \chi_M(\lambda) = \mp\infty$. Par le théorème des valeurs intermédiaires, $\chi_M$ a au moins une racine réelle $\lambda_0$. Comme $M$ est une isométrie, ses valeurs propres réelles ne peuvent être que $\pm 1$. Les valeurs propres complexes sont de module 1 et viennent par paires conjuguées $e^{i\theta}, e^{-i\theta}$. Le déterminant est le produit des valeurs propres.

  Si toutes les valeurs propres sont réelles, elles sont $\pm 1$. Pour avoir $\det(M)=1$, les possibilités sont $(1,1,1)$ ou $(1,-1,-1)$. Dans les deux cas, 1 est valeur propre.

  Si il y a des valeurs propres complexes, elles sont $e^{i\theta}, e^{-i\theta}$ et la troisième $\lambda_0$ doit être réelle. On a $\det(M) = e^{i\theta} e^{-i\theta} \lambda_0 = \lambda_0 = 1$. Donc 1 est valeur propre.

  L’espace propre associé à la valeur propre 1 est l’axe de rotation.

• Commutativité : $SO_2(\mathbb{R})$ est un groupe abélien, mais $SO_3(\mathbb{R})$ ne l’est pas.

Exemples

Exemple 1 : Rotation dans $\mathbb{R}^3$

La rotation d’angle $\pi/2$ autour de l’axe $e_3=(0,0,1)$ dans $\mathbb{R}^3$ a pour matrice dans la base canonique (qui est orthonormée directe) $M = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. C’est un élément de $SO_3(\mathbb{R})$.

Exemple 2 : Réflexion dans $\mathbb{R}^2$

La réflexion par rapport à la droite $y=x$ (dirigée par $e_1' = (1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})$) a pour matrice $S = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ dans la base canonique. $\det(S)=-1$. Dans la base orthonormée $(e_1', e_2')$, avec $e_2' = (1/\sqrt{2}, -1/\sqrt{2})$, la matrice est $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$.

Exemple 3 : Rotation-réflexion (roto-réflexion)

L’inversion centrale $f(x)=-x$ dans $\mathbb{R}^3$ a pour matrice $-I_3$. $\det(-I_3)=-1$. C’est la rotation d’angle $\pi$ autour de n’importe quel axe, composée avec la réflexion par rapport au plan orthogonal à cet axe. Par exemple, avec l’axe $e_3$, la matrice est $\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\pi & -\sin\pi & 0 \\ \sin\pi & \cos\pi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$.

Contre-exemples

Contre-exemple 1 : Isométrie de $\mathbb{R}^4$

Une isométrie de $\mathbb{R}^4$ n’a pas nécessairement d’axe invariant (de dimension 1). Par exemple, la double rotation de matrice $M = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos\phi & -\sin\phi \\ 0 & 0 & \sin\phi & \cos\phi \end{pmatrix}$ avec $\theta, \phi \notin \pi\mathbb{Z}$ n’a que le sous-espace $\{0\}$ comme espace de vecteurs invariants.

Contre-exemple 2 : Isométrie affine

Une translation $t_v : x \mapsto x+v$ (pour $v \neq 0$) est une isométrie de l’espace affine euclidien, mais n’est pas une isométrie vectorielle car elle n’est pas linéaire et ne fixe pas l’origine.

Concepts liés

• Angles d’Euler : Une méthode pour paramétrer toute rotation de $SO_3(\mathbb{R})$ par trois angles, en la décomposant en une succession de trois rotations autour d’axes canoniques.
• Quaternions : Les quaternions de norme 1 fournissent une représentation efficace et numériquement stable des rotations de $SO_3(\mathbb{R})$, évitant le problème du blocage de cardan des angles d’Euler.

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Concept 4: Produit Vectoriel dans $\mathbb{R}^3$

Prérequis

• Espace euclidien orienté $\mathbb{R}^3$.
• Déterminant, applications multilinéaires alternées.
• Formes linéaires, théorème de représentation de Riesz.

Définition

Soit $\mathbb{R}^3$ l’espace euclidien canonique, orienté par sa base canonique. Pour tout couple de vecteurs $(U,V) \in \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3$, le produit vectoriel de $U$ et $V$, noté $U \wedge V$, est l’unique vecteur de $\mathbb{R}^3$ tel que :

$\forall W \in \mathbb{R}^3, \quad \det(U,V,W) = \langle U \wedge V, W \rangle$

L’existence et l’unicité de ce vecteur sont garanties par le théorème de représentation de Riesz, car l’application $\phi_{U,V}: W \mapsto \det(U,V,W)$ est une forme linéaire sur $\mathbb{R}^3$.

Propriétés Clés

• Bilinéarité : L’application $(U,V) \mapsto U \wedge V$ est bilinéaire.

• Antisymétrie : $V \wedge U = -U \wedge V$. (Conséquence de $\det(V,U,W) = -\det(U,V,W)$).

• Condition de colinéarité : $U \wedge V = 0 \iff (U,V)$ est une famille liée.

• Orthogonalité : Le vecteur $U \wedge V$ est orthogonal à $U$ et à $V$.

  Démonstration. $\langle U \wedge V, U \rangle = \det(U,V,U) = 0$ car la famille $(U,V,U)$ est liée. De même pour $V$.

• Orientation : Si $(U,V)$ est libre, la base $(U,V,U \wedge V)$ est directe.

  Démonstration. $\det(U,V,U \wedge V) = \langle U \wedge V, U \wedge V \rangle = \|U \wedge V\|^2 > 0$.

• Norme : $\|U \wedge V\| = \|U\| \|V\| |\sin\theta|$, où $\theta$ est l’angle (non orienté) entre $U$ et $V$. Cette norme est l’aire du parallélogramme engendré par $U$ et $V$.

• Expression en coordonnées : Dans une base orthonormée directe $(e_1, e_2, e_3)$, si $U=(u_1, u_2, u_3)$ et $V=(v_1, v_2, v_3)$, alors :

$U \wedge V = (u_2v_3 - u_3v_2)e_1 + (u_3v_1 - u_1v_3)e_2 + (u_1v_2 - u_2v_1)e_3$

• Double produit vectoriel : $U \wedge (V \wedge W) = \langle U,W \rangle V - \langle U,V \rangle W$. (Formule de “BAC-CAB”).
• Identité de Jacobi : $U \wedge (V \wedge W) + V \wedge (W \wedge U) + W \wedge (U \wedge V) = 0$.

Exemples

Exemple 1 : Base canonique

Soit $(e_1, e_2, e_3)$ la base canonique de $\mathbb{R}^3$. On a:

$e_1 \wedge e_2 = e_3$, $e_2 \wedge e_3 = e_1$, $e_3 \wedge e_1 = e_2$.

Exemple 2 : Calcul direct

Soient $U=(1,2,3)$ et $V=(4,5,6)$.

$U \wedge V = ((2)(6)-(3)(5), (3)(4)-(1)(6), (1)(5)-(2)(4)) = (12-15, 12-6, 5-8) = (-3, 6, -3)$.

Exemple 3 : Vecteur normal à un plan

Le plan vectoriel engendré par $U=(1,1,0)$ et $V=(0,1,1)$ a pour vecteur normal $N = U \wedge V = (1,-1,1)$. Tout vecteur normal est colinéaire à $N$.

Contre-exemples

Contre-exemple 1 : Non-associativité

Le produit vectoriel n’est pas associatif. Soit $(e_1, e_2, e_3)$ une base orthonormée directe.

$(e_1 \wedge e_1) \wedge e_2 = 0 \wedge e_2 = 0$.

Mais $e_1 \wedge (e_1 \wedge e_2) = e_1 \wedge e_3 = -e_2$.

Contre-exemple 2 : Dépendance de la dimension

Un produit binaire ayant des propriétés similaires n’existe que dans $\mathbb{R}^3$ et $\mathbb{R}^7$. La généralisation du produit vectoriel en dimension $n$ est le produit extérieur, qui à $n-1$ vecteurs associe un vecteur (via le même type de dualité).

Concepts liés

• Algèbre extérieure : Le produit vectoriel est un cas particulier du produit extérieur $\wedge$ dans l’algèbre extérieure $\Lambda(\mathbb{R}^3)$. On a une identification entre $\Lambda^2(\mathbb{R}^3)$ (les bivecteurs) et $\mathbb{R}^3$ via la dualité de Hodge.
• Algèbre de Lie : L’espace $(\mathbb{R}^3, +, \wedge)$ est une algèbre de Lie. Elle est isomorphe à l’algèbre de Lie $\mathfrak{so}(3)$ du groupe des rotations $SO_3(\mathbb{R})$.
• Formes différentielles : Le produit vectoriel est lié à l’opérateur de différentiation extérieure en calcul vectoriel. Par exemple, $\nabla \wedge \mathbf{F}$ est le rotationnel du champ de vecteurs $\mathbf{F}$.

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Concept 5: Formule de Rodrigues

Prérequis

• Classification des rotations dans $\mathbb{R}^3$.
• Propriétés du produit vectoriel.

Définition

La formule de Rodrigues donne une expression explicite de l’image d’un vecteur $U \in \mathbb{R}^3$ par une rotation $\mathcal{R}_{N,\theta}$ d’axe dirigé par un vecteur unitaire $N$ et d’angle $\theta$.

$\mathcal{R}_{N,\theta}(U) = \cos(\theta)U + (1-\cos(\theta))\langle U,N \rangle N + \sin(\theta) (N \wedge U)$

L’orientation de l’angle $\theta$ est donnée par la règle de la main droite selon l’axe $N$.

Propriétés Clés

• Décomposition orthogonale : La preuve de la formule repose sur la décomposition de $U$ en une composante parallèle à l’axe et une composante orthogonale : $U = U_\parallel + U_\perp$, avec $U_\parallel = \langle U,N \rangle N$ et $U_\perp = U - \langle U,N \rangle N$.

• Action de la rotation : La rotation laisse la composante parallèle inchangée ($\mathcal{R}(U_\parallel)=U_\parallel$) et fait tourner la composante orthogonale d’un angle $\theta$ dans le plan $N^\perp$.

  Démonstration.

  $\mathcal{R}(U) = \mathcal{R}(U_\parallel) + \mathcal{R}(U_\perp) = U_\parallel + \mathcal{R}(U_\perp)$.

  Dans le plan $N^\perp$, orienté par $N$, le vecteur $N \wedge U_\perp = N \wedge U$ est orthogonal à $U_\perp$ et de même norme. La famille $(U_\perp, N \wedge U)$ forme une base orthogonale (non normée) de ce plan. L’action de $\mathcal{R}$ sur $U_\perp$ est une rotation plane :

  $\mathcal{R}(U_\perp) = \cos(\theta)U_\perp + \sin(\theta) (N \wedge U)$.

  En substituant $U_\perp = U - \langle U,N \rangle N$ et $U_\parallel = \langle U,N \rangle N$, on obtient :

  $\mathcal{R}(U) = \langle U,N \rangle N + \cos(\theta)(U - \langle U,N \rangle N) + \sin(\theta)(N \wedge U)$

  $= \cos(\theta)U + (1-\cos(\theta))\langle U,N \rangle N + \sin(\theta)(N \wedge U)$.

• Forme matricielle : La formule permet de déduire la matrice de la rotation dans n’importe quelle base. Soit $K$ la matrice de l’application $U \mapsto N \wedge U$. Si $N=(a,b,c)$, alors $K = \begin{pmatrix} 0 & -c & b \\ c & 0 & -a \\ -b & a & 0 \end{pmatrix}$. La matrice de la rotation est $R = I + (\sin\theta)K + (1-\cos\theta)K^2$. C’est l’exponentielle de la matrice $\theta K$.

Exemples

Exemple 1 : Rotation d’axe $e_3$

Soit $N=e_3=(0,0,1)$. On veut calculer $\mathcal{R}_{e_3,\theta}(e_1)$.

$\langle e_1, e_3 \rangle = 0$ et $e_3 \wedge e_1 = e_2$.

$\mathcal{R}(e_1) = \cos(\theta)e_1 + (1-\cos\theta)(0)e_3 + \sin(\theta)e_2 = \cos(\theta)e_1 + \sin(\theta)e_2$.

Ce qui correspond bien à $(\cos\theta, \sin\theta, 0)$.

Exemple 2 : Demi-tour (rotation d’angle $\pi$)

Pour $\theta=\pi$, $\cos\pi=-1, \sin\pi=0$. La formule devient :

$\mathcal{R}_{N,\pi}(U) = -U + 2\langle U,N \rangle N$. C’est l’expression de la symétrie axiale par rapport à l’axe dirigé par $N$.

Exemple 3 : Rotation d’axe $(1,1,1)$

Soit $N=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)$ et $\theta=\frac{2\pi}{3}$. Soit $U=e_1=(1,0,0)$.

$\langle U,N \rangle = 1/\sqrt{3}$.

$N \wedge U = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1) \wedge (1,0,0) = \frac{1}{\sqrt{3}}(0,1,-1)$.

$\cos(2\pi/3)=-1/2$, $\sin(2\pi/3)=\sqrt{3}/2$.

$\mathcal{R}(e_1) = -\frac{1}{2}(1,0,0) + (1-(-\frac{1}{2}))(\frac{1}{\sqrt{3}})\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1) + \frac{\sqrt{3}}{2}\frac{1}{\sqrt{3}}(0,1,-1)$

$= (-\frac{1}{2},0,0) + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}(1,1,1) + \frac{1}{2}(0,1,-1)$

$= (-\frac{1}{2},0,0) + (\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}) + (0,\frac{1}{2},-\frac{1}{2}) = (0,1,0) = e_2$.

De même, on trouve $\mathcal{R}(e_2)=e_3$ et $\mathcal{R}(e_3)=e_1$. C’est une permutation circulaire des axes.

Concepts liés

• Exponentielle de matrice : La rotation d’angle $\theta$ autour de l’axe $N$ est donnée par l’exponentielle de l’opérateur “produit vectoriel par $\theta N$”. Soit $A_N(U) = N \wedge U$. La rotation est $\mathcal{R}_{N,\theta} = \exp(\theta A_N)$. La formule de Rodrigues est un cas particulier de la formule de l’exponentielle pour les matrices de $\mathfrak{so}(3)$.
• Quaternions : L’action d’une rotation représentée par un quaternion $q = \cos(\theta/2) + \sin(\theta/2)N$ sur un vecteur $U$ (identifié au quaternion pur $U$) est donnée par la conjugaison $qUq^{-1}$. Le développement de cette expression redonne la formule de Rodrigues.

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Concept 6: Le groupe $SU_2(\mathbb{C})$ et son lien avec $SO_3(\mathbb{R})$

Prérequis

• Espaces hermitiens, groupes unitaires $U_n(\mathbb{C}), SU_n(\mathbb{C})$.
• Trace d’une matrice, matrices hermitiennes.
• Morphismes de groupes, noyau.

Définition

Le lien entre $SU_2(\mathbb{C})$ et $SO_3(\mathbb{R})$ s’établit via la représentation adjointe.

1. On considère le $\mathbb{R}$-espace vectoriel $\mathcal{V} = \{ M \in M_2(\mathbb{C}) \mid M^*=M, \text{Tr}(M)=0 \}$.

   Cet espace est de dimension 3. Une base en est $(T_1, T_2, T_3)$ avec :

   $T_1 = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad T_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad T_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

   (Ces matrices sont proportionnelles aux matrices de Pauli $\sigma_2, \sigma_1, \sigma_3$).

2. On munit $\mathcal{V}$ d’un produit scalaire euclidien $\varphi(A,B) := \frac{1}{2}\text{Tr}(AB)$, pour lequel la base $(T_1, T_2, T_3)$ est orthonormée. $(\mathcal{V}, \varphi)$ est donc un espace euclidien de dimension 3, que l’on identifie à $\mathbb{R}^3$.

3. Pour tout $U \in SU_2(\mathbb{C})$, on définit l’application adjointe $\text{Ad}_U : \mathcal{V} \to \mathcal{V}$ par :

   $\text{Ad}_U(M) := UMU^*$

4. L’application $\mathcal{J} : SU_2(\mathbb{C}) \to O(\mathcal{V}) \cong O_3(\mathbb{R})$ qui à $U$ associe $\text{Ad}_U$ est un morphisme de groupes.

Propriétés Clés

• $SU_2(\mathbb{C})$ et la sphère $S^3$ : Toute matrice $U \in SU_2(\mathbb{C})$ est de la forme $\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ -\bar{\beta} & \bar{\alpha} \end{pmatrix}$ avec $|\alpha|^2+|\beta|^2=1$. L’application qui à $U$ associe $(\Re(\alpha), \Im(\alpha), \Re(\beta), \Im(\beta))$ est un homéomorphisme de $SU_2(\mathbb{C})$ sur la sphère unité $S^3 \subset \mathbb{R}^4$.

• $\text{Ad}_U$ est une isométrie : Pour tout $M \in \mathcal{V}$, $\varphi(\text{Ad}_U(M), \text{Ad}_U(M)) = \frac{1}{2}\text{Tr}((UMU^*)(UMU^*)) = \frac{1}{2}\text{Tr}(UMU^*UMU^*) = \frac{1}{2}\text{Tr}(UM^2U^*) = \frac{1}{2}\text{Tr}(M^2) = \varphi(M,M)$. Donc $\text{Ad}_U \in O(\mathcal{V})$.

• L’image est dans $SO_3(\mathbb{R})$ : Le groupe $SU_2(\mathbb{C})$ est connexe (car $S^3$ l’est). L’application $\mathcal{J}$ est continue. L’image $\mathcal{J}(SU_2(\mathbb{C}))$ est donc une partie connexe de $O_3(\mathbb{R})$. Comme $\mathcal{J}(I_2)=\text{Id} \in SO_3(\mathbb{R})$, l’image entière est contenue dans la composante connexe de l’identité, qui est $SO_3(\mathbb{R})$.

• Surjectivité : On peut montrer que le morphisme $\mathcal{J}: SU_2(\mathbb{C}) \to SO_3(\mathbb{R})$ est surjectif.

• Noyau : $\ker(\mathcal{J}) = \{U \in SU_2(\mathbb{C}) \mid \forall M \in \mathcal{V}, UMU^*=M\}$. Ceci est équivalent à $U$ qui commute avec toutes les matrices de $\mathcal{V}$, et donc avec tout $M_2(\mathbb{C})$. Par le lemme de Schur, $U$ doit être une matrice scalaire. Les seules matrices scalaires dans $SU_2(\mathbb{C})$ sont $I_2$ et $-I_2$. Donc $\ker(\mathcal{J}) = \{\pm I_2\}$.

• Revêtement double : Par le premier théorème d’isomorphisme, $SO_3(\mathbb{R}) \cong SU_2(\mathbb{C}) / \{\pm I_2\}$. On dit que $SU_2(\mathbb{C})$ est un revêtement double de $SO_3(\mathbb{R})$. Topologiquement, cela signifie que $SU_2(\mathbb{C})$ “s’enroule” deux fois sur $SO_3(\mathbb{R})$.

Exemples

Exemple 1 : Rotation d’axe $T_3$

Soit $U=D_\theta = \begin{pmatrix} e^{i\theta} & 0 \\ 0 & e^{-i\theta} \end{pmatrix} \in SU_2(\mathbb{C})$. Un calcul direct montre que $\text{Ad}_{D_\theta}$ a pour matrice dans la base $(T_1, T_2, T_3)$ :

$\begin{pmatrix} \cos(2\theta) & -\sin(2\theta) & 0 \\ \sin(2\theta) & \cos(2\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

C’est la rotation d’angle $2\theta$ autour de l’axe $T_3$.

Exemple 2 : Le noyau

Pour $U=-I_2$, on a $\text{Ad}_{-I_2}(M) = (-I_2)M(-I_2)^* = (-M)(-I_2) = M = \text{Id}(M)$. Donc $-I_2 \in \ker(\mathcal{J})$.

Exemple 3 : lien avec les quaternions

Le $\mathbb{R}$-espace vectoriel des quaternions $\mathbb{H}$ a pour base $(1, i, j, k)$. Le groupe des quaternions de norme 1, noté $Sp(1)$, est isomorphe à $SU(2)$. L’isomorphisme associe $x_1+x_2i+x_3j+x_4k$ à la matrice $\begin{pmatrix} x_1+ix_2 & x_3+ix_4 \\ -x_3+ix_4 & x_1-ix_2 \end{pmatrix}$. L’action adjointe correspond à la conjugaison $p \mapsto qpq^{-1}$ des quaternions purs.

Concepts liés

• Algèbres de Lie : $\mathcal{V}$ est l’algèbre de Lie $\mathfrak{su}(2)$ de $SU_2(\mathbb{C})$, munie du commutateur $[A,B]=AB-BA$. L’application $\text{Ad}_U$ est la représentation adjointe du groupe de Lie sur son algèbre. On a un isomorphisme d’algèbres de Lie entre $(\mathfrak{su}(2), [.,.])$ et $(\mathbb{R}^3, \wedge)$.
• Topologie algébrique : $SU(2) \cong S^3$ est simplement connexe, tandis que $SO(3) \cong \mathbb{P}^3(\mathbb{R})$ (l’espace projectif réel de dimension 3) ne l’est pas (son groupe fondamental est $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$). $SU(2)$ est le revêtement universel de $SO(3)$.
• Physique quantique : Cette relation est fondamentale en mécanique quantique pour la description du spin des particules. Les états de spin sont décrits par des vecteurs dans $\mathbb{C}^2$ et les rotations de l’espace physique (opérateurs de $SO_3(\mathbb{R})$) sont représentées par des opérateurs de $SU_2(\mathbb{C})$. La non-injectivité du morphisme explique des phénomènes comme le fait qu’une rotation de $2\pi$ change le signe de la fonction d’onde d’un fermion.