Séries entières - preuves (A)

Soit $z_0 \neq 0$ tel que la suite $(a_n z_0^n)_n$ soit bornée.

Il existe donc un réel $M > 0$ tel que pour tout entier $n$, $|a_n z_0^n| \le M$.

Soit $z \in \mathbb{C}$ tel que $|z| < |z_0|$. Étudions la convergence absolue de la série en ce point.

On écrit le terme général ainsi :

$a_n z^n = a_n z_0^n \left( \frac{z}{z_0} \right)^n$

En passant au module :

$|a_n z^n| = |a_n z_0^n| \cdot \left| \frac{z}{z_0} \right|^n$

Étape 1 : Majoration

Puisque $|a_n z_0^n| \le M$, on a :

$|a_n z^n| \le M \cdot \left| \frac{z}{z_0} \right|^n$

Étape 2 : Comparaison avec une série géométrique

Posons $q = \left| \frac{z}{z_0} \right|$. Comme $|z| < |z_0|$, on a $0 \le q < 1$.

Le terme de droite $M q^n$ est le terme général d'une série géométrique convergente (car la raison $q < 1$).

Conclusion :

Par le théorème de comparaison des séries à termes positifs, la série $\sum |a_n z^n|$ converge.

Donc, la série entière $\sum a_n z^n$ converge absolument pour tout $z$ tel que $|z| < |z_0|$.

Considérons la série entière $\sum z^n$ où $a_n = 1$ pour tout $n$.

Étape 1 : Calcul de la somme partielle

Pour $z \neq 1$, la somme partielle d'ordre $N$ est donnée par la formule classique :

$S_N(z) = \sum_{n=0}^N z^n = \frac{1 - z^{N+1}}{1 - z}$

Étape 2 : Analyse de la convergence

• Cas $|z| < 1$ : On a $\lim_{N \to \infty} z^{N+1} = 0$.

  Donc $\lim_{N \to \infty} S_N(z) = \frac{1}{1-z}$. La série converge.

• Cas $|z| > 1$ : On a $|z|^{N+1} \to +\infty$, donc le terme général $z^n$ ne tend pas vers 0. La série diverge grossièrement.

• Cas $|z| = 1$ : $|z^n| = 1$ ne tend pas vers 0. La série diverge grossièrement.

Conclusion :

Le disque de convergence est exactement l'ensemble des $z$ tels que $|z| < 1$.

Le rayon de convergence est donc $R=1$, et pour tout $z \in D_1$, la somme vaut $\frac{1}{1-z}$.

Fixons un $z \in \mathbb{C}^*$ et considérons la série numérique de terme général $u_n = a_n z^n$. Étudions sa convergence absolue en utilisant le critère de d'Alembert.

Étape 1 : Calcul du rapport

Formons le rapport des modules de deux termes consécutifs :

$\left| \frac{u_{n+1}}{u_n} \right| = \left| \frac{a_{n+1} z^{n+1}}{a_n z^n} \right| = \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \cdot |z|$

Étape 2 : Passage à la limite

Par hypothèse, $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = L$.

Donc :

$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{u_{n+1}}{u_n} \right| = L \cdot |z|$

Conclusion :

D'après la règle de d'Alembert pour les séries numériques :

• Si $L|z| < 1$, c'est-à-dire $|z| < \frac{1}{L}$, la série converge absolument.
• Si $L|z| > 1$, c'est-à-dire $|z| > \frac{1}{L}$, la série diverge.

Cela correspond exactement à la définition du rayon de convergence.

Donc $R = \frac{1}{L}$.

Ici, le terme général est $u_n(z) = \frac{z^n}{n!}$, donc le coefficient est $a_n = \frac{1}{n!}$.

Étape 1 : Rapport des coefficients

Calculons le rapport pour la règle de d'Alembert :

$\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{1/(n+1)!}{1/n!} = \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}$

Étape 2 : Limite

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0$

Ici, $L=0$.

Conclusion :

Le rayon de convergence est $R = \frac{1}{L} = \frac{1}{0} = +\infty$ (par convention).

Cela signifie que la série converge pour tout $z \in \mathbb{C}$.

Supposons que pour tout $x \in ]-R, R[$, $f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n = 0$.

Étape 1 : Le terme constant $a_0$

La fonction $f$ est définie en $0$ (car $R>0$). Évaluons l'expression en $x=0$ :

$f(0) = a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} a_n 0^n = a_0$

Or, par hypothèse $f(x)=0$ pour tout $x$, donc $f(0)=0$.

D'où $a_0 = 0$.

Étape 2 : Le terme $a_1$

Puisque $a_0 = 0$, on a pour $x \neq 0$ :

$f(x) = x \left( a_1 + a_2 x + a_3 x^2 + \dots \right) = x \sum_{n=1}^{+\infty} a_n x^{n-1} = 0$

En divisant par $x$, on obtient $\sum_{k=0}^{+\infty} a_{k+1} x^k = 0$ sur $]-R, R[\setminus\{0\}$.

Par continuité de la somme d'une série entière en 0, cette égalité reste vraie en 0.

En évaluant cette nouvelle série en 0, on trouve $a_1 = 0$.

Alternative avec les dérivées :

On sait que $f$ est infiniment dérivable sur $]-R, R[$ et que l'on peut dériver terme à terme.

$f'(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} n a_n x^{n-1} = 0$

En évaluant en $0$, on a $f'(0) = 1 \cdot a_1 = 0 \implies a_1 = 0$.

De même, $f^{(k)}(0) = k! a_k = 0 \implies a_k = 0$.

Conclusion :

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $a_n = 0$. Le développement en série entière est unique.

Notons $R$ le rayon de la série $\sum a_n z^n$ et $R'$ celui de la série dérivée $\sum n a_n z^{n-1}$ (qui a le même rayon que $\sum n a_n z^n$ car multiplier par $z$ ne change pas $R$).

Étape 1 : $R' \le R$

Pour $n \ge 1$, on a $|a_n| \le n |a_n|$.

Donc si la série $\sum n a_n z^n$ converge, alors par comparaison $\sum a_n z^n$ converge aussi.

L'ensemble de convergence de la dérivée est inclus dans celui de la série initiale. Donc $R' \le R$.

Étape 2 : $R \le R'$

Soit $z$ tel que $|z| < R$. Choisissons $\rho$ tel que $|z| < \rho < R$.

La série $\sum a_n \rho^n$ converge (et son terme général est borné, disons par $M$).

Regardons le terme de la dérivée en $z$ :

$|n a_n z^n| = n \left| a_n \rho^n \right| \cdot \left| \frac{z}{\rho} \right|^n \le M \cdot n \cdot \left| \frac{z}{\rho} \right|^n$

Posons $q = |z/\rho| < 1$. La série $\sum n q^n$ est convergente (règle de d'Alembert ou référence série dérivée géométrique).

Donc $\sum n a_n z^n$ converge absolument pour tout $z$ tel que $|z| < R$. Donc $R \le R'$.

Conclusion :

On a $R \le R'$ et $R' \le R$, donc $R=R'$. Le rayon est conservé par dérivation.

Étape 1 : Série géométrique alternée

On sait que pour $|t| < 1$ :

$\frac{1}{1-u} = \sum_{n=0}^{+\infty} u^n$

En posant $u = -t$ (avec $|-t| = |t| < 1$), on obtient :

$\frac{1}{1+t} = \sum_{n=0}^{+\infty} (-t)^n = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n t^n$

Étape 2 : Intégration terme à terme

Soit $x \in ]-1, 1[$. La fonction est continue et la série converge uniformément sur tout segment inclus dans $]-1, 1[$. On peut intégrer terme à terme :

$\ln(1+x) = \int_0^x \frac{1}{1+t} dt = \int_0^x \left( \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n t^n \right) dt$

$\ln(1+x) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \left( \int_0^x t^n dt \right)$

Étape 3 : Calcul de la primitive

$\int_0^x t^n dt = \left[ \frac{t^{n+1}}{n+1} \right]_0^x = \frac{x^{n+1}}{n+1}$

Conclusion :

$\ln(1+x) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{x^{n+1}}{n+1} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$

Le rayon de convergence est le même que celui de la série géométrique, soit $R=1$.

Par définition, pour tout $z \in \mathbb{C}$, $e^z = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n}{n!}$.

Posons $z = ix$ avec $x \in \mathbb{R}$.

Étape 1 : Substitution

$e^{ix} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(ix)^n}{n!}$

Comme la série converge absolument, on peut réarranger les termes. Séparons les indices pairs et impairs.

Étape 2 : Séparation pairs/impairs

Les termes pairs ($n=2k$) : $\frac{(ix)^{2k}}{(2k)!} = \frac{(i^2)^k x^{2k}}{(2k)!} = \frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}$.

Les termes impairs ($n=2k+1$) : $\frac{(ix)^{2k+1}}{(2k+1)!} = \frac{i \cdot (i^2)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!} = i \frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}$.

Étape 3 : Sommation

$e^{ix} = \sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!} + i \sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}$

Conclusion :

On reconnaît les développements en série entière de $\cos(x)$ et $\sin(x)$ :

$e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)$

Soient $e^a = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a^n}{n!}$ et $e^b = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{b^n}{n!}$.

Ces séries convergent absolument pour tout $a,b$. On peut appliquer le produit de Cauchy.

Étape 1 : Terme général du produit

La série produit $\sum c_n$ a pour terme général :

$c_n = \sum_{k=0}^n \left( \frac{a^k}{k!} \right) \left( \frac{b^{n-k}}{(n-k)!} \right)$

Étape 2 : Utilisation du binôme

On sait que $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, donc $\frac{1}{k!(n-k)!} = \frac{1}{n!} \binom{n}{k}$.

Substituons cela dans l'expression de $c_n$ :

$c_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{n!} \binom{n}{k} a^k b^{n-k} = \frac{1}{n!} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n-k}$

Étape 3 : Reconstitution

La somme interne est exactement le développement du binôme de Newton pour $(a+b)^n$.

$c_n = \frac{1}{n!} (a+b)^n$

Conclusion :

Le produit des deux séries est donc :

$\sum_{n=0}^{+\infty} c_n = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(a+b)^n}{n!}$

On reconnaît la définition de $e^{a+b}$.

Posons $f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$.

Alors $f'(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} n a_n x^{n-1} = \sum_{k=0}^{+\infty} (k+1) a_{k+1} x^k$ (changement d'indice $k=n-1$).

Étape 1 : Identification

L'équation $f'(x) = f(x)$ s'écrit :

$\sum_{n=0}^{+\infty} (n+1) a_{n+1} x^n = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$

Par unicité du développement en série entière, on identifie les coefficients terme à terme :

$(n+1) a_{n+1} = a_n \implies a_{n+1} = \frac{a_n}{n+1}$

Étape 2 : Récurrence

On a $a_0 = f(0) = 1$.

$a_1 = \frac{a_0}{1} = 1$

$a_2 = \frac{a_1}{2} = \frac{1}{2}$

...

Par récurrence immédiate : $a_n = \frac{a_0}{n!} = \frac{1}{n!}$.

Conclusion :

La solution est $f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!}$.

On reconnaît la fonction exponentielle $f(x) = e^x$. Le rayon de convergence est infini, ce qui valide la solution sur $\mathbb{R}$.