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Séries entières (A)

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Concept 1: Définition et Disque de Convergence

Prérequis

• Séries numériques (convergence, convergence absolue).
• Suites numériques (bornes supérieures, limites).
• Nombres complexes (module).
• Séries de fonctions (convergence simple, normale).

Définition

Une série entière est une série de fonctions d’une forme spécifique.

Soit $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de scalaires (réels ou complexes).

On appelle série entière une série de fonctions dont le terme général est de la forme :

$u_n(z) = a_n z^n$

où $z$ est une variable complexe (si $z \in \mathbb{C}$) ou réelle (si $t \in \mathbb{R}$, noté $a_n t^n$).

La série est notée $\sum a_n z^n$. Elle peut être vue comme un “polynôme de degré infini”.

Propriétés Clés

Le comportement de convergence d’une série entière est très régulier et dépend presque uniquement du module de la variable $z$. C’est le Théorème fondamental (Lemme d’Abel) :

Il existe un unique nombre réel $R \in [0, +\infty]$, appelé rayon de convergence, tel que :

1. Convergence absolue : Pour tout $z$ tel que $|z| < R$, la série $\sum a_n z^n$ converge absolument.
   • L’ensemble $D_R = \{z \in \mathbb{C} \mid |z| < R\}$ est appelé le disque de convergence (ou intervalle de convergence $]-R, R[$ dans le cas réel).
2. Divergence : Pour tout $z$ tel que $|z| > R$, la série diverge (le terme général ne tend même pas vers 0).
3. Convergence normale : Pour tout $r$ tel que $0 < r < R$, la série converge normalement (et donc uniformément) sur le disque fermé $\overline{D_r} = \{z \in \mathbb{C} \mid |z| \leq r\}$.

Remarque sur le bord : Pour les points où $|z| = R$, le comportement est incertain et doit être étudié au cas par cas.

Exemples

Exemple 1 : La série géométrique

Considérons la série $\sum_{n=0}^{+\infty} z^n$ (ici $a_n = 1$ pour tout $n$).

$|z| < 1 \implies \text{convergence absolue.}$

$|z| > 1 \implies |z|^n \to +\infty \neq 0 \implies \text{divergence.}$

Le rayon de convergence est $R=1$.

Exemple 2 : L’exponentielle

Considérons la série $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n}{n!}$.

Pour tout $z \in \mathbb{C}$, cette série converge (voir critères de convergence).

Le rayon de convergence est $R=+\infty$. La série converge sur tout le plan complexe.

Exemple 3 : La série factorielle

Considérons $\sum_{n=0}^{+\infty} n! z^n$.

Pour tout $z \neq 0$, le terme général $n! z^n$ tend vers l’infini. La série ne converge que pour $z=0$.

Le rayon de convergence est $R=0$.

Contre-exemples

Contre-exemple sur le bord du disque

Pour $R=1$ :

• La série $\sum z^n$ diverge en tout point du cercle $|z|=1$ (le terme général ne tend pas vers 0).
• La série $\sum \frac{z^n}{n^2}$ converge absolument en tout point du cercle $|z|=1$.
• La série $\sum \frac{z^n}{n}$ diverge pour $z=1$ mais converge pour $z=-1$ (série harmonique alternée).

Cela illustre qu’on ne peut pas donner de règle générale pour le cas $|z| = R$.

Concepts Liés

• Séries numériques : Pour un $z$ fixé, la série entière devient une série numérique.
• Polynômes : Une série entière est une limite de polynômes lorsque le degré tend vers l’infini.

Applications

• Définition de fonctions complexes (exponentielle, sinus, cosinus).
• Résolution d’équations différentielles.

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Concept 2: Calcul du Rayon de Convergence

Prérequis

• Règle de d’Alembert pour les suites numériques.
• Racine n-ième et limites sup (Règle de Cauchy).
• Concept 1 (Définition du rayon $R$).

Définition

Le rayon de convergence $R$ peut être calculé explicitement à partir des coefficients $a_n$ de la série. Deux méthodes principales sont utilisées.

1. Formule de Hadamard (Règle de Cauchy) :

C’est la formule générale qui caractérise $R$ :

$\frac{1}{R} = \limsup_{n \to +\infty} (|a_n|)^{1/n}$

2. Règle de d’Alembert (cas pratique) :

Si les coefficients $a_n$ sont non nuls (à partir d’un certain rang) et que la limite suivante existe :

$L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$

Alors le rayon de convergence est donné par :

$R = \frac{1}{L}$

(avec les conventions $1/0 = +\infty$ et $1/+\infty = 0$).

Propriétés Clés

• La règle de d’Alembert est souvent plus simple à appliquer, notamment quand des factorielles interviennent.
• Si la limite de d’Alembert n’existe pas, on doit revenir à la règle de Cauchy ou utiliser des théorèmes de comparaison.
• Le rayon de convergence ne change pas si on multiplie le terme $a_n$ par un polynôme en $n$ ou par une constante non nulle.

Exemples

Exemple 1 : Utilisation de d’Alembert

Soit la série $\sum \frac{z^n}{n!}$. Ici $a_n = \frac{1}{n!}$.

$\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{1/(n+1)!}{1/n!} = \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0 \implies L = 0$

Donc $R = \frac{1}{0} = +\infty$.

Exemple 2 : Coefficient polynomial

Soit la série $\sum P(n) z^n$ où $P$ est un polynôme non nul.

$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{P(n+1)}{P(n)} \right| = 1$

Donc $R = \frac{1}{1} = 1$.

Exemple 3 : Série lacunaire

Considérons $\sum z^{2n}$ (termes $a_k$ sont nuls si $k$ est impair).

On ne peut pas appliquer d’Alembert directement ($a_n$ s’annule).

On pose $u_n = z^{2n}$. Pour converger (critère de Cauchy), on regarde $(|z|^{2n})^{1/n} = |z|^2$. Il faut $|z|^2 < 1 \implies |z| < 1$.

Donc $R=1$.

Alternativement, par substitution $w = z^2$ dans la série $\sum w^n$ ($R_w=1$), on trouve $|z^2| < 1 \Rightarrow |z| < 1$.

Contre-exemples

• Inapplicabilité de d’Alembert :

  Pour la série $1 + 2z + z^2 + 2z^3 + z^4 + \dots$, le quotient $|a_{n+1}/a_n|$ oscille entre $2$ et $1/2$. La limite n’existe pas. On ne peut pas utiliser la formule simplifiée de d’Alembert, il faut utiliser la limite sup (Cauchy) ou un encadrement.

Concepts Liés

• Critère de d’Alembert pour les séries numériques : C’est l’origine de la méthode de calcul pour $R$.

Applications

• Déterminer le domaine de validité d’un développement en série.

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Concept 3: Propriétés de la Somme (Continuité, Dérivation, Intégration)

Prérequis

• Convergence uniforme.
• Théorèmes d’interversion limites/sommes.
• Dérivation et intégration des fonctions.

Définition

Sur son disque de convergence ouvert $D_R$, la somme $s(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n$ possède des propriétés de régularité très fortes.

1. Continuité : La fonction somme $s$ est continue sur $D_R$.

2. Dérivation (cas réel) : Si la variable est réelle $t \in ]-R, R[$, la fonction $s(t)$ est indéfiniment dérivable ($C^\infty$). La dérivée s’obtient en dérivant terme à terme :

   $s'(t) = \sum_{n=1}^{+\infty} n a_n t^{n-1}$

   Le rayon de convergence de la série dérivée est le même, $R$.

3. Intégration (cas réel) : La fonction est intégrable terme à terme sur tout segment inclus dans $]-R, R[$.

   $\int_0^x s(t)dt = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a_n}{n+1} x^{n+1}$

Propriétés Clés

• Conservation du Rayon : Les opérations de dérivation et d’intégration (primitive) ne changent pas le rayon de convergence $R$.

• Formule des coefficients : On peut retrouver les coefficients $a_n$ à partir des dérivées de la fonction en 0 :

  $a_n = \frac{s^{(n)}(0)}{n!}$

• Unicité : Si une fonction est développable en série entière, ce développement est unique.

Exemples

Exemple 1 : Dérivation de la série géométrique

On sait que $\frac{1}{1-t} = \sum_{n=0}^{+\infty} t^n$ pour $|t| < 1$.

En dérivant terme à terme :

$\left( \frac{1}{1-t} \right)' = \frac{1}{(1-t)^2} = \sum_{n=1}^{+\infty} n t^{n-1}$

Valable pour $|t| < 1$.

Exemple 2 : Primitive et Logarithme

On part de $\frac{1}{1+t} = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n t^n$ (substitution de $-t$ dans la géométrique).

En intégrant entre 0 et $x$ (pour $|x|<1$) :

$\ln(1+x) = \int_0^x \frac{dt}{1+t} = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{x^{n+1}}{n+1} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$

Exemple 3 : Fonction exponentielle

Soit $f(t) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{t^n}{n!}$.

$f'(t) = \sum_{n=1}^{+\infty} n \frac{t^{n-1}}{n!} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{t^{n-1}}{(n-1)!} = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{t^k}{k!} = f(t)$

La fonction est égale à sa propre dérivée, ce qui caractérise $C e^t$. Avec $f(0)=1$, on retrouve $e^t$.

Contre-exemples

• Extension au bord :

  Le théorème de continuité sur l’ouvert $D_R$ ne garantit pas la continuité sur le bord fermé, même si la série converge au bord. Cependant, le théorème d’Abel (non détaillé ici mais classique) traite ce cas spécifique (continuité radiale).

Concepts Liés

• Fonctions $C^\infty$ : Les sommes de séries entières sont une sous-classe très régulière des fonctions indéfiniment dérivables.
• Formule de Taylor : Lien direct entre les coefficients et les dérivées successives.

Applications

• Calcul de sommes de séries numériques via la valeur d’une fonction connue.
• Calcul de primitives de fonctions qui n’ont pas de primitive exprimable avec des fonctions usuelles (ex: $\int e^{-t^2} dt$).

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Concept 4: Développement en Série Entière (Taylor)

Prérequis

• Formule de Taylor avec reste (intégral ou Lagrange).
• Fonctions indéfiniment dérivables ($C^\infty$).
• Concept 3 (Lien entre $a_n$ et dérivées).

Définition

Une fonction $f$ (d’une variable réelle $t$) est dite développable en série entière en 0 s’il existe une série entière $\sum a_n t^n$ de rayon $R > 0$ telle que :

$f(t) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n t^n \quad \text{pour tout } t \in ]-r, r[ \text{ (avec } 0 < r \leq R)$

Si un tel développement existe, il est nécessairement la Série de Taylor de $f$ :

$a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}$

Propriétés Clés

• Condition nécessaire : La fonction $f$ doit être de classe $C^\infty$ au voisinage de 0.

• Condition suffisante : Si les dérivées successives sont bornées uniformément sur un intervalle (ou satisfont une majoration du type $|f^{(n)}(t)| \leq C \cdot M^n \cdot n!$), alors la fonction est développable en série entière. Plus précisément, si :

  $\exists C > 0, \rho > 0 \text{ tels que } \forall n \in \mathbb{N}, \forall t \in [-\rho, \rho], \left| \frac{f^{(n)}(t)}{n!} \right| \leq C \rho^{-n}$

  alors $f$ est égale à sa série de Taylor.

• Le fait d’être $C^\infty$ ne suffit pas (voir contre-exemple).

Exemples

Exemple 1 : Sinus et Cosinus

Pour $f(t) = \sin(t)$, les dérivées sont $\pm \sin t$ ou $\pm \cos t$, toutes majorées par 1 en valeur absolue. La condition suffisante est vérifiée.

$\sin(t) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{t^{2n+1}}{(2n+1)!} \quad (R=+\infty)$

$\cos(t) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{t^{2n}}{(2n)!} \quad (R=+\infty)$

Exemple 2 : Série du binôme

Pour $\alpha \in \mathbb{R}$, la fonction $f(t) = (1+t)^\alpha$ est développable sur $]-1, 1[$ :

$(1+t)^\alpha = 1 + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-n+1)}{n!} t^n$

Exemple 3 : Fonction impaire

Si $f$ est une fonction impaire développable en série entière, alors tous les coefficients $a_n$ d’indices pairs sont nuls (comme pour le sinus). Réciproquement pour les fonctions paires (comme le cosinus).

Contre-exemples

La fonction “plate” (Fonction $C^\infty$ non analytique)

Soit $f(t) = e^{-1/t^2}$ pour $t \neq 0$ et $f(0)=0$.

Cette fonction est $C^\infty$ sur $\mathbb{R}$.

On peut montrer que toutes ses dérivées en 0 sont nulles : $f^{(n)}(0) = 0$ pour tout $n$.

La série de Taylor est donc la série nulle $\sum 0 \cdot t^n = 0$.

Pourtant $f(t) \neq 0$ pour $t \neq 0$. La fonction n’est pas égale à la somme de sa série de Taylor au voisinage de 0. Elle n’est pas développable en série entière.

Concepts Liés

• Fonctions analytiques : Les fonctions développables en série entière sont appelées fonctions analytiques réelles.

Applications

• Approximation de fonctions complexes par des polynômes (calcul numérique).
• Résolution d’équations physiques (pendule simple $\sin \theta \approx \theta$).

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Concept 5: Opérations sur les Séries Entières

Prérequis

• Opérations sur les sommes finies et les séries.
• Produit de Cauchy.
• Composition de fonctions.

Définition

On peut effectuer des opérations algébriques sur les séries entières comme s’il s’agissait de polynômes, à condition de surveiller les rayons de convergence.

Soient $\sum a_n z^n$ ($R_a$) et $\sum b_n z^n$ ($R_b$) deux séries entières de sommes respectives $S_a(z)$ et $S_b(z)$.

1. Combinaison linéaire : $\sum (\lambda a_n + \mu b_n) z^n$ a pour somme $\lambda S_a(z) + \mu S_b(z)$.
   • Rayon $R \geq \min(R_a, R_b)$.
2. Produit (Produit de Cauchy) : $\sum c_n z^n$ avec $c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}$ a pour somme $S_a(z) S_b(z)$.
   • Rayon $R \geq \min(R_a, R_b)$.
3. Substitution : On peut substituer un polynôme ou une série entière sans terme constant dans une autre, sous conditions de convergence. Cas simple : $z \to \lambda z$, $z \to z^2$.

Propriétés Clés

• Inverse : Si $a_0 \neq 0$, la fonction $1/S_a(z)$ est développable en série entière au voisinage de 0.

Exemples

Exemple 1 : Produit

Pour calculer le développement de $e^z \cdot e^{z'}$, on utilise le produit de Cauchy des séries de $e^z$ et $e^{z'}$. On retrouve la formule du binôme et la série de $e^{z+z'}$.

Exemple 2 : Substitution

Développement de $e^{-t^2}$. On pose $u = -t^2$.

Comme $e^u = \sum \frac{u^n}{n!}$, alors :

$e^{-t^2} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-t^2)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{t^{2n}}{n!}$

Le rayon reste $R=+\infty$.

Exemple 3 : Inverse

Pour trouver le développement de $\tan(t) = \frac{\sin t}{\cos t}$, on peut écrire $\sin t \cdot (\cos t)^{-1}$. On développe d’abord $\frac{1}{\cos t}$ (puisque $\cos 0 = 1 \neq 0$, l’inverse est développable) puis on fait le produit.

Contre-exemples

• Division par zéro : Si $a_0 = 0$ (par exemple $S_a(z) = \sin z \sim z$), alors $1/S_a(z)$ tend vers l’infini en 0 et n’est pas développable en série entière (c’est une série de Laurent, hors programme ici).

Concepts Liés

• Algèbre des polynômes : Les règles de calcul sont identiques dans le domaine de convergence.

Applications

• Calcul de développements limités à des ordres élevés.
• Combinatoire (fonctions génératrices).

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Concept 6: Exponentielle Complexe

Prérequis

• Nombres complexes (forme algébrique et trigonométrique).
• Séries entières (définition).
• Trigonométrie.

Définition

On définit l’exponentielle complexe pour tout $z \in \mathbb{C}$ par la série entière (de rayon infini) :

$e^z = \exp(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n}{n!}$

Propriétés Clés

1. Relation fondamentale : $e^{z+z'} = e^z e^{z'}$.

2. Formule d’Euler : Pour tout réel $x \in \mathbb{R}$,

   $e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)$

3. Lien Exponentielle/Trigonométrie :

   $\cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}, \quad \sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$

4. Périodicité : $z \mapsto e^z$ est périodique de période $2i\pi$.

Exemples

Exemple 1 : Identité d’Euler

$e^{i\pi} = \cos(\pi) + i\sin(\pi) = -1 + 0 = -1$

D’où $e^{i\pi} + 1 = 0$.

Exemple 2 : Module et Argument

Si $z = x + iy$ (avec $x,y$ réels) :

$e^z = e^{x+iy} = e^x e^{iy} = e^x (\cos y + i \sin y)$

Module : $|e^z| = e^x$. Argument : $\arg(e^z) \equiv y [2\pi]$.

Exemple 3 : Formule de Moivre

$(\cos x + i \sin x)^n = (e^{ix})^n = e^{inx} = \cos(nx) + i \sin(nx)$

Contre-exemples

• Non-bijectivité globale : Contrairement à l’exponentielle réelle, l’exponentielle complexe n’est pas bijective sur $\mathbb{C}$ (à cause de la périodicité). $e^0 = e^{2i\pi} = 1$.

Concepts Liés

• Groupe cercle : L’application $t \mapsto e^{it}$ enroule la droite réelle sur le cercle unité.

Applications

• Linéarisation : Transformer des puissances de $\cos$ et $\sin$ en sommes de $\cos(kt)$ et $\sin(kt)$ pour intégrer facilement.
• Résolution d’équations différentielles linéaires à coefficients constants.
• Électricité et traitement du signal (notation complexe).

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Concept 7: Résolution d’Équations Différentielles par Séries Entières

Prérequis

• Équations différentielles linéaires.
• Dérivation des séries entières (Concept 3).
• Identification des coefficients (unicité).

Définition

C’est une méthode pour trouver des solutions analytiques à des équations différentielles.

On suppose que la solution s’écrit sous la forme $f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$.

On injecte cette expression et ses dérivées dans l’équation.

On obtient une relation de récurrence sur les coefficients $a_n$ en identifiant les termes de même puissance $x^k$.

Propriétés Clés

• Cette méthode permet de trouver des solutions même quand on ne connaît pas de formule explicite avec des fonctions usuelles.
• Il faut vérifier a posteriori que la série obtenue a un rayon de convergence $R > 0$.

Exemples

Exemple 1 : $f'(x) = f(x)$ avec $f(0)=1$

On pose $f(x) = \sum a_n x^n$. Alors $f'(x) = \sum (n+1)a_{n+1} x^n$.

L’équation donne $\sum (n+1)a_{n+1} x^n = \sum a_n x^n$.

Par identification : $(n+1)a_{n+1} = a_n \implies a_{n+1} = \frac{a_n}{n+1}$.

Comme $a_0 = f(0) = 1$, on trouve par récurrence $a_n = \frac{1}{n!}$.

On reconnait $f(x) = e^x$.

Exemple 2 : $f'(x) = x f(x)$

(Détaillé dans le texte). On trouve $a_{2k+1} = 0$ et $a_{2k} = \frac{a_0}{k! 2^k}$.

La solution est $f(x) = a_0 \sum \frac{1}{k!} (\frac{x^2}{2})^k = a_0 e^{x^2/2}$.

Exemple 3 : Équation $(1+t)f'(t) = \alpha f(t)$

Utilisée dans le texte pour démontrer le développement de $(1+t)^\alpha$.

La relation de récurrence obtenue est $a_{n+1} = \frac{\alpha - n}{n+1} a_n$, ce qui génère les coefficients du binôme généralisé.

Concepts Liés

• Fonctions spéciales : De nombreuses fonctions en physique (Bessel, Legendre, Hermite) sont définies comme séries entières solutions de certaines équations différentielles.

Applications

• Physique mathématique (Mécanique quantique, Électromagnétisme).