Exercices “Séries entières” (A)

Méthode : On utilise la règle de d’Alembert pour les séries numériques. On calcule la limite du quotient $\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$ où $a_n$ est le coefficient de la série entière. Si cette limite vaut $L$, alors le rayon de convergence est $R = \frac{1}{L}$.

Étapes :

1. Première série :

Ici, $a_n = \frac{n+1}{3^n}$. Calculons le quotient :

$\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{n+2}{3^{n+1}} \times \frac{3^n}{n+1} = \frac{n+2}{n+1} \times \frac{1}{3}$

Lorsque $n \to +\infty$, $\frac{n+2}{n+1} \to 1$. Donc :

$L = \lim_{n \to +\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{1}{3}$

Le rayon de convergence est $R = \frac{1}{L} = 3$.

2. Deuxième série :

Ici, $a_n = \frac{2^n}{n!}$. Calculons le quotient :

$\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{2^{n+1}}{(n+1)!} \times \frac{n!}{2^n} = \frac{2 \cdot 2^n}{(n+1) n!} \times \frac{n!}{2^n} = \frac{2}{n+1}$

Lorsque $n \to +\infty$, cette expression tend vers 0. Donc $L=0$.

Par convention, si $L=0$, le rayon est infini.

Réponse :

1. $R = 3$
2. $R = +\infty$

Méthode : On peut utiliser le critère de Cauchy (racine n-ième) adapté au terme général $u_n(z)$, ou effectuer un changement de variable pour se ramener à une série entière classique.

Étapes :

1. Méthode par changement de variable :

   Posons $Z = z^2$. La série devient $\sum_{n=1}^{+\infty} 2^n Z^n$.

   C’est une série entière en la variable $Z$ avec pour coefficient $b_n = 2^n$.

2. Calculons le rayon $R_Z$ pour la série en $Z$ :

   $\left| \frac{b_{n+1}}{b_n} \right| = \frac{2^{n+1}}{2^n} = 2 \implies L = 2$

   Donc la série converge pour $|Z| < \frac{1}{2}$.

3. Revenons à la variable $z$ :

   La condition de convergence est $|z^2| < \frac{1}{2}$.

   $|z| < \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Réponse :

$R = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Méthode : On reconnaît que $n x^n = x \cdot (n x^{n-1})$, ce qui suggère un lien avec la dérivée de $x^n$.

Étapes :

1. Rayon de convergence :

   $a_n = n$.

   $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{n+1}{n} \right| = 1 \implies R = \frac{1}{1} = 1$

2. Lien avec la série géométrique :

   On sait que pour $|x| < 1$, la série géométrique converge :

   $\sum_{n=0}^{+\infty} x^n = \frac{1}{1-x}$

3. Dérivation :

   Cette fonction est dérivable sur $]-1, 1[$. Dérivons terme à terme :

   $\frac{d}{dx} \left( \sum_{n=0}^{+\infty} x^n \right) = \sum_{n=1}^{+\infty} n x^{n-1}$

   La dérivée de $\frac{1}{1-x}$ est $\frac{1}{(1-x)^2}$.

   Donc : $\sum_{n=1}^{+\infty} n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}$.

4. Ajustement :

   Notre série est $\sum n x^n$. Il suffit de multiplier l’égalité précédente par $x$ :

   $x \cdot \sum_{n=1}^{+\infty} n x^{n-1} = \sum_{n=1}^{+\infty} n x^n = x \cdot \frac{1}{(1-x)^2}$

Réponse :

$\forall x \in ]-1, 1[, \quad \sum_{n=1}^{+\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}$

Méthode : On cherche à reconnaître la primitive d’une série connue. On dérive la série terme à terme pour voir si on obtient une forme familière.

Étapes :

1. Rayon de convergence :

   Posons $u_n(x) = (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$.

   $\left| \frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)} \right| = \frac{|x|^{2n+3}}{2n+3} \times \frac{2n+1}{|x|^{2n+1}} = |x|^2 \frac{2n+1}{2n+3}$

   La limite quand $n \to \infty$ est $|x|^2$.

   Pour converger, il faut $|x|^2 < 1 \implies |x| < 1$. Donc $R=1$.

2. Dérivation :

   Soit $S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$. Comme $S(0)=0$, on peut écrire $S(x) = \int_0^x S'(t) dt$.

   Dérivons terme à terme pour $x \in ]-1, 1[$ :

   $S'(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{d}{dx} \left( \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \right) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n x^{2n} = \sum_{n=0}^{+\infty} (-x^2)^n$

3. Sommation de la dérivée :

   On reconnaît une série géométrique de raison $-x^2$. Comme $|x|<1$, $|-x^2|<1$.

   $S'(x) = \frac{1}{1 - (-x^2)} = \frac{1}{1+x^2}$

4. Intégration :

   $S(x) = \int_0^x \frac{1}{1+t^2} dt = [\arctan(t)]_0^x = \arctan(x)$

Réponse :

$\forall x \in ]-1, 1[, \quad \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} = \arctan(x)$

Méthode : On doit ramener la fonction à la forme de la somme d’une série géométrique $\frac{1}{1-u} = \sum u^n$, valable pour $|u|<1$.

Étapes :

1. Factorisation :

   Pour faire apparaître un “1” au dénominateur, on factorise par 2 :

   $f(x) = \frac{1}{2(1 + \frac{x}{2})} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{1 - (-\frac{x}{2})}$

2. Développement :

   On pose $u = -\frac{x}{2}$. Si $|u| < 1$ (c’est-à-dire $|x| < 2$), on peut développer :

   $\frac{1}{1-u} = \sum_{n=0}^{+\infty} u^n = \sum_{n=0}^{+\infty} \left( -\frac{x}{2} \right)^n$

3. Réécriture :

   $f(x) = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{x^n}{2^n} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{2^{n+1}} x^n$

4. Rayon de convergence :

   La série géométrique converge si la raison est de module strictement inférieur à 1 :

   $\left| -\frac{x}{2} \right| < 1 \iff |x| < 2$

   Donc $R=2$.

Réponse :

$f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{2^{n+1}} x^n, \quad R=2$

Méthode : Il est souvent plus simple de calculer la dérivée de $f$, de la développer en série entière, puis d’intégrer le résultat.

Étapes :

1. Dérivation :

   $f'(x) = \frac{-1}{2-x} = \frac{-1}{2(1 - \frac{x}{2})} = -\frac{1}{2} \times \frac{1}{1 - \frac{x}{2}}$

2. Développement de la dérivée :

   Pour $|\frac{x}{2}| < 1$ (soit $|x| < 2$) :

   $f'(x) = -\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{+\infty} \left( \frac{x}{2} \right)^n = -\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{2^n} = -\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{2^{n+1}}$

3. Intégration terme à terme :

   $f(x) = f(0) + \int_0^x f'(t) dt$

   Calculons la constante $f(0) = \ln(2-0) = \ln(2)$.

   $f(x) = \ln(2) - \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{2^{n+1}} \int_0^x t^n dt$

   $f(x) = \ln(2) - \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{2^{n+1}} \frac{x^{n+1}}{n+1}$

4. Changement d’indice (optionnel pour la forme canonique) :

   Posons $k = n+1$. Si $n=0, k=1$.

   $f(x) = \ln(2) - \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{x^k}{k 2^k}$

Réponse :

$f(x) = \ln(2) - \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n 2^n} x^n, \quad R=2$

Méthode : Utiliser le développement connu de $e^u$ et effectuer la substitution $u = -x^2$. Utiliser ensuite la formule de Taylor pour identifier les coefficients.

Étapes :

1. Développement :

   On sait que $e^u = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{u^n}{n!}$ pour tout $u \in \mathbb{R}$.

   Posons $u = -x^2$.

   $e^{-x^2} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-x^2)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{n!}$

   Le rayon de convergence est infini ($R=+\infty$).

2. Identification des dérivées :

   La formule de Taylor stipule que $f(x) = \sum_{k=0}^{+\infty} a_k x^k$ avec $a_k = \frac{f^{(k)}(0)}{k!}$.

   Dans notre série, les termes sont de la forme $a_{2n} x^{2n}$ et $a_{2n+1} x^{2n+1}$.

   Observons le terme en $x^{10}$. Il correspond à $2n = 10$, donc $n=5$.

   Le coefficient devant $x^{10}$ dans la série est :

   $a_{10} = \frac{(-1)^5}{5!} = \frac{-1}{120}$

3. Calcul de la dérivée :

   On a aussi $a_{10} = \frac{f^{(10)}(0)}{10!}$.

   Donc :

   $\frac{f^{(10)}(0)}{10!} = \frac{-1}{5!} \implies f^{(10)}(0) = -\frac{10!}{5!}$

   $f^{(10)}(0) = - (10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6) = -30240$

Réponse :

$e^{-x^2} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n!} x^{2n}$

$f^{(10)}(0) = -30240$

Méthode : Utiliser la formule $\cos(nx) = \text{Re}(e^{inx})$. On ramène le problème à la somme d’une série géométrique complexe.

Étapes :

1. Passage en complexe :

   $\frac{\cos(nx)}{2^n} = \text{Re} \left( \frac{e^{inx}}{2^n} \right) = \text{Re} \left( \left( \frac{e^{ix}}{2} \right)^n \right)$

2. Sommation de la série géométrique :

   Considérons la série complexe $\sum_{n=0}^{+\infty} Z^n$ avec $Z = \frac{e^{ix}}{2}$.

   Le module est $|Z| = \frac{|e^{ix}|}{2} = \frac{1}{2} < 1$. La série converge.

   La somme vaut :

   $\sum_{n=0}^{+\infty} Z^n = \frac{1}{1-Z} = \frac{1}{1 - \frac{e^{ix}}{2}} = \frac{2}{2 - e^{ix}}$

3. Simplification algébrique :

   On cherche la partie réelle de $\frac{2}{2 - (\cos x + i \sin x)} = \frac{2}{(2-\cos x) - i \sin x}$.

   Multiplions haut et bas par le conjugué $((2-\cos x) + i \sin x)$ :

   $\frac{2 [ (2-\cos x) + i \sin x ]}{(2-\cos x)^2 + \sin^2 x}$

4. Calcul du dénominateur :

   $D = 4 - 4\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x = 4 - 4\cos x + 1 = 5 - 4\cos x$

5. Extraction de la partie réelle :

   $S = \text{Re} \left( \frac{2(2-\cos x) + 2i\sin x}{5 - 4\cos x} \right) = \frac{4 - 2\cos x}{5 - 4\cos x}$

Réponse :

$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\cos(nx)}{2^n} = \frac{4 - 2\cos(x)}{5 - 4\cos(x)}$

Méthode : On injecte la série et sa dérivée dans l’équation, on regroupe les termes de même degré, et on annule les coefficients (unicité du développement en série entière de la fonction nulle).

Étapes :

1. Injection :

   $y(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ et $y'(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} n a_n x^{n-1}$.

   L’équation devient :

   $(1-x) \sum_{n=1}^{+\infty} n a_n x^{n-1} - \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n = 0$

   $\sum_{n=1}^{+\infty} n a_n x^{n-1} - \sum_{n=1}^{+\infty} n a_n x^n - \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n = 0$

2. Réindexation :

   Dans la première somme, posons $k = n-1$ (donc $n=k+1$).

   $\sum_{k=0}^{+\infty} (k+1) a_{k+1} x^k - \sum_{n=1}^{+\infty} n a_n x^n - \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n = 0$

   Regroupons tout sous une somme générale (les termes pour $n=0$ dans la somme centrale sont nuls, donc on peut démarrer à 0) :

   $\sum_{n=0}^{+\infty} \left[ (n+1)a_{n+1} - n a_n - a_n \right] x^n = 0$

3. Relation de récurrence :

   Pour que la série soit nulle, chaque coefficient doit être nul :

   $(n+1)a_{n+1} - (n+1)a_n = 0$

   $(n+1)(a_{n+1} - a_n) = 0 \implies a_{n+1} = a_n$

4. Expression des coefficients :

   On a $a_{n+1} = a_n$ pour tout $n$.

   Donc $a_n = a_{n-1} = \dots = a_0$.

   Or, $y(0) = a_0 = 1$.

   Donc $a_n = 1$ pour tout $n$.

5. Fonction solution :

   $y(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} 1 \cdot x^n = \sum_{n=0}^{+\infty} x^n$

   C’est la série géométrique.

   $y(x) = \frac{1}{1-x}$

   Valable pour $|x| < 1$.

Réponse :

$y(x) = \frac{1}{1-x}, \quad x \in ]-1, 1[$

Méthode : Utiliser la décomposition en éléments simples de la fraction $\frac{1}{n(n+1)}$ pour séparer la série en deux sommes plus simples (souvent liées au logarithme).

Étapes :

1. Rayon de convergence :

   $a_n \sim \frac{1}{n^2}$. $\lim |a_{n+1}/a_n| = 1$. Donc $R=1$.

2. Décomposition :

   On remarque que $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$.

   Donc :

   $f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) x^n = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n} - \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n+1}$

3. Calcul des sous-sommes :

   On sait que $-\ln(1-x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n}$. C’est le premier terme.

   Pour le second terme $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n+1}$, factorisons par $1/x$ (pour $x \neq 0$) :

   $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n+1} = \frac{1}{x} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1}$

   Posons $k=n+1$. La somme devient $\sum_{k=2}^{+\infty} \frac{x^k}{k}$.

   C’est presque le logarithme, il manque le terme pour $k=1$ (qui vaut $x$).

   $\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{x^k}{k} = -\ln(1-x) \implies \sum_{k=2}^{+\infty} \frac{x^k}{k} = -\ln(1-x) - x$

   Donc le second terme est $\frac{1}{x} (-\ln(1-x) - x) = -\frac{\ln(1-x)}{x} - 1$.

4. Assemblage :

   $f(x) = -\ln(1-x) - \left( -\frac{\ln(1-x)}{x} - 1 \right)$

   $f(x) = -\ln(1-x) + \frac{\ln(1-x)}{x} + 1$

   $f(x) = 1 + \left( \frac{1}{x} - 1 \right) \ln(1-x) = 1 + \frac{1-x}{x} \ln(1-x)$

   Note : Pour $x=0$, la limite donne 0, ce qui est cohérent avec la série.

Réponse :

$f(x) = 1 + \frac{1-x}{x} \ln(1-x)$