Séries entières - fiches de révision (A)

Une série entière est une série de fonctions particulière, souvent décrite comme un "polynôme de degré infini".

Elle est définie par une suite de scalaires $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et une variable $z$ (réelle ou complexe). Son terme général est de la forme :

$u_n(z) = a_n z^n$

La série est notée $\sum a_n z^n$.

Exemple :

La série géométrique $\sum z^n$ (où $a_n = 1$ pour tout $n$) est une série entière.

D'après le Lemme d'Abel, pour toute série entière, il existe un unique nombre $R \in [0, +\infty]$ appelé rayon de convergence qui détermine le comportement de la série :

1. Convergence absolue : Pour tout $|z| < R$, la série converge absolument. L'ensemble des $z$ vérifiant cela est le disque de convergence.
2. Divergence : Pour tout $|z| > R$, la série diverge grossièrement (le terme général ne tend pas vers 0).

Cas limites :

Si $|z| = R$, le comportement est incertain et doit être étudié au cas par cas.

C'est la méthode la plus pratique lorsque les coefficients $a_n$ sont non nuls.

Étapes :

1. Calculer la limite du rapport des coefficients :

   $L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$

2. En déduire le rayon $R$ :

   $R = \frac{1}{L}$

Conventions :

• Si $L = 0$, alors $R = +\infty$.
• Si $L = +\infty$, alors $R = 0$.

Exemple :

Pour $\sum \frac{z^n}{n!}$, on a $\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1} \to 0$. Donc $R = +\infty$.

Sur son disque de convergence ouvert $D_R$ (c'est-à-dire pour $|z| < R$), la fonction somme $s(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n$ est très régulière :

1. Continuité : La fonction $s$ est continue.

2. Dérivation (variable réelle) : La fonction est indéfiniment dérivable ($C^\infty$). On obtient la dérivée en dérivant terme à terme :

   $s'(t) = \sum_{n=1}^{+\infty} n a_n t^{n-1}$

Point clé :

Le rayon de convergence de la série dérivée (et de la série primitive) est le même que celui de la série d'origine ($R$).

Si une fonction $f$ est développable en série entière au voisinage de 0, son développement est unique et correspond à sa Série de Taylor.

Les coefficients $a_n$ sont donnés par la formule :

$a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}$

C'est-à-dire :

$f(t) = f(0) + f'(0)t + \frac{f''(0)}{2!}t^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}t^n + \dots$

Cela implique que $f$ doit être de classe $C^\infty$ (indéfiniment dérivable).

1. Série Géométrique ($R=1$) :

Pour $|z| < 1$ :

$\frac{1}{1-z} = \sum_{n=0}^{+\infty} z^n = 1 + z + z^2 + \dots$

2. Exponentielle ($R=+\infty$) :

Pour tout $z \in \mathbb{C}$ :

$e^z = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n}{n!} = 1 + z + \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{6} + \dots$

Ces séries ont un rayon de convergence infini ($R=+\infty$).

1. Sinus (fonction impaire) :

Ne contient que des puissances impaires.

$\sin(t) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{t^{2n+1}}{(2n+1)!} = t - \frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!} - \dots$

2. Cosinus (fonction paire) :

Ne contient que des puissances paires.

$\cos(t) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{t^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} - \dots$

Pour tout réel $\alpha$, la fonction est développable sur $]-1, 1[$ ($R=1$) :

$(1+t)^\alpha = 1 + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-n+1)}{n!} t^n$

Cas particulier important :

Si $\alpha = -1$, on retrouve la série géométrique alternée $\frac{1}{1+t} = \sum (-1)^n t^n$.

L'exponentielle complexe est définie par la série entière $e^z = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n}{n!}$ pour tout $z \in \mathbb{C}$.

Formule d'Euler :

Pour tout réel $x \in \mathbb{R}$, l'exponentielle imaginaire relie l'analyse à la trigonométrie :

$e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)$

Cela permet d'exprimer le cosinus et le sinus :

$\cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \quad \text{et} \quad \sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$

Le produit de deux séries $\sum a_n z^n$ et $\sum b_n z^n$ est une nouvelle série entière $\sum c_n z^n$.

Les coefficients $c_n$ sont calculés par convolution :

$c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}$

Le rayon de convergence de la série produit vérifie $R \geq \min(R_a, R_b)$.

Exemple :

Pour multiplier $e^z \cdot e^z$, on utilise cette formule qui redonne le développement de $e^{2z}$.

C'est une méthode puissante pour trouver des solutions analytiques.

Méthode pas à pas :

1. Supposition : On suppose que la solution s'écrit sous la forme $y(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$.
2. Dérivation : On exprime $y'(x)$, $y''(x)$, etc., sous forme de séries.
3. Substitution : On injecte ces séries dans l'équation différentielle.
4. Identification : On regroupe les termes de même puissance $x^n$ et on identifie les coefficients à 0. Cela donne une relation de récurrence sur les $a_n$.
5. Conclusion : On détermine les $a_n$ (souvent en fonction de $a_0$) et on reconnait, si possible, une fonction usuelle.