Linéarisations - preuves (A)

Étape 1 : Formule d'addition

On utilise la formule d'addition connue :

$\cos(x + y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y)$

En posant $x = a$ et $y = a$, on obtient :

$\cos(a + a) = \cos(a)\cos(a) - \sin(a)\sin(a)$

$\cos(2a) = \cos^2(a) - \sin^2(a)$

Étape 2 : Expression en fonction du cosinus

On sait que $\sin^2(a) = 1 - \cos^2(a)$. En substituant dans le résultat précédent :

$\cos(2a) = \cos^2(a) - (1 - \cos^2(a))$

$\cos(2a) = \cos^2(a) - 1 + \cos^2(a)$

$\cos(2a) = 2\cos^2(a) - 1$

Étape 3 : Expression en fonction du sinus

On repart de la première égalité et on utilise $\cos^2(a) = 1 - \sin^2(a)$ :

$\cos(2a) = (1 - \sin^2(a)) - \sin^2(a)$

$\cos(2a) = 1 - 2\sin^2(a)$

Conclusion :

Les trois formes de la duplication du cosinus sont démontrées.

Étape 1 : Définition et développement

Par définition de la tangente :

$\tan(a+b) = \frac{\sin(a+b)}{\cos(a+b)}$

En utilisant les formules d'addition pour le sinus et le cosinus :

$\tan(a+b) = \frac{\sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)}{\cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)}$

Étape 2 : Factorisation pour faire apparaître la tangente

Pour obtenir des tangentes ($\frac{\sin}{\cos}$), on divise le numérateur et le dénominateur par le produit $\cos(a)\cos(b)$ (supposé non nul) :

$\tan(a+b) = \frac{\frac{\sin(a)\cos(b)}{\cos(a)\cos(b)} + \frac{\cos(a)\sin(b)}{\cos(a)\cos(b)}}{\frac{\cos(a)\cos(b)}{\cos(a)\cos(b)} - \frac{\sin(a)\sin(b)}{\cos(a)\cos(b)}}$

Étape 3 : Simplification

On simplifie chaque fraction :

• $\frac{\sin(a)\cos(b)}{\cos(a)\cos(b)} = \frac{\sin(a)}{\cos(a)} \cdot 1 = \tan(a)$
• $\frac{\cos(a)\sin(b)}{\cos(a)\cos(b)} = 1 \cdot \frac{\sin(b)}{\cos(b)} = \tan(b)$
• $\frac{\cos(a)\cos(b)}{\cos(a)\cos(b)} = 1$
• $\frac{\sin(a)\sin(b)}{\cos(a)\cos(b)} = \frac{\sin(a)}{\cos(a)} \cdot \frac{\sin(b)}{\cos(b)} = \tan(a)\tan(b)$

Conclusion :

$\tan(a + b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a)\tan(b)}$

Étape 1 : Rappel des formules d'addition

Écrivons les développements de sinus pour une somme et une différence :

1. $\sin(a+b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)$
2. $\sin(a-b) = \sin(a)\cos(b) - \cos(a)\sin(b)$

Étape 2 : Addition des équations

Additionnons les équations (1) et (2) membre à membre :

$\sin(a+b) + \sin(a-b) = [\sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)] + [\sin(a)\cos(b) - \cos(a)\sin(b)]$

Les termes en $\cos(a)\sin(b)$ s'annulent :

$\sin(a+b) + \sin(a-b) = 2\sin(a)\cos(b)$

Étape 3 : Isolement du produit

En divisant par 2, on obtient la formule recherchée :

$\sin(a)\cos(b) = \frac{1}{2}[\sin(a+b) + \sin(a-b)]$

Conclusion :

La formule permet de transformer un produit sinus-cosinus en une somme de sinus.

Étape 1 : Changement de variable

On cherche à exprimer $p$ et $q$ sous forme de somme et différence. Posons :

$p = a + b$

$q = a - b$

En additionnant ces deux équations : $p+q = 2a \implies a = \frac{p+q}{2}$.

En soustrayant la seconde à la première : $p-q = 2b \implies b = \frac{p-q}{2}$.

Étape 2 : Utilisation de la formule de linéarisation

Rappelons la formule de linéarisation pour un produit de cosinus (démontrable en additionnant $\cos(a+b)$ et $\cos(a-b)$) :

$\cos(a+b) + \cos(a-b) = 2\cos(a)\cos(b)$

Étape 3 : Substitution

Remplaçons $a$ et $b$ par leurs expressions en fonction de $p$ et $q$ dans l'égalité ci-dessus :

• Terme de gauche : $\cos(a+b) + \cos(a-b)$ devient $\cos(p) + \cos(q)$.
• Terme de droite : $2\cos(a)\cos(b)$ devient $2\cos\left(\frac{p+q}{2}\right)\cos\left(\frac{p-q}{2}\right)$.

Conclusion :

$\cos(p) + \cos(q) = 2 \cos\left(\frac{p+q}{2}\right) \cos\left(\frac{p-q}{2}\right)$

Étape 1 : Calcul de $\cosh^2(x)$

$\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$

$\cosh^2(x) = \left(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right)^2 = \frac{(e^x)^2 + 2e^xe^{-x} + (e^{-x})^2}{4} = \frac{e^{2x} + 2 + e^{-2x}}{4}$

Étape 2 : Calcul de $\sinh^2(x)$

$\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$

$\sinh^2(x) = \left(\frac{e^x - e^{-x}}{2}\right)^2 = \frac{(e^x)^2 - 2e^xe^{-x} + (e^{-x})^2}{4} = \frac{e^{2x} - 2 + e^{-2x}}{4}$

Étape 3 : Soustraction

$\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = \frac{e^{2x} + 2 + e^{-2x}}{4} - \frac{e^{2x} - 2 + e^{-2x}}{4}$

On met tout sur le même dénominateur :

$= \frac{(e^{2x} - e^{2x}) + (2 - (-2)) + (e^{-2x} - e^{-2x})}{4}$

$= \frac{0 + 4 + 0}{4} = 1$

Conclusion :

$\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$

Étape 1 : Expressions exponentielles

On utilise les définitions :

$\cosh(a) = \frac{e^a + e^{-a}}{2}$, $\sinh(a) = \frac{e^a - e^{-a}}{2}$ (idem pour $b$).

Étape 2 : Calcul du produit $\cosh(a)\cosh(b)$

$\cosh(a)\cosh(b) = \frac{e^a + e^{-a}}{2} \cdot \frac{e^b + e^{-b}}{2} = \frac{e^{a+b} + e^{a-b} + e^{-a+b} + e^{-a-b}}{4}$

Étape 3 : Calcul du produit $\sinh(a)\sinh(b)$

$\sinh(a)\sinh(b) = \frac{e^a - e^{-a}}{2} \cdot \frac{e^b - e^{-b}}{2} = \frac{e^{a+b} - e^{a-b} - e^{-a+b} + e^{-a-b}}{4}$

Étape 4 : Somme des deux produits

$\cosh(a)\cosh(b) + \sinh(a)\sinh(b) = \frac{(e^{a+b} + e^{a-b} + e^{-a+b} + e^{-a-b}) + (e^{a+b} - e^{a-b} - e^{-a+b} + e^{-a-b})}{4}$

Les termes mixtes $e^{a-b}$ et $e^{-a+b}$ s'annulent :

$= \frac{2e^{a+b} + 2e^{-(a+b)}}{4} = \frac{2(e^{a+b} + e^{-(a+b)})}{4} = \frac{e^{a+b} + e^{-(a+b)}}{2}$

Conclusion :

On reconnaît la définition de $\cosh(a+b)$.

$\cosh(a)\cosh(b) + \sinh(a)\sinh(b) = \cosh(a+b)$

Étape 1 : Parité du cosinus hyperbolique

Par définition : $\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$.

Calculons $\cosh(-x)$ :

$\cosh(-x) = \frac{e^{(-x)} + e^{-(-x)}}{2}$

$\cosh(-x) = \frac{e^{-x} + e^{x}}{2}$

L'addition étant commutative, $\frac{e^{-x} + e^{x}}{2} = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2} = \cosh(x)$.

Donc $\cosh$ est paire.

Étape 2 : Imparité du sinus hyperbolique

Par définition : $\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$.

Calculons $\sinh(-x)$ :

$\sinh(-x) = \frac{e^{(-x)} - e^{-(-x)}}{2}$

$\sinh(-x) = \frac{e^{-x} - e^{x}}{2}$

Factorisons par $-1$ au numérateur :

$\sinh(-x) = \frac{-(e^{x} - e^{-x})}{2} = - \left( \frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \right) = -\sinh(x)$

Donc $\sinh$ est impaire.

Étape 1 : Application de la formule d'Euler

$\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$

Étape 2 : Élévation au carré

$\sin^2(x) = \left( \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \right)^2 = \frac{(e^{ix} - e^{-ix})^2}{(2i)^2}$

Développons le numérateur (identité remarquable $(a-b)^2$) :

$(e^{ix} - e^{-ix})^2 = (e^{ix})^2 - 2(e^{ix})(e^{-ix}) + (e^{-ix})^2 = e^{i2x} - 2 + e^{-i2x}$

Calculons le dénominateur :

$(2i)^2 = 4i^2 = -4$

Étape 3 : Simplification et regroupement

$\sin^2(x) = \frac{e^{i2x} - 2 + e^{-i2x}}{-4} = -\frac{1}{4}(e^{i2x} + e^{-i2x}) + \frac{2}{4}$

$\sin^2(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \left( \frac{e^{i2x} + e^{-i2x}}{2} \right)$

Or, d'après la formule d'Euler pour le cosinus, $\cos(2x) = \frac{e^{i2x} + e^{-i2x}}{2}$.

Conclusion :

$\sin^2(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$

Étape 1 : Formule d'Euler au cube

$\cos^3(x) = \left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} (e^{ix} + e^{-ix})^3$

Étape 2 : Développement du binôme

On utilise l'identité $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ avec $a=e^{ix}$ et $b=e^{-ix}$.

Notez que $a \cdot b = e^{ix}e^{-ix} = 1$.

$(e^{ix} + e^{-ix})^3 = (e^{ix})^3 + 3(e^{ix})^2(e^{-ix}) + 3(e^{ix})(e^{-ix})^2 + (e^{-ix})^3$

$= e^{i3x} + 3e^{i2x}e^{-ix} + 3e^{ix}e^{-i2x} + e^{-i3x}$

$= e^{i3x} + 3e^{ix} + 3e^{-ix} + e^{-i3x}$

Étape 3 : Regroupement des termes conjugués

On regroupe les termes pour faire réapparaître les formules d'Euler :

$= (e^{i3x} + e^{-i3x}) + 3(e^{ix} + e^{-ix})$

On substitue dans l'expression de $\cos^3(x)$ divisée par 8 :

$\cos^3(x) = \frac{1}{8} [ (e^{i3x} + e^{-i3x}) + 3(e^{ix} + e^{-ix}) ]$

$\cos^3(x) = \frac{1}{4} \frac{e^{i3x} + e^{-i3x}}{2} + \frac{3}{4} \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$

Conclusion :

On identifie les définitions de $\cos(3x)$ et $\cos(x)$ :

$\cos^3(x) = \frac{1}{4}\cos(3x) + \frac{3}{4}\cos(x)$

Étape 1 : Écriture du produit avec Euler

On cherche à calculer le terme de droite $2\sin(x)\cos(x)$ :

$2 \sin(x) \cos(x) = 2 \cdot \left( \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \right) \cdot \left( \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \right)$

Étape 2 : Simplification algébrique

Le facteur $2$ au numérateur simplifie l'un des $2$ au dénominateur :

$= \frac{(e^{ix} - e^{-ix})(e^{ix} + e^{-ix})}{2i}$

Au numérateur, on reconnaît l'identité $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ :

$(e^{ix} - e^{-ix})(e^{ix} + e^{-ix}) = (e^{ix})^2 - (e^{-ix})^2 = e^{i2x} - e^{-i2x}$

Étape 3 : Conclusion

L'expression devient :

$\frac{e^{i2x} - e^{-i2x}}{2i}$

Ceci correspond exactement à la définition d'Euler de $\sin(2x)$.

L'égalité est donc vérifiée.