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Linéarisations et Trigonométrie

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Concept 1: Formules d’Addition et de Duplication

Prérequis

• Cercle trigonométrique : Connaissance des valeurs remarquables ($\pi/6, \pi/4, \dots$).
• Parité et périodicité : $\cos(-x) = \cos(x)$, $\sin(-x) = -\sin(x)$, etc.

Définition

Les formules d’addition relient les fonctions trigonométriques d’une somme d’angles aux fonctions des angles individuels.

Formules d’addition :

$\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$ $\cos(a - b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)$ $\sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)$ $\sin(a - b) = \sin(a)\cos(b) - \cos(a)\sin(b)$ $\tan(a + b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a)\tan(b)}$

Formules de duplication (cas particuliers où $a=b$) :

$\cos(2a) = \cos^2(a) - \sin^2(a) = 2\cos^2(a) - 1 = 1 - 2\sin^2(a)$ $\sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a)$ $\tan(2a) = \frac{2\tan(a)}{1 - \tan^2(a)}$

Propriétés Clés

• Symétrie : Notez le changement de signe pour le cosinus ($\cos(a+b)$ a un “moins”) et la conservation du signe pour le sinus.
• Universalité : Ces formules sont vraies pour tous réels $a, b$ (et complexes).
• Extension : Ces formules permettent de calculer les valeurs exactes pour des angles comme $\pi/12$ (en utilisant $\pi/3 - \pi/4$).

Exemples

Exemple 1 : Calcul exact Calculons $\cos(\frac{\pi}{12})$. On sait que $\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$. $\cos(\frac{\pi}{12}) = \cos(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{3})\cos(\frac{\pi}{4}) + \sin(\frac{\pi}{3})\sin(\frac{\pi}{4})$ $= \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

Exemple 2 : Duplication Si $\cos(x) = 0.6$ et $x \in [0, \pi/2]$, alors $\sin(x) = 0.8$. $\sin(2x) = 2 \cdot 0.8 \cdot 0.6 = 0.96$ $\cos(2x) = 2(0.6)^2 - 1 = 2(0.36) - 1 = 0.72 - 1 = -0.28$

Contre-exemples

Erreur classique de linéarité $\cos(a + b) \neq \cos(a) + \cos(b)$ Exemple : $\cos(0) = 1$, mais $\cos(\pi/2 + \pi/2) = \cos(\pi) = -1$, alors que $\cos(\pi/2) + \cos(\pi/2) = 0 + 0 = 0$.

Concepts Connexes

• Formules de l’angle moitié : Déduites des formules de duplication en posant $x = 2a$.

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Concept 2: Formules de Linéarisation et de Factorisation

Prérequis

• Concept 1 : Formules d’addition.

Définition

La linéarisation consiste à transformer des produits ou des puissances de fonctions trigonométriques en sommes. C’est crucial pour le calcul d’intégrales.

Formules de linéarisation (Carrés) : Issues de $\cos(2a)$, ces formules permettent d’abaisser le degré :

$\cos^2(a) = \frac{1 + \cos(2a)}{2}$ $\sin^2(a) = \frac{1 - \cos(2a)}{2}$

Formules de linéarisation (Produits) : Issues des formules d’addition (demi-somme et demi-différence) :

$\cos(a)\cos(b) = \frac{1}{2}[\cos(a+b) + \cos(a-b)]$ $\sin(a)\sin(b) = \frac{1}{2}[\cos(a-b) - \cos(a+b)]$ $\sin(a)\cos(b) = \frac{1}{2}[\sin(a+b) + \sin(a-b)]$

La factorisation (ou transformation de somme en produit) est l’opération inverse :

$\cos(p) + \cos(q) = 2 \cos(\frac{p+q}{2}) \cos(\frac{p-q}{2})$ $\cos(p) - \cos(q) = -2 \sin(\frac{p+q}{2}) \sin(\frac{p-q}{2})$ $\sin(p) + \sin(q) = 2 \sin(\frac{p+q}{2}) \cos(\frac{p-q}{2})$ $\sin(p) - \sin(q) = 2 \cos(\frac{p+q}{2}) \sin(\frac{p-q}{2})$

Propriétés Clés

• Calcul intégral : Il est difficile d’intégrer $\cos^2(x)$, mais facile d’intégrer $\frac{1+\cos(2x)}{2}$.
• Résolution d’équations : La factorisation permet de résoudre des équations du type $\sin(x) + \sin(3x) = 0$.

Exemples

Exemple 1 : Linéarisation pour intégration Calculer $I = \int \sin^2(x) dx$. $I = \int \frac{1 - \cos(2x)}{2} dx = \frac{1}{2} \int (1 - \cos(2x)) dx = \frac{1}{2} (x - \frac{\sin(2x)}{2}) + C$

Exemple 2 : Linéarisation de $\cos^3(x)$ On utilise Euler ou les formules pas à pas. $\cos^3(x) = \cos(x) \cdot \cos^2(x) = \cos(x) \frac{1+\cos(2x)}{2} = \frac{1}{2}\cos(x) + \frac{1}{2}\cos(x)\cos(2x)$. Or $\cos(x)\cos(2x) = \frac{1}{2}[\cos(3x) + \cos(x)]$. D’où $\cos^3(x) = \frac{1}{2}\cos(x) + \frac{1}{4}\cos(3x) + \frac{1}{4}\cos(x) = \frac{3}{4}\cos(x) + \frac{1}{4}\cos(3x)$.

Contre-exemples

Ne pas confondre linéarisation (produit $\to$ somme) et développement (fonction de somme $\to$ somme de produits). $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$ est un développement, pas une linéarisation complète (il reste des carrés). La linéarisation cherche à obtenir des termes de degré 1 ($\cos(kx)$).

Concepts Connexes

• Formules d’Euler : Méthode générale et puissante pour linéariser $\cos^n(x)\sin^m(x)$.

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Concept 3: Fonctions Hyperboliques

Prérequis

• Fonction exponentielle : $e^x$ et ses propriétés.

Définition

Les fonctions hyperboliques sont les analogues des fonctions trigonométriques, mais définies à partir d’exponentielles réelles. Elles paramètrent une hyperbole ($x^2 - y^2 = 1$) comme les fonctions trigonométriques paramètrent un cercle ($x^2 + y^2 = 1$).

Définitions :

$\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \quad (\text{Cosinus hyperbolique})$ $\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \quad (\text{Sinus hyperbolique})$ $\tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \quad (\text{Tangente hyperbolique})$

Propriétés Clés

• Parité : $\cosh$ est paire ($\cosh(-x) = \cosh(x)$), $\sinh$ est impaire ($\sinh(-x) = -\sinh(x)$).
• Relation fondamentale : $\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$
• Dérivées : $(\cosh x)' = \sinh x$ $(\sinh x)' = \cosh x$
• Formules d’addition (similaires à la trigo mais attention aux signes) : $\cosh(a+b) = \cosh(a)\cosh(b) + \sinh(a)\sinh(b)$ $\sinh(a+b) = \sinh(a)\cosh(b) + \cosh(a)\sinh(b)$

Exemples

Exemple 1 : Valeurs en 0 $\cosh(0) = \frac{1+1}{2} = 1$. $\sinh(0) = \frac{1-1}{2} = 0$.

Exemple 2 : Lien avec la géométrie Un câble suspendu par deux points prend la forme d’une courbe appelée “chaînette”, dont l’équation est de la forme $y = a \cosh(x/a)$.

Contre-exemples

Différence avec la trigo circulaire $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ (cercle), mais $\cosh^2(x) + \sinh^2(x) = \cosh(2x) \neq 1$. La relation fondamentale est bien avec un signe moins : $\cosh^2 - \sinh^2 = 1$.

Concepts Connexes

• Fonctions réciproques : $\text{argcosh}$, $\text{argsinh}$, $\text{argtanh}$ (souvent notées $\text{arcosh}$, etc.).

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Concept 4: Formules d’Euler et Lien Exponentiel

Prérequis

• Nombres complexes : $i^2 = -1$, module et argument.
• Exponentielle complexe : $e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)$.

Définition

Les formules d’Euler relient les fonctions trigonométriques à l’exponentielle complexe. Elles sont l’outil le plus puissant pour retrouver toutes les formules de linéarisation.

$\cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$ $\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$

De même pour les fonctions hyperboliques (sans le $i$) : $\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ $\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$

Formule de Moivre : Pour tout entier $n$ : $(\cos x + i \sin x)^n = \cos(nx) + i \sin(nx)$

Propriétés Clés

• Unification : La trigonométrie devient une branche de l’algèbre des exponentielles.
• Linéarisation systématique : Pour linéariser $\cos^n(x)$, on écrit $(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2})^n$, on développe avec le binôme de Newton, et on regroupe les termes $e^{ikx}$ et $e^{-ikx}$ pour reformer des cosinus ou sinus.

Exemples

Exemple 1 : Retrouver $\cos(2x)$ $\cos(2x) = \text{Re}(e^{i2x}) = \text{Re}((e^{ix})^2) = \text{Re}((\cos x + i \sin x)^2)$ $= \text{Re}(\cos^2 x - \sin^2 x + 2i \cos x \sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x$.

Exemple 2 : Linéarisation de $\sin^3(x)$ $\sin^3(x) = (\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i})^3 = \frac{-1}{8i} (e^{i3x} - 3e^{i2x}e^{-ix} + 3e^{ix}e^{-i2x} - e^{-i3x})$ $= \frac{-1}{8i} ((e^{i3x} - e^{-i3x}) - 3(e^{ix} - e^{-ix}))$ $= \frac{-1}{8i} (2i \sin(3x) - 3(2i \sin(x))) = -\frac{1}{4} \sin(3x) + \frac{3}{4} \sin(x)$.

Contre-exemples

Attention aux coefficients complexes Dans les formules d’Euler pour le sinus, ne pas oublier le $2i$ au dénominateur. $\sin(x) \neq \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}$.

Concepts Connexes

• Transformée de Fourier : Utilise intensivement l’exponentielle complexe pour analyser les fréquences.

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