Linéarisations - fiches de révision (A)

Les formules d'addition permettent de développer le cosinus ou le sinus d'une somme d'angles ($a+b$) ou d'une différence ($a-b$).

Cosinus :

$\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$

$\cos(a - b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)$

Note : Le cosinus "change" le signe (+ devient -).

Sinus :

$\sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)$

$\sin(a - b) = \sin(a)\cos(b) - \cos(a)\sin(b)$

Note : Le sinus "conserve" le signe et mélange les fonctions.

Pour la tangente, la formule s'exprime sous forme de fraction :

$\tan(a + b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a)\tan(b)}$

Moyen mnémotechnique :

Au numérateur, on a la "somme" des tangentes (comme le signe dans la parenthèse). Au dénominateur, le signe est opposé ($1 - \dots$).

Pour la différence $\tan(a-b)$, on inverse simplement les signes :

$\tan(a - b) = \frac{\tan(a) - \tan(b)}{1 + \tan(a)\tan(b)}$

Ces formules sont des cas particuliers des formules d'addition où $a=b$.

Pour le sinus :

$\sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a)$

Pour le cosinus (3 formes possibles) :

La forme de base :

$\cos(2a) = \cos^2(a) - \sin^2(a)$

En utilisant $\cos^2(a) + \sin^2(a) = 1$, on obtient deux autres formes utiles :

1. En fonction du cosinus uniquement : $\cos(2a) = 2\cos^2(a) - 1$
2. En fonction du sinus uniquement : $\cos(2a) = 1 - 2\sin^2(a)$

Définition :

La linéarisation est l'opération qui consiste à transformer un produit ou une puissance de fonctions trigonométriques (comme $\cos^2(x)$ ou $\sin(x)\cos(x)$) en une somme de termes du premier degré (comme $\cos(2x)$, $\sin(3x)$, etc.).

Utilité principale :

Elle est essentielle pour le calcul intégral.

Il est difficile d'intégrer directement $\int \cos^2(x) dx$, mais très facile d'intégrer sa forme linéarisée $\int \frac{1+\cos(2x)}{2} dx$.

Ces formules permettent d'abaisser le degré de 2 à 1. Elles sont issues des formules de $\cos(2a)$.

Formules :

$\cos^2(a) = \frac{1 + \cos(2a)}{2}$

$\sin^2(a) = \frac{1 - \cos(2a)}{2}$

Détails :

• Pour le cosinus, on utilise un signe plus ($+$).
• Pour le sinus, on utilise un signe moins ($-$).

Ces formules transforment un produit de deux fonctions en une somme (ou différence).

Formules :

$\cos(a)\cos(b) = \frac{1}{2}[\cos(a+b) + \cos(a-b)]$

$\sin(a)\sin(b) = \frac{1}{2}[\cos(a-b) - \cos(a+b)]$

(Attention à l'ordre dans le crochet pour le produit de sinus)

$\sin(a)\cos(b) = \frac{1}{2}[\sin(a+b) + \sin(a-b)]$

La factorisation est l'opération inverse de la linéarisation. Elle est utile pour résoudre des équations type $f(x)=0$.

Formules (souvent appelées formules de Simpson) :

$\cos(p) + \cos(q) = 2 \cos\left(\frac{p+q}{2}\right) \cos\left(\frac{p-q}{2}\right)$

$\cos(p) - \cos(q) = -2 \sin\left(\frac{p+q}{2}\right) \sin\left(\frac{p-q}{2}\right)$

$\sin(p) + \sin(q) = 2 \sin\left(\frac{p+q}{2}\right) \cos\left(\frac{p-q}{2}\right)$

$\sin(p) - \sin(q) = 2 \cos\left(\frac{p+q}{2}\right) \sin\left(\frac{p-q}{2}\right)$

Les fonctions hyperboliques sont définies à partir de la fonction exponentielle réelle $e^x$.

Cosinus hyperbolique ($\cosh$) :

$\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$

(C'est la partie paire de l'exponentielle)

Sinus hyperbolique ($\sinh$) :

$\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$

(C'est la partie impaire de l'exponentielle)

Note : Elles paramètrent une hyperbole ($x^2 - y^2 = 1$).

Contrairement à la trigonométrie circulaire où $\cos^2 + \sin^2 = 1$, en hyperbolique on a :

$\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$

Autres propriétés :

• $(\cosh x)' = \sinh x$
• $(\sinh x)' = \cosh x$ (pas de signe moins ici)

Les formules d'Euler relient la trigonométrie aux nombres complexes (exponentielle complexe). Elles sont fondamentales pour linéariser n'importe quelle puissance.

Formules :

$\cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$

$\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$

Attention :

Ne pas oublier le nombre imaginaire $i$ au dénominateur pour le sinus.

La formule de Moivre permet de calculer une puissance d'un nombre complexe de module 1.

Pour tout entier $n$ :

$(\cos x + i \sin x)^n = \cos(nx) + i \sin(nx)$

Utilisation :

Elle est souvent utilisée en combinaison avec le binôme de Newton pour exprimer $\cos(nx)$ et $\sin(nx)$ en fonction de puissances de $\cos(x)$ et $\sin(x)$.

Étapes :

1. Remplacer la fonction par sa formule d'Euler :

   $\sin^3(x) = \left(\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}\right)^3$

2. Développer le numérateur (Binôme de Newton $(a-b)^3$) :

   $= \frac{1}{(2i)^3} (e^{i3x} - 3e^{i2x}e^{-ix} + 3e^{ix}e^{-i2x} - e^{-i3x})$

   $= \frac{-1}{8i} (e^{i3x} - 3e^{ix} + 3e^{-ix} - e^{-i3x})$

3. Regrouper les termes conjugués ($e^{ikx}$ et $e^{-ikx}$) :

   $= \frac{-1}{8i} [(e^{i3x} - e^{-i3x}) - 3(e^{ix} - e^{-ix})]$

4. Reconnaître les formules d'Euler inverses ($2i\sin(kx) = e^{ikx} - e^{-ikx}$) :

   $= \frac{-1}{8i} [2i\sin(3x) - 3(2i\sin(x))]$

   $= -\frac{1}{4}\sin(3x) + \frac{3}{4}\sin(x)$