Exercices “Linéarisations” (A)

Méthode : Nous utilisons la formule d’addition du sinus : $\sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)$.

Étapes :

1. Identifions les angles $a$ et $b$ :

   $a = \frac{\pi}{3} \quad \text{et} \quad b = \frac{\pi}{4}$

2. Rappelons les valeurs remarquables nécessaires :

   $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$

   $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. Appliquons la formule :

   $\sin\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$

4. Substituons les valeurs :

   $= \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

5. Simplifions l’expression :

   $= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}$

Réponse : $\sin\left(\frac{7\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Méthode : Pour calculer $\sin(2x)$, nous avons besoin de la formule $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$. Il nous manque la valeur de $\sin(x)$, que nous trouverons via l’identité fondamentale, en faisant attention au signe.

Étapes :

1. Utilisons l’identité fondamentale $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ pour trouver $\sin^2(x)$ :

   $\left(-\frac{3}{5}\right)^2 + \sin^2(x) = 1$

   $\frac{9}{25} + \sin^2(x) = 1 \implies \sin^2(x) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

2. Déterminons le signe de $\sin(x)$. Comme $x \in [\pi, \frac{3\pi}{2}]$, le sinus est négatif.

   $\sin(x) = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}$

3. Appliquons la formule de duplication :

   $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$

   $\sin(2x) = 2\left(-\frac{4}{5}\right)\left(-\frac{3}{5}\right)$

4. Calculons le produit :

   $\sin(2x) = 2 \cdot \frac{12}{25} = \frac{24}{25}$

Réponse : $\sin(2x) = \frac{24}{25}$

Méthode : Nous utilisons la formule de linéarisation pour un produit cosinus-sinus :

$\sin(a)\cos(b) = \frac{1}{2}[\sin(a+b) + \sin(a-b)]$. Notez que la formule standard place souvent le sinus en premier, mais la multiplication est commutative.

Étapes :

1. Identifions $a$ et $b$. Pour utiliser la forme $\sin(a)\cos(b)$, posons $a=2x$ (l’argument du sinus) et $b=3x$ (l’argument du cosinus).

   $\sin(2x)\cos(3x) = \frac{1}{2}[\sin(2x+3x) + \sin(2x-3x)]$

2. Effectuons les additions dans les arguments :

   $= \frac{1}{2}[\sin(5x) + \sin(-x)]$

3. Utilisons la parité du sinus ($\sin(-x) = -\sin(x)$) pour simplifier :

   $= \frac{1}{2}[\sin(5x) - \sin(x)]$

4. Distribuons le facteur (optionnel) :

   $= \frac{1}{2}\sin(5x) - \frac{1}{2}\sin(x)$

Réponse : $\cos(3x)\sin(2x) = \frac{1}{2}\sin(5x) - \frac{1}{2}\sin(x)$

Méthode : Nous utilisons la formule de factorisation (Simpson) : $\cos(p) + \cos(q) = 2\cos(\frac{p+q}{2})\cos(\frac{p-q}{2})$. Une fois factorisée, l’équation devient un produit nul.

Étapes :

1. Appliquons la formule avec $p=3x$ et $q=x$ (l’ordre n’importe pas pour la somme) :

   $\cos(3x) + \cos(x) = 2\cos\left(\frac{3x+x}{2}\right)\cos\left(\frac{3x-x}{2}\right)$

   $= 2\cos(2x)\cos(x)$

2. L’équation devient :

   $2\cos(2x)\cos(x) = 0$

3. Un produit est nul si l’un au moins de ses facteurs est nul :

   $\cos(2x) = 0 \quad \text{ou} \quad \cos(x) = 0$

4. Résolvons $\cos(x) = 0$ :

   $x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$

5. Résolvons $\cos(2x) = 0$ :

   $2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$

   (Note : L’ensemble des solutions de la deuxième équation ne contient pas totalement la première, nous devons garder les deux séries ou les unir).

Réponse : $S = \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \cup \left\{ \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2} \mid k \in \mathbb{Z} \right\}$

Méthode : Nous allons appliquer la formule de linéarisation du carré $\sin^2(a) = \frac{1-\cos(2a)}{2}$ deux fois successivement.

Étapes :

1. Écrivons $\sin^4(x)$ comme le carré de $\sin^2(x)$ :

   $\sin^4(x) = (\sin^2(x))^2 = \left(\frac{1 - \cos(2x)}{2}\right)^2$

2. Développons l’identité remarquable au numérateur :

   $= \frac{1 - 2\cos(2x) + \cos^2(2x)}{4}$

   $= \frac{1}{4} - \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{4}\cos^2(2x)$

3. Il reste un terme au carré : $\cos^2(2x)$. Appliquons la formule de linéarisation $\cos^2(u) = \frac{1+\cos(2u)}{2}$ avec $u=2x$ :

   $\cos^2(2x) = \frac{1 + \cos(4x)}{2}$

4. Substituons dans l’expression principale :

   $f(x) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{4}\left(\frac{1 + \cos(4x)}{2}\right)$

5. Simplifions et regroupons les constantes :

   $f(x) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\cos(4x)$

   $f(x) = \left(\frac{2}{8} + \frac{1}{8}\right) - \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x)$

Réponse : $\sin^4(x) = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x)$

Méthode : Nous remplaçons $\cos(x)$ et $\sin(x)$ par leurs définitions exponentielles, développons, puis regroupons pour retrouver des fonctions trigonométriques.

Étapes :

1. Rappelons les formules d’Euler :

   $\cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}, \quad \sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$

2. Substituons dans $g(x)$ :

   $g(x) = \left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right) \left(\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}\right)^2$

3. Calculons le carré du sinus. Attention $(2i)^2 = -4$ :

   $\left(\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}\right)^2 = \frac{e^{i2x} - 2e^{ix}e^{-ix} + e^{-i2x}}{-4} = \frac{e^{i2x} - 2 + e^{-i2x}}{-4}$

4. Multiplions par le cosinus :

   $g(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)(e^{i2x} - 2 + e^{-i2x})$

   $= -\frac{1}{8} (e^{ix} + e^{-ix})(e^{i2x} - 2 + e^{-i2x})$

5. Développons le produit :

   $(e^{ix} + e^{-ix})(e^{i2x} - 2 + e^{-i2x}) = e^{i3x} - 2e^{ix} + e^{-ix} + e^{ix} - 2e^{-ix} + e^{-i3x}$

   $= (e^{i3x} + e^{-i3x}) - (e^{ix} + e^{-ix})$

6. Réinsérons dans l’expression de $g(x)$ et reconnaissons les cosinus ($e^{iku} + e^{-iku} = 2\cos(ku)$) :

   $g(x) = -\frac{1}{8} [2\cos(3x) - 2\cos(x)]$

   $g(x) = -\frac{1}{4}\cos(3x) + \frac{1}{4}\cos(x)$

Réponse : $\cos(x)\sin^2(x) = \frac{1}{4}\cos(x) - \frac{1}{4}\cos(3x)$

Méthode : Nous utilisons la relation fondamentale de la trigonométrie hyperbolique $\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$. Contrairement au cas circulaire, $\cosh(x)$ est toujours positif pour $x$ réel.

Étapes :

1. Isolons $\cosh^2(x)$ dans la relation fondamentale :

   $\cosh^2(x) = 1 + \sinh^2(x)$

2. Calculons la valeur :

   $\cosh^2(x) = 1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 1 + \frac{9}{16} = \frac{16+9}{16} = \frac{25}{16}$

3. Prenons la racine carrée. Comme $\cosh(x) \geq 1 > 0$ pour tout réel :

   $\cosh(x) = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$

4. Calculons la tangente hyperbolique par définition $\tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}$ :

   $\tanh(x) = \frac{3/4}{5/4} = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{3}{5}$

Réponse : $\cosh(x) = \frac{5}{4}, \quad \tanh(x) = \frac{3}{5}$

Méthode : La méthode la plus sûre est de revenir à la définition exponentielle de $\cosh$ et $\sinh$. Cela transformera l’équation en une équation polynômiale en $X = e^x$.

Étapes :

1. Remplaçons par les définitions :

   $2\left(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right) + \left(\frac{e^x - e^{-x}}{2}\right) = 4$

2. Simplifions (multiplions tout par 2 pour éliminer les fractions) :

   $2(e^x + e^{-x}) + (e^x - e^{-x}) = 8$

   $2e^x + 2e^{-x} + e^x - e^{-x} = 8$

   $3e^x + e^{-x} = 8$

3. Multiplions tout par $e^x$ (qui est strictement positif) pour éliminer $e^{-x}$ :

   $3(e^x)^2 + 1 = 8e^x$

   $3(e^x)^2 - 8e^x + 1 = 0$

4. Posons $X = e^x$. Nous résolvons l’équation quadratique $3X^2 - 8X + 1 = 0$.

   $\Delta = (-8)^2 - 4(3)(1) = 64 - 12 = 52$

   $X = \frac{8 \pm \sqrt{52}}{6} = \frac{8 \pm 2\sqrt{13}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{13}}{3}$

5. Les deux solutions pour $X$ sont positives ($\sqrt{13} \approx 3.6$, donc $4-\sqrt{13} > 0$), donc valides pour une exponentielle.

   $e^x = \frac{4 + \sqrt{13}}{3} \quad \text{ou} \quad e^x = \frac{4 - \sqrt{13}}{3}$

6. Prenons le logarithme népérien :

   $x_1 = \ln\left(\frac{4 + \sqrt{13}}{3}\right), \quad x_2 = \ln\left(\frac{4 - \sqrt{13}}{3}\right)$

Réponse : $S = \left\{ \ln\left(\frac{4 - \sqrt{13}}{3}\right), \ln\left(\frac{4 + \sqrt{13}}{3}\right) \right\}$

Méthode : Nous utilisons $(\cos x + i\sin x)^3 = \cos(3x) + i\sin(3x)$. Nous développons le membre de gauche et identifions la partie réelle.

Étapes :

1. Développons $(\cos x + i\sin x)^3$ avec le binôme de Newton $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ :

   $(\cos x + i\sin x)^3 = \cos^3 x + 3\cos^2 x (i\sin x) + 3\cos x (i\sin x)^2 + (i\sin x)^3$

2. Simplifions les puissances de $i$ ($i^2 = -1, i^3 = -i$) :

   $= \cos^3 x + 3i\cos^2 x \sin x - 3\cos x \sin^2 x - i\sin^3 x$

3. Regroupons les parties réelles et imaginaires :

   $\text{Re} = \cos^3 x - 3\cos x \sin^2 x$

   $\text{Im} = 3\cos^2 x \sin x - \sin^3 x$

4. D’après Moivre, la partie réelle est égale à $\cos(3x)$ :

   $\cos(3x) = \cos^3 x - 3\cos x \sin^2 x$

5. Pour n’avoir que du cosinus, remplaçons $\sin^2 x$ par $1 - \cos^2 x$ :

   $\cos(3x) = \cos^3 x - 3\cos x (1 - \cos^2 x)$

   $\cos(3x) = \cos^3 x - 3\cos x + 3\cos^3 x$

6. Simplifions :

   $\cos(3x) = 4\cos^3 x - 3\cos x$

Réponse : $\cos(3x) = 4\cos^3(x) - 3\cos(x)$

Méthode : Nous allons calculer la dérivée première $y'$, puis la dérivée seconde $y''$, et substituer dans l’équation pour vérifier l’égalité.

Étapes :

1. Rappelons les dérivées des fonctions composées (règle de la chaîne) :

   $(\cosh(u))' = u' \sinh(u) \quad \text{et} \quad (\sinh(u))' = u' \cosh(u)$

   Ici $u = 2x$, donc $u' = 2$.

2. Calculons $y'(x)$ :

   $y'(x) = 5(2\sinh(2x)) - 3(2\cosh(2x))$

   $y'(x) = 10\sinh(2x) - 6\cosh(2x)$

3. Calculons $y''(x)$ en dérivant $y'(x)$ :

   $y''(x) = 10(2\cosh(2x)) - 6(2\sinh(2x))$

   $y''(x) = 20\cosh(2x) - 12\sinh(2x)$

4. Factorisons par 4 pour faire apparaître l’expression originale de $y(x)$ :

   $y''(x) = 4(5\cosh(2x) - 3\sinh(2x))$

   $y''(x) = 4y(x)$

5. Vérifions l’équation différentielle :

   $y'' - 4y = 4y - 4y = 0$

   L’égalité est vérifiée.

Réponse : La fonction $y(x)$ vérifie bien $y'' = 4y$, donc $y'' - 4y = 0$.