Développements Limités - preuves (A)

Étape 1 : Écriture de la différence

Supposons que $f$ admette deux écritures :

$f(x) = P_n(x) + o(x^n)$

$f(x) = Q_n(x) + o(x^n)$

Par soustraction, nous obtenons :

$0 = P_n(x) - Q_n(x) + o(x^n) - o(x^n)$

Soit $D_n(x) = P_n(x) - Q_n(x)$. Comme la différence de deux fonctions négligeables devant $x^n$ reste négligeable devant $x^n$, on a :

$D_n(x) = o(x^n)$

Étape 2 : Raisonnement sur les coefficients

$D_n$ est un polynôme de degré au plus $n$. Supposons que $D_n$ ne soit pas le polynôme nul.

Il existe alors un terme non nul de plus bas degré $k$ (avec $0 \le k \le n$).

$D_n(x) = a_k x^k + a_{k+1} x^{k+1} + \dots + a_m x^m$

avec $a_k \neq 0$.

Divisons l'égalité $D_n(x) = o(x^n)$ par $x^k$ :

$\frac{D_n(x)}{x^k} = a_k + a_{k+1} x + \dots + a_m x^{m-k}$

Étape 3 : Passage à la limite

Or, on sait que $D_n(x) = o(x^n)$, ce qui implique $D_n(x) = x^n \epsilon(x)$ avec $\epsilon(x) \to 0$.

$\frac{D_n(x)}{x^k} = x^{n-k} \epsilon(x)$

Comme $k \le n$, la limite de cette expression quand $x \to 0$ est 0.

Ainsi, en passant à la limite dans l'expression polynomiale :

$\lim_{x \to 0} (a_k + a_{k+1} x + \dots) = a_k = 0$

Cela contredit l'hypothèse $a_k \neq 0$.

Conclusion

Le polynôme différence $D_n$ doit avoir tous ses coefficients nuls. Donc $P_n = Q_n$. La partie régulière est unique.

Étape 1 : Expression en $-x$

On a le DL en 0 :

$f(x) = P_n(x) + o(x^n)$

Puisque cette égalité est vraie au voisinage de 0, elle est vraie pour $-x$. Remplaçons $x$ par $-x$ :

$f(-x) = P_n(-x) + o((-x)^n)$

On sait que $o((-x)^n) = o((-1)^n x^n) = o(x^n)$ (le signe n'importe pas pour la négligeabilité).

Donc :

$f(-x) = P_n(-x) + o(x^n)$

Étape 2 : Utilisation de la parité

Comme $f$ est paire, $f(x) = f(-x)$. En égalisant les deux expressions :

$P_n(x) + o(x^n) = P_n(-x) + o(x^n)$

Cela signifie que $f$ admet $P_n(-x)$ comme partie régulière de son DL.

Étape 3 : Conclusion par unicité

D'après la propriété d'unicité du DL, la partie régulière est unique. Donc :

$P_n(x) = P_n(-x)$

Un polynôme qui vérifie $P(x) = P(-x)$ est un polynôme pair (il ne contient que des puissances paires de $x$).

En effet, si $P_n(x) = \sum a_k x^k$, alors $\sum a_k x^k = \sum a_k (-1)^k x^k$. Par identification des coefficients, pour tout $k$ impair, $a_k = -a_k$, d'où $a_k = 0$.

Conclusion

La partie régulière du DL d'une fonction paire est paire.

Étape 1 : Décomposition du polynôme

On sépare la partie régulière $P_n(x)$ en deux parties : les termes de degré $\le p$ et ceux de degré $> p$.

$f(x) = \left( \sum_{k=0}^p a_k x^k \right) + \left( \sum_{k=p+1}^n a_k x^k \right) + o(x^n)$

Étape 2 : Analyse de la négligeabilité

Regardons la deuxième somme. Chaque terme est de la forme $a_k x^k$ avec $k \ge p+1 > p$.

On sait que si $k > p$, $\lim_{x \to 0} \frac{x^k}{x^p} = \lim_{x \to 0} x^{k-p} = 0$.

Donc $x^k = o(x^p)$ pour tout $k > p$.

La somme finie de termes négligeables devant $x^p$ est elle-même un $o(x^p)$.

$\sum_{k=p+1}^n a_k x^k = o(x^p)$

Étape 3 : Analyse du reste initial

On a le terme $o(x^n)$.

Comme $n > p$, on a a fortiori $o(x^n) \subset o(x^p)$.

(En effet, si une fonction est négligeable devant $x^n$, elle tend vers 0 encore plus vite que $x^p$, donc elle est négligeable devant $x^p$).

Conclusion

$f(x) = \left( \sum_{k=0}^p a_k x^k \right) + o(x^p) + o(x^p)$

$f(x) = P_p(x) + o(x^p)$

Cela prouve que l'on obtient le DL d'ordre inférieur simplement en supprimant les termes de haut degré.

Étape 1 : Définition

Soit $u(x)$ une fonction telle que $u(x) = o(x^n)$.

Par définition, il existe une fonction $\epsilon$ définie au voisinage de 0 telle que :

$u(x) = x^n \epsilon(x) \quad \text{avec} \quad \lim_{x \to 0} \epsilon(x) = 0$

Étape 2 : Multiplication

Considérons le produit $v(x) = x^p \cdot u(x)$.

En remplaçant $u(x)$, on obtient :

$v(x) = x^p \cdot (x^n \epsilon(x)) = x^{p+n} \epsilon(x)$

Étape 3 : Conclusion

L'expression obtenue est exactement de la forme $x^{N} \epsilon(x)$ avec $N = n+p$ et $\epsilon(x) \to 0$.

C'est donc la définition de $o(x^{n+p})$.

$x^p \cdot o(x^n) = o(x^{n+p})$

Étape 1 : Dérivées successives

Soit $f(x) = e^x$. La fonction exponentielle est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$.

Calculons ses dérivées :

$f'(x) = e^x$

$f''(x) = e^x$

Par récurrence, pour tout entier $k \ge 0$, la dérivée $k$-ième est :

$f^{(k)}(x) = e^x$

Étape 2 : Évaluation en 0

On évalue ces dérivées au point $x=0$ :

$f^{(k)}(0) = e^0 = 1$

Ceci est valable pour tout $k$ de 0 à $n$.

Étape 3 : Application de Taylor-Young

Le théorème de Taylor-Young énonce que :

$f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k + o(x^n)$

En remplaçant $f^{(k)}(0)$ par 1 :

$e^x = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} x^k + o(x^n)$

Conclusion

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n)$

Étape 1 : Calcul des dérivées

Soit $f(x) = \cos(x)$.

$f^{(0)}(x) = \cos(x)$

$f^{(1)}(x) = -\sin(x)$

$f^{(2)}(x) = -\cos(x)$

$f^{(3)}(x) = \sin(x)$

$f^{(4)}(x) = \cos(x)$

Le cycle recommence.

Étape 2 : Évaluation en 0

$f^{(0)}(0) = \cos(0) = 1$

$f^{(1)}(0) = -\sin(0) = 0$

$f^{(2)}(0) = -1$

$f^{(3)}(0) = 0$

$f^{(4)}(0) = 1$

Généralisation :

• Si $k$ est impair ($k=2p+1$), $f^{(k)}(0) = 0$.
• Si $k$ est pair ($k=2p$), $f^{(2p)}(0) = (-1)^p$.

Étape 3 : Formule de Taylor-Young

$\cos(x) = \sum_{j=0}^{2n} \frac{f^{(j)}(0)}{j!} x^j + o(x^{2n})$

Les termes impairs sont nuls. On ne garde que les indices pairs $j=2k$.

Le coefficient du terme $x^{2k}$ est $\frac{(-1)^k}{(2k)!}$.

Conclusion

$\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n})$

Étape 1 : Identité géométrique

Pour tout $x \neq 1$, on a l'identité algébrique exacte :

$\sum_{k=0}^n x^k = 1 + x + x^2 + \dots + x^n = \frac{1 - x^{n+1}}{1-x}$

Étape 2 : Réécriture

On peut réécrire cette égalité pour isoler $\frac{1}{1-x}$ :

$\frac{1}{1-x} - \frac{x^{n+1}}{1-x} = \sum_{k=0}^n x^k$

$\frac{1}{1-x} = \left( \sum_{k=0}^n x^k \right) + \frac{x^{n+1}}{1-x}$

Étape 3 : Analyse du reste

Analysons le terme $R(x) = \frac{x^{n+1}}{1-x}$.

On veut montrer que $R(x) = o(x^n)$, c'est-à-dire que $\frac{R(x)}{x^n} \to 0$ quand $x \to 0$.

$\frac{R(x)}{x^n} = \frac{x^{n+1}}{x^n (1-x)} = \frac{x}{1-x}$

Quand $x \to 0$, $\frac{x}{1-x} \to 0$.

Donc le terme $\frac{x^{n+1}}{1-x}$ est bien un $o(x^n)$.

Conclusion

$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \dots + x^n + o(x^n)$

Étape 1 : DL de la dérivée

On sait que $(\ln(1+x))' = \frac{1}{1+x}$.

Le DL de $\frac{1}{1+x}$ (somme géométrique alternée) à l'ordre $n$ est :

$\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots + (-1)^n x^n + o(x^n)$

Étape 2 : Intégration

On intègre cette égalité entre 0 et $x$.

$\int_0^x \frac{1}{1+t} dt = \int_0^x \left( \sum_{k=0}^n (-1)^k t^k \right) dt + \int_0^x o(t^n) dt$

Le membre de gauche donne : $[\ln(1+t)]_0^x = \ln(1+x) - \ln(1) = \ln(1+x)$.

Le membre de droite (partie polynomiale) donne :

$\sum_{k=0}^n (-1)^k \left[ \frac{t^{k+1}}{k+1} \right]_0^x = \sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{x^{k+1}}{k+1}$

Ce qui développe en : $x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$

Étape 3 : Intégration du reste

La primitive d'une fonction négligeable devant $x^n$ est négligeable devant $x^{n+1}$ (propriété d'intégration des DL).

$\int_0^x o(t^n) dt = o(x^{n+1})$

Conclusion

$\ln(1+x) = \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k+1} x^{k+1} + o(x^{n+1})$

En changeant l'indice $j=k+1$, on retrouve la formule classique.

Étape 1 : DL de la dérivée

La dérivée est $f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$.

On utilise le DL usuel de $\frac{1}{1+u}$ en 0 à l'ordre 1 (car $u=x^2$, cela donnera de l'ordre 2 en $x$) :

$\frac{1}{1+u} = 1 - u + o(u)$

En posant $u = x^2$ (qui tend vers 0) :

$\frac{1}{1+x^2} = 1 - x^2 + o(x^2)$

Étape 2 : Intégration

On intègre l'égalité :

$\arctan(x) - \arctan(0) = \int_0^x (1 - t^2 + o(t^2)) dt$

Comme $\arctan(0) = 0$ :

$\arctan(x) = [t - \frac{t^3}{3}]_0^x + \int_0^x o(t^2) dt$

Étape 3 : Conclusion

L'intégrale du reste $o(t^2)$ devient $o(x^3)$.

$\arctan(x) = x - \frac{x^3}{3} + o(x^3)$

(Note : On remarque qu'il n'y a pas de terme en $x^2$ dans le résultat final, ce qui est cohérent car $\arctan$ est une fonction impaire).

Étape 1 : DL de $e^x$

On utilise le DL de l'exponentielle à l'ordre 2 en 0 :

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)$

Étape 2 : Substitution dans le quotient

Substituons cette expression dans la fraction :

$\frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \frac{(1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)) - 1 - x}{x^2}$

Les termes constants et en $x$ s'annulent :

$= \frac{\frac{x^2}{2} + o(x^2)}{x^2}$

Étape 3 : Simplification et limite

On divise chaque terme par $x^2$ :

$= \frac{1}{2} + \frac{o(x^2)}{x^2}$

Par définition du petit o, $\lim_{x \to 0} \frac{o(x^2)}{x^2} = 0$.

Conclusion

$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{2} + \epsilon(x) \right) = \frac{1}{2}$