Développements Limités - fiches de révision (A)

C'est l'approximation d'une fonction $f$ par un polynôme $P_n$ au voisinage de 0, avec une erreur négligeable devant $x^n$.

Définition :

$f(x) = P_n(x) + o(x^n)$

Composantes :

• $P_n(x)$ : La partie régulière. C'est un polynôme de degré $\le n$.
• $o(x^n)$ : Le reste (notation de Landau). C'est une fonction qui tend vers 0 plus vite que $x^n$ lorsque $x \to 0$.

Exemple :

Pour $e^x$ en 0 à l'ordre 1 : $e^x = 1 + x + o(x)$.

Si une fonction $f$ est $n$ fois dérivable en 0, son développement limité est donné par :

$f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k + o(x^n)$

Forme développée :

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + o(x^n)$

À retenir :

Les coefficients du polynôme dépendent directement des dérivées successives de la fonction en 0 divisées par les factorielles correspondantes.

La parité de la fonction simplifie l'écriture de sa partie régulière :

• Si $f$ est PAIRE ($f(-x) = f(x)$) :

  La partie régulière ne contient que des puissances paires de $x$.

  Exemple : $\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$ (pas de terme en $x$).

• Si $f$ est IMPAIRE ($f(-x) = -f(x)$) :

  La partie régulière ne contient que des puissances impaires de $x$.

  Exemple : $\sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$ (pas de terme constant ni en $x^2$).

Astuce : Cela permet de détecter rapidement des erreurs de calcul.

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n)$

Points clés :

• Tous les signes sont positifs (+).
• On divise par la factorielle de la puissance ($n!$).
• C'est le DL "de base" à connaître absolument.

Cosinus (fonction paire) :

$\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots + (-1)^p \frac{x^{2p}}{(2p)!} + o(x^{2p})$

Sinus (fonction impaire) :

$\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots + (-1)^p \frac{x^{2p+1}}{(2p+1)!} + o(x^{2p+1})$

Moyens mnémotechniques :

• Les signes sont alternés (+ - + -).
• Il y a des factorielles au dénominateur.
• $\cos$ commence par 1 (car $\cos(0)=1$) et n'a que des puissances paires.
• $\sin$ commence par $x$ (car $\sin(x) \sim x$) et n'a que des puissances impaires.

$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots + (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} + o(x^n)$

Attention (Pièges fréquents) :

1. Le dénominateur est un entier simple ($n$), PAS une factorielle ($n!$).
2. Le développement commence à $x$ (pas de terme constant car $\ln(1)=0$).
3. Les signes sont alternés.

Pour $\ln(1-x)$ : Tous les signes sont négatifs ($-x - \frac{x^2}{2} - \dots$).

$(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 + \dots + \frac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-n+1)}{n!} x^n + o(x^n)$

Cas particuliers usuels :

• $\frac{1}{1+x} = (1+x)^{-1} = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots + (-1)^n x^n + o(x^n)$ (Série géométrique alternée).
• $\frac{1}{1-x} = (1-x)^{-1} = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots + x^n + o(x^n)$ (Série géométrique).
• $\sqrt{1+x} = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + o(x^2)$ (pour $\alpha = 1/2$).

Méthode :

1. Écrire les DL de $f$ et $g$ à l'ordre $n$ : $f(x) = P_n(x) + o(x^n)$ et $g(x) = Q_n(x) + o(x^n)$.
2. Effectuer le produit des polynômes $P_n(x) \times Q_n(x)$.
3. Tronquer le résultat : ne garder que les termes de degré $\le n$.
4. Ajouter $+ o(x^n)$ à la fin.

Exemple :

Pour $e^x \sin(x)$ à l'ordre 2 :

$(1+x+\dots) \times (x+\dots) \approx x + x^2$. Les termes en $x^3$ et plus sont éliminés.

Si $f$ admet un DL à l'ordre $n$, sa primitive $F$ admet un DL à l'ordre $n+1$.

Méthode :

1. Partir du DL de la dérivée $f(x) = c_0 + c_1 x + \dots + c_n x^n + o(x^n)$.
2. Intégrer la partie régulière terme à terme : $x^k$ devient $\frac{x^{k+1}}{k+1}$.
3. Ne pas oublier la constante d'intégration $F(0)$.

$F(x) = F(0) + c_0 x + c_1 \frac{x^2}{2} + \dots + c_n \frac{x^{n+1}}{n+1} + o(x^{n+1})$

Exemple :

On retrouve le DL de $\arctan(x)$ en intégrant celui de $\frac{1}{1+x^2}$.

On cherche le DL de $g(u)$ quand $u \to 0$, avec $u = f(x)$ et $f(0)=0$.

Méthode :

1. Écrire le DL de la fonction extérieure : $g(u) = a_0 + a_1 u + a_2 u^2 + \dots + o(u^n)$.
2. Remplacer $u$ par la partie régulière du DL de $f(x)$ (sans son terme constant qui doit être nul).
3. Développer les puissances de $u$ ($u^2, u^3 \dots$).
4. Ne conserver que les termes de degré $\le n$.

Condition importante :

Il faut impérativement que $f(x) \to 0$ lorsque $x \to 0$ (terme constant de $f$ nul).

Les DL permettent de trouver le comportement local d'une fonction et donc sa limite.

Étapes :

1. Identifier l'ordre nécessaire (souvent le premier terme non nul suffit).
2. Remplacer chaque fonction de l'expression par son DL.
3. Simplifier l'expression algébriquement.
4. Conclure en prenant la limite quand $x \to 0$.

Exemple : $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$

On remplace $\sin x$ par $x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$.

Le numérateur devient $- \frac{x^3}{6} + o(x^3)$.

Le quotient devient $-1/6 + o(1)$, donc la limite est $-1/6$.