Exercices “Développements Limités”

Méthode : On calcule $f(0)$, $f'(0)$, $f''(0)$ et $f'''(0)$, puis on applique la formule :

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + o(x^3)$

Étapes :

1. Calcul des dérivées :

   • $f(x) = (1+x)^{1/2} \implies f(0) = 1$
   • $f'(x) = \frac{1}{2}(1+x)^{-1/2} \implies f'(0) = \frac{1}{2}$
   • $f''(x) = \frac{1}{2}(-\frac{1}{2})(1+x)^{-3/2} = -\frac{1}{4}(1+x)^{-3/2} \implies f''(0) = -\frac{1}{4}$
   • $f'''(x) = -\frac{1}{4}(-\frac{3}{2})(1+x)^{-5/2} = \frac{3}{8}(1+x)^{-5/2} \implies f'''(0) = \frac{3}{8}$

2. Application de la formule de Taylor-Young :

   $f(x) = 1 + \frac{1}{2}x + \frac{-1/4}{2}x^2 + \frac{3/8}{6}x^3 + o(x^3)$

   Simplifions les coefficients :

   • Terme en $x^2$ : $\frac{-1/4}{2} = -\frac{1}{8}$
   • Terme en $x^3$ : $\frac{3/8}{6} = \frac{3}{48} = \frac{1}{16}$

3. Comparaison avec la formule usuelle :

   La formule pour $(1+x)^\alpha$ est $1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{6}x^3$.

   Avec $\alpha = 1/2$ :

   • $x$ : $1/2$ (OK)
   • $x^2$ : $\frac{(1/2)(-1/2)}{2} = -1/8$ (OK)
   • $x^3$ : $\frac{(1/2)(-1/2)(-3/2)}{6} = \frac{3/8}{6} = 1/16$ (OK)

Réponse :

$\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 + o(x^3)$

Méthode : On utilise la propriété de linéarité des développements limités. On écrit le DL de chaque fonction usuelle à l’ordre 3, puis on effectue la somme terme à terme.

Étapes :

1. Rappel des DL usuels à l’ordre 3 :

   • $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3)$
   • $\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + o(x^3)$
   • $\sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$

2. Combinaison linéaire :

   On calcule $2e^x - (1+x)^{-1} + \sin(x)$ en alignant les puissances :

   • Terme constant : $2(1) - (1) + (0) = 1$
   • Terme en $x$ : $2(1) - (-1) + 1 = 2 + 1 + 1 = 4$
   • Terme en $x^2$ : $2(\frac{1}{2}) - (1) + (0) = 1 - 1 = 0$
   • Terme en $x^3$ : $2(\frac{1}{6}) - (-1) + (-\frac{1}{6}) = \frac{1}{3} + 1 - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{6}{6} - \frac{1}{6} = \frac{7}{6}$

3. Écriture finale :

   N’oubliez pas d’ajouter le terme d’erreur $o(x^3)$.

Réponse :

$f(x) = 1 + 4x + \frac{7}{6}x^3 + o(x^3)$

(Notez l’absence du terme en $x^2$ car son coefficient est nul).

Méthode : On effectue le produit des parties régulières (polynômes) des DL de $e^x$ et $\cos(x)$, en ne conservant que les monômes de degré $\le 3$.

Étapes :

1. DL des facteurs à l’ordre 3 :

   • $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3)$
   • $\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^3)$ (le terme en $x^3$ est nul car la fonction est paire, $x^4$ est négligeable à l’ordre 3).

2. Multiplication des polynômes :

   $(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}) \times (1 - \frac{x^2}{2})$

   Développons en ignorant systématiquement tout terme résultant de degré $> 3$ :

   • $1 \times (1 - \frac{x^2}{2}) = 1 - \frac{x^2}{2}$
   • $x \times (1 - \frac{x^2}{2}) = x - \frac{x^3}{2}$
   • $\frac{x^2}{2} \times (1 - \frac{x^2}{2}) = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \rightarrow \text{on garde } \frac{x^2}{2}$
   • $\frac{x^3}{6} \times (1 - \dots) = \frac{x^3}{6} + \dots$

3. Somme des termes par degré :

   • Constante : $1$
   • $x$ : $x$
   • $x^2$ : $-\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$
   • $x^3$ : $-\frac{1}{2} + \frac{1}{6} = -\frac{3}{6} + \frac{1}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$

Réponse :

$e^x \cos(x) = 1 + x - \frac{x^3}{3} + o(x^3)$

Méthode : On utilise la forme $\sqrt{1+u} = (1+u)^{1/2}$ avec $u(x) = \cos(x) - 1$. Comme $\lim_{x\to 0} u(x) = 0$, la composition est valide.

Étapes :

1. DL de l’argument (intérieur) :

   Posons $u = \cos(x) - 1$.

   $\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)$

   Donc $u = -\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)$.

   Remarque : $u$ est d’ordre 2, donc $u^2$ sera d’ordre 4. On aura besoin de $u$ et $u^2$ pour atteindre l’ordre 4.

2. DL de la fonction extérieure :

   On sait que $(1+u)^{1/2} = 1 + \frac{1}{2}u - \frac{1}{8}u^2 + o(u^2)$.

   (On s’arrête à $u^2$ car $u \sim -x^2/2$, donc $u^3 \sim x^6$ qui est négligeable devant $x^4$).

3. Substitution :

   Remplacez $u$ par sa valeur en $x$ :

   $f(x) = 1 + \frac{1}{2}\left(-\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}\right) - \frac{1}{8}\left(-\frac{x^2}{2} + \dots\right)^2 + o(x^4)$

4. Calcul et troncature :

   • Terme en $u$ : $\frac{1}{2}(-\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}) = -\frac{x^2}{4} + \frac{x^4}{48}$
   • Terme en $u^2$ : $-\frac{1}{8}(-\frac{x^2}{2})^2 = -\frac{1}{8}(\frac{x^4}{4}) = -\frac{x^4}{32}$ (on ignore les produits croisés qui donnent $x^6$ ou plus).

5. Regroupement :

   • $x^2$ : $-\frac{1}{4}$
   • $x^4$ : $\frac{1}{48} - \frac{1}{32} = \frac{2}{96} - \frac{3}{96} = -\frac{1}{96}$

Réponse :

$\sqrt{\cos(x)} = 1 - \frac{x^2}{4} - \frac{x^4}{96} + o(x^4)$

Méthode : Plutôt que de composer avec $1/(1+u)$, pratiquons la division euclidienne selon les puissances croissantes du numérateur ($1$) par le DL du dénominateur ($\cos x$).

Étapes :

1. Poser la division :

   Dénominateur : $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)$.

   On divise $A(x) = 1$ par $B(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$.

2. Calcul de la division :

   $$\begin{array}{r|l} 1 \phantom{+ 0x^2 + 0x^4} & 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} \\ \cline{2-2} -(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}) & 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24} \\ \hline \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} & \\ -(\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} + \dots) & \leftarrow (\text{produit de } \frac{x^2}{2} \text{ par le diviseur}) \\ \hline \frac{x^4}{4} - \frac{x^4}{24} = \frac{5x^4}{24} & \\ \dots & \end{array}$$

   Détail du terme en $x^4$ dans le reste intermédiaire : On avait $-\frac{x^4}{24}$. On soustrait $\frac{x^2}{2} \times (-\frac{x^2}{2}) = -\frac{x^4}{4}$.

   Donc reste : $-\frac{x^4}{24} - (-\frac{x^4}{4}) = \frac{6x^4}{24} - \frac{1x^4}{24} = \frac{5x^4}{24}$.

3. Résultat :

   Le quotient est $1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24}$.

Réponse :

$\frac{1}{\cos x} = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5}{24}x^4 + o(x^4)$

Méthode : On utilise le DL usuel de $\frac{1}{1+u}$ (série géométrique) puis on intègre terme à terme. La constante d’intégration est déterminée par $F(0)$.

Étapes :

1. DL de la dérivée :

   La dérivée est $\frac{1}{1+x^2}$. On pose $u = x^2$.

   On sait que $\frac{1}{1+u} = 1 - u + u^2 - o(u^2)$.

   En substituant $u=x^2$ (ordre 4 en $x$) :

   $\frac{1}{1+x^2} = 1 - x^2 + x^4 + o(x^4)$

2. Intégration :

   On cherche la primitive qui s’annule en 0 (car $\arctan(0)=0$).

   On intègre le polynôme :

   • $1 \to x$
   • $-x^2 \to -\frac{x^3}{3}$
   • $x^4 \to \frac{x^5}{5}$

   L’ordre du $o$ augmente de 1 par intégration : $o(x^4) \to o(x^5)$.

Réponse :

$\arctan(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + o(x^5)$

Méthode : Le numérateur et le dénominateur tendent vers 0. C’est une forme indéterminée “0/0”. On développe le numérateur à un ordre suffisant pour que le premier terme non nul apparaisse (ici, le dénominateur est $x^2$, donc il faut aller au moins à l’ordre 2).

Étapes :

1. DL des termes du numérateur (ordre 2) :

   • $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$
   • $\sin(x) = x + o(x^2)$ (le terme suivant est en $x^3$)

2. Calcul du numérateur :

   $\ln(1+x) - \sin(x) = \left(x - \frac{x^2}{2} + o(x^2)\right) - \left(x + o(x^2)\right)$

   $= (x-x) - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$

   $= -\frac{x^2}{2} + o(x^2)$

3. Calcul de la limite :

   $\frac{\ln(1+x) - \sin(x)}{x^2} = \frac{-\frac{x^2}{2} + o(x^2)}{x^2} = -\frac{1}{2} + \frac{o(x^2)}{x^2}$

   Or, $\lim_{x\to 0} \frac{o(x^2)}{x^2} = 0$ par définition.

Réponse :

$L = -\frac{1}{2}$

Méthode : Le DL s’écrit $f(x) = a + bx + cx^2 + o(x^2)$. L’équation de la tangente est $y = a + bx$. Le signe de $cx^2$ donne la position (au-dessus ou au-dessous).

Étapes :

1. Calcul du DL (Composition) :

   On pose $u = x + x^2$. Quand $x \to 0$, $u \to 0$.

   On utilise $\ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + o(u^2)$.

   • $u = x + x^2$
   • $u^2 = (x + x^2)^2 = x^2 + 2x^3 + x^4 = x^2 + o(x^2)$

   Substitution :

   $f(x) = (x + x^2) - \frac{1}{2}(x^2) + o(x^2)$

   $f(x) = x + \frac{1}{2}x^2 + o(x^2)$

2. Équation de la tangente :

   La partie affine du DL est $P_1(x) = 0 + 1x$.

   Équation : $y = x$.

3. Position relative :

   On étudie le signe de $f(x) - y$.

   $f(x) - x = \frac{1}{2}x^2 + o(x^2) \sim \frac{1}{2}x^2$

   Au voisinage de 0, $\frac{1}{2}x^2$ est toujours positif (strictement pour $x \neq 0$).

   Donc $f(x) > y$.

Réponse :

1. DL : $f(x) = x + \frac{1}{2}x^2 + o(x^2)$.
2. Tangente $T : y = x$.
3. La courbe est située au-dessus de sa tangente au voisinage de 0.

Méthode : On effectue un changement de variable pour se ramener en 0. On pose $h = x - \frac{\pi}{4}$, soit $x = \frac{\pi}{4} + h$. On développe ensuite en puissances de $h$.

Étapes :

1. Changement de variable :

   $f(x) = \sin(\frac{\pi}{4} + h)$

2. Formule trigonométrique :

   $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$.

   $\sin(\frac{\pi}{4} + h) = \sin(\frac{\pi}{4})\cos(h) + \cos(\frac{\pi}{4})\sin(h)$

   $= \frac{\sqrt{2}}{2} \cos(h) + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin(h)$

   $= \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos(h) + \sin(h))$

3. Utilisation des DL en 0 (en $h$) :

   • $\cos(h) = 1 - \frac{h^2}{2} + o(h^3)$
   • $\sin(h) = h - \frac{h^3}{6} + o(h^3)$

4. Somme :

   $\cos(h) + \sin(h) = 1 + h - \frac{h^2}{2} - \frac{h^3}{6} + o(h^3)$

5. Multiplication par la constante :

   $f(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \left( 1 + h - \frac{h^2}{2} - \frac{h^3}{6} \right) + o(h^3)$

Réponse :

$\sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\left(x-\frac{\pi}{4}\right) - \frac{\sqrt{2}}{4}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^2 - \frac{\sqrt{2}}{12}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^3 + o\left((x-\frac{\pi}{4})^3\right)$

Méthode : Un DL à l’infini s’obtient en posant $h=1/x$ et en effectuant un DL en $h=0$.

Étapes :

1. Transformation de l’expression :

   Pour $x > 0$ :

   $f(x) = \sqrt{x^2(1+\frac{1}{x^2})} - x = x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} - x$

   $f(x) = x \left( \sqrt{1+\frac{1}{x^2}} - 1 \right)$

2. Changement de variable :

   Posons $h = \frac{1}{x}$. Quand $x \to +\infty$, $h \to 0^+$.

   L’expression devient : $\frac{1}{h} \left( \sqrt{1+h^2} - 1 \right)$.

3. DL de la racine (en $h$) :

   $\sqrt{1+u} = 1 + \frac{u}{2} + o(u)$ avec $u=h^2$.

   $\sqrt{1+h^2} = 1 + \frac{h^2}{2} + o(h^2)$.

4. Calcul final :

   $f(x) = \frac{1}{h} \left( (1 + \frac{h^2}{2} + o(h^2)) - 1 \right)$

   $= \frac{1}{h} \left( \frac{h^2}{2} + o(h^2) \right)$

   $= \frac{h}{2} + o(h)$

   En revenant à $x$ :

   $f(x) = \frac{1}{2x} + o(\frac{1}{x})$

Réponse :

• Limite : $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$.
• Asymptote : La courbe $y=f(x)$ s’approche de l’axe des abscisses ($y=0$) par valeurs positives (comme $1/2x$).