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Développements Limités

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Concept 1: Définition et Formule de Taylor-Young

Prérequis

• Calcul de dérivées : Savoir calculer les dérivées successives d’une fonction.
• Limites et continuité : Comprendre la notion de limite en un point.
• Négligeabilité : Notation de Landau “petit o”.

Définition

On dit qu’une fonction $f$ admet un développement limité (DL) à l’ordre $n$ au voisinage de 0 s’il existe un polynôme $P_n$ de degré au plus $n$ tel que :

$f(x) = P_n(x) + o(x^n)$

où $o(x^n)$ (petit o de $x^n$) est une fonction $\epsilon(x) x^n$ telle que $\lim_{x \to 0} \epsilon(x) = 0$.

Le polynôme $P_n(x)$ est appelé la partie régulière du développement limité.

Généralisation en un point $a$ : On se ramène souvent au voisinage de 0 en posant $h = x - a$. Si $f$ admet un DL en $a$, il s’écrit $f(a+h) = P_n(h) + o(h^n)$.

Théorème de Taylor-Young

C’est le théorème fondamental qui assure l’existence et donne la forme des coefficients du DL pour les fonctions suffisamment régulières.

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ contenant $0$. Si $f$ est $n$ fois dérivable en $0$ (ou de classe $\mathcal{C}^n$ au voisinage de 0), alors $f$ admet un DL d’ordre $n$ en 0 donné par :

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \dots + \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + o(x^n)$

De manière compacte :

$f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k + o(x^n)$

Propriétés Clés

• Unicité : Si une fonction admet un DL, la partie régulière $P_n$ est unique.
• Parité :
  • Si $f$ est paire, la partie régulière de son DL en 0 ne contient que des puissances paires.
  • Si $f$ est impaire, la partie régulière ne contient que des puissances impaires.
• Troncature : Si $f$ admet un DL à l’ordre $n$, elle admet un DL à tout ordre $k < n$, obtenu simplement en ne gardant que les termes de degré $\le k$ du polynôme $P_n$.

Exemples

Exemple 1 : Exponentielle en 0 (ordre 2) $f(x) = e^x$. On a $f(0)=1, f'(0)=1, f''(0)=1$. $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)$

Exemple 2 : Cosinus en 0 (ordre 4) $f(x) = \cos(x)$. $f(0)=1, f'(0)=0, f''(0)=-1, f^{(3)}(0)=0, f^{(4)}(0)=1$. $\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)$ Remarquez l’absence de termes impairs car $\cos$ est paire.

Contre-exemples

Contre-exemple 1 : Fonction non dérivable La fonction $f(x) = |x|$ n’admet pas de DL à l’ordre 1 en 0 car elle n’est pas dérivable en 0. Elle n’admet pas de tangente unique.

Contre-exemple 2 : Attention au $o(x^n)$ Écrire $e^x = 1 + x + x^2/2$ est faux. C’est une égalité fonctionnelle incorrecte. Il manque le terme d’erreur $+ o(x^2)$ qui signifie “plus des termes négligeables devant $x^2$”. Sans ce terme, on confond la fonction et son approximation polynomiale.

Concepts Connexes

• Développement en série entière : Si $f$ est $\mathcal{C}^\infty$ et que le rayon de convergence est non nul, la série de Taylor converge vers la fonction. Le DL est une “troncature” de la série entière.
• Équivalents : Le premier terme non nul du DL donne un équivalent de la fonction en 0. Par exemple, $\sin(x) \sim x$ car $\sin(x) = x + o(x)$.

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Concept 2 : Opérations sur les Développements Limités

Prérequis

• Calcul algébrique sur les polynômes.
• Compréhension de l’ordre de négligeabilité.

Règles de Calcul

Soient $f$ et $g$ deux fonctions admettant des DL à l’ordre $n$ au voisinage de 0, de parties régulières $P_n$ et $Q_n$.

1. Somme : Le DL de la somme est la somme des DL. $(f+g)(x) = (P_n + Q_n)(x) + o(x^n)$

2. Produit : On effectue le produit des polynômes $P_n \cdot Q_n$ et on ne garde que les termes de degré $\le n$. $(fg)(x) = [P_n(x)Q_n(x)]_n + o(x^n)$

3. Quotient : On utilise souvent la division selon les puissances croissantes de la partie régulière de $f$ par celle de $g$ (si $g(0) \neq 0$), ou on se ramène à un produit $f \cdot \frac{1}{g}$.

4. Composition : Si $f(x) \to 0$ quand $x \to 0$, on peut composer le DL de $g$ par celui de $f$. On substitue $P_n(x)$ dans $Q_n(Y)$, et on tronque à l’ordre $n$. $g(f(x)) = [Q_n(P_n(x))]_n + o(x^n)$

5. Intégration : On intègre la partie régulière terme à terme. L’ordre du DL augmente de 1. Si $f(x) = c_0 + c_1 x + \dots + c_n x^n + o(x^n)$, alors une primitive $F$ vérifie : $F(x) = F(0) + c_0 x + c_1 \frac{x^2}{2} + \dots + c_n \frac{x^{n+1}}{n+1} + o(x^{n+1})$

6. Dérivation : Attention, on ne peut dériver un DL que si l’on sait par avance que la fonction dérivée admet un DL (ce qui est vrai si $f$ est $\mathcal{C}^{n+1}$). Dans ce cas, on dérive la partie régulière et l’ordre diminue de 1.

Propriétés Clés

• Cohérence des ordres : Pour additionner ou multiplier, il est préférable d’avoir des DL au même ordre. Si les ordres diffèrent, le résultat est valide à l’ordre du plus petit ($min(n, m)$).
• Substitution : Pour un DL en 0 de $f(u(x))$ avec $u(x) \to 0$, on remplace $X$ par $u(x)$ dans le DL de référence et on ne garde que les termes de degré $\le n$.

Exemples

Exemple 1 : Produit DL de $e^x \sin(x)$ à l’ordre 3. $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3)$ $\sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$ Produit : $(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6})(x - \frac{x^3}{6}) = x + x^2 + \frac{x^3}{2} - \frac{x^3}{6} + \text{degrés } > 3$ Résultat : $e^x \sin(x) = x + x^2 + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$.

Exemple 2 : Intégration Pour obtenir le DL de $\arctan(x)$ à l’ordre 3. On part de la dérivée : $(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$. DL de $\frac{1}{1+u}$ en $u=x^2$ : $\frac{1}{1+x^2} = 1 - x^2 + o(x^2)$. On intègre (avec $\arctan(0)=0$) : $\arctan(x) = x - \frac{x^3}{3} + o(x^3)$.

Exemple 3 : Composition DL de $e^{\sin(x)}$ à l’ordre 3. $e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{6} + o(u^3)$ avec $u = \sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$. On remplace : $1 + (x - \frac{x^3}{6}) + \frac{1}{2}(x - \frac{x^3}{6})^2 + \frac{1}{6}(x)^3 + \dots$ $= 1 + x - \frac{x^3}{6} + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6}x^3 + o(x^3)$ $= 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^3)$.

Contre-exemples

Contre-exemple 1 : Perte de précision Si on calcule un DL de $f(x) - g(x)$ où les premiers termes sont identiques, l’ordre de la partie significative diminue (“perte d’ordre”). Il faut prévoir de calculer les DL initiaux à un ordre suffisant pour qu’il reste quelque chose après soustraction. Ex: Pour $\frac{\sin x - x}{x^3}$, il faut le DL de $\sin x$ à l’ordre 3 au numérateur.

Concepts Connexes

• Division euclidienne : La division selon les puissances croissantes est l’algorithme clé pour les quotients de DL.

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Concept 3 : Développements Limités Usuels (Tableau Mnémotechnique)

Prérequis

• Connaître les fonctions usuelles (exp, ln, trigo, puissances).
• Mémorisation indispensable pour la rapidité de calcul.

Le Tableau à Savoir par Cœur (en 0)

Voici les développements limités fondamentaux au voisinage de 0.

Fonction $f(x)$	DL en 0 (Partie régulière)	Ordre courant	Remarques
Exponentielle
$e^x$	$1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots + \frac{x^n}{n!}$	$n$	La base de tout.
Trigonométrie
$\cos(x)$	$1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots + (-1)^p \frac{x^{2p}}{(2p)!}$	$2p$	Fonction paire (puissances paires), signes alternés.
$\sin(x)$	$x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots + (-1)^p \frac{x^{2p+1}}{(2p+1)!}$	$2p+1$	Fonction impaire (puissances impaires), signes alternés.
$\tan(x)$	$x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15}$	$5$	Coefficients plus complexes (Bernoulli).
Hyperbolique
$\cosh(x)$	$1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \dots + \frac{x^{2p}}{(2p)!}$	$2p$	Comme $\cos$ mais signes tous $+$.
$\sinh(x)$	$x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \dots + \frac{x^{2p+1}}{(2p+1)!}$	$2p+1$	Comme $\sin$ mais signes tous $+$.
Logarithme
$\ln(1+x)$	$x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots + (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}$	$n$	Attention : commence à $x$, pas de factorielle au dénominateur !
$\ln(1-x)$	$-x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \dots - \frac{x^n}{n}$	$n$	Tous les signes sont $-$.
Puissance
$(1+x)^\alpha$	$1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!} x^3 + \dots$	$n$	Généralise le binôme de Newton.
$\frac{1}{1+x}$	$1 - x + x^2 - x^3 + \dots + (-1)^n x^n$	$n$	Cas $\alpha = -1$. Série géométrique alternée.
$\frac{1}{1-x}$	$1 + x + x^2 + x^3 + \dots + x^n$	$n$	Série géométrique.
$\sqrt{1+x}$	$1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16}$	$3$	Cas $\alpha = 1/2$.
$\frac{1}{\sqrt{1+x}}$	$1 - \frac{x}{2} + \frac{3x^2}{8}$	$2$	Cas $\alpha = -1/2$.
Arc
$\arctan(x)$	$x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \dots + (-1)^p \frac{x^{2p+1}}{2p+1}$	$2p+1$	Intégrale de $\frac{1}{1+x^2}$. Pas de factorielle.
$\arcsin(x)$	$x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40}$	$5$	Coefficients moins évidents.

Astuces de Mémorisation

1. Lien Cos/Sin/Exp : Les séries de $\cos$ et $\sin$ sont respectivement les parties paires et impaires de la série de $e^{ix}$, en tenant compte que $i^2 = -1$. $e^x = \cosh x + \sinh x$ (somme des parties paire et impaire).
2. Factorielles vs Entiers :
   • Exp, Sin, Cos, Sh, Ch, Binôme : Factorielles au dénominateur.
   • Ln, Arctan : Entiers simples au dénominateur (car issus d’intégration de polynômes géométriques).
3. Signes :
   • $1/(1-x)$ et $\ln(1-x)$ (avec un $- devant$) et $e^x, \sinh, \cosh$ : Que des signes +.
   • $1/(1+x)$, $\ln(1+x)$, $\cos, \sin, \arctan$ : Signes alternés (+ - + -).

Propriétés Clés

• Domaine de validité : Ces DL sont des approximations locales en 0. Pour $\ln(1+x)$ par exemple, la série entière associée ne converge que pour $|x| < 1$.
• Extension : Pour un DL en $x_0 \neq 0$, on pose $x = x_0 + h$ et on se ramène à $h \to 0$.

Applications

• Calcul de limites indéterminées : C’est l’application principale. Ex : $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{(x - x^3/6 + o(x^3)) - x}{x^3} = -1/6$.
• Étude locale de fonctions :
  • Position d’une courbe par rapport à sa tangente. Si $f(x) = ax+b + cx^2 + o(x^2)$, le signe de $c$ indique si la courbe est au-dessus ou en-dessous.
  • Comportement asymptotique (en posant $X = 1/x$).