Dérivées - fiches de révision (A)

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et soit $a$ un point de $I$. Le nombre dérivé de $f$ en $a$, noté $f'(a)$, est la limite (si elle existe et est finie) du taux d'accroissement de la fonction entre $a$ et un point voisin.

Il représente la pente de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$.

Formule principale :

La définition mathématique est :

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

Formulation équivalente :

Une autre façon de l'écrire, en posant $x = a+h$, est :

$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$

Exemple :

Pour $f(x) = x^2$ au point $a=3$ :

$f'(3) = \lim_{h \to 0} \frac{(3+h)^2 - 3^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{9 + 6h + h^2 - 9}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h(6+h)}{h} = \lim_{h \to 0} (6+h) = 6$

Le nombre dérivé de $f(x)=x^2$ en $a=3$ est $6$.

Le lien est une implication à sens unique : la dérivabilité implique la continuité.

Théorème : Si une fonction $f$ est dérivable en un point $a$, alors elle est nécessairement continue en ce point $a$.

Explication intuitive :

Pour qu'une tangente puisse être tracée en un point, la courbe ne doit pas avoir de "saut" ou de "trou" à cet endroit. Le fait d'être dérivable signifie que la courbe est "lisse" au point $a$, ce qui est une condition plus forte que la simple continuité.

Attention : La réciproque est fausse !

Une fonction peut être continue en un point sans y être dérivable.

Contre-exemple :

La fonction valeur absolue $f(x) = |x|$ est continue en $0$. Cependant, elle n'est pas dérivable en $0$ car la courbe présente un "point anguleux".

• La dérivée à gauche est : $f'_g(0) = -1$
• La dérivée à droite est : $f'_d(0) = 1$

Comme les dérivées à gauche et à droite sont différentes, la fonction n'est pas dérivable en $0$.

L'équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d'abscisse $a$ est donnée par la formule :

$y = f(a) + f'(a)(x - a)$

Explication des termes :

• $(a, f(a))$ est le point de tangence, c'est-à-dire le point sur la courbe où la tangente est tracée.
• $f'(a)$ est le nombre dérivé de $f$ en $a$. Il représente le coefficient directeur (la pente) de la tangente.
• $(x, y)$ sont les coordonnées d'un point quelconque sur la droite tangente.

Cette équation est la meilleure approximation affine de la fonction $f$ au voisinage du point $a$.

Exemple :

Trouvons l'équation de la tangente à la courbe de $f(x) = x^2$ au point $a=3$.

1. Calculer $f(a)$ : $f(3) = 3^2 = 9$. Le point de tangence est $(3, 9)$.

2. Calculer $f'(a)$ : On sait que $f'(x) = 2x$, donc $f'(3) = 2(3) = 6$. La pente est de 6.

3. Appliquer la formule :

   $y = f(3) + f'(3)(x - 3)$

   $y = 9 + 6(x - 3)$

   $y = 9 + 6x - 18$

   $y = 6x - 9$

L'équation de la tangente est $y = 6x - 9$.

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$.

1. Formule de dérivation d'un produit :

La dérivée du produit $uv$ n'est PAS le produit des dérivées. La formule correcte est :

$(uv)' = u'v + uv'$

Exemple : Soit $h(x) = x^2 \sin(x)$.

Posons $u(x) = x^2$ et $v(x) = \sin(x)$.

On a $u'(x) = 2x$ et $v'(x) = \cos(x)$.

$h'(x) = (2x)(\sin(x)) + (x^2)(\cos(x)) = 2x \sin(x) + x^2 \cos(x)$.

2. Formule de dérivation d'un quotient :

Pour que le quotient $\frac{u}{v}$ soit dérivable, il faut que $v(x) \neq 0$ sur l'intervalle $I$. La formule est :

$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

Exemple : Soit $g(x) = \frac{e^x}{x^2+1}$.

Posons $u(x) = e^x$ et $v(x) = x^2+1$.

On a $u'(x) = e^x$ et $v'(x) = 2x$.

$g'(x) = \frac{(e^x)(x^2+1) - (e^x)(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{e^x(x^2 - 2x + 1)}{(x^2+1)^2}$.

La règle de la chaîne permet de dériver une fonction qui est la composition de deux autres fonctions, de la forme $g(f(x))$.

Formule :

Si $f$ est dérivable en $x$ et $g$ est dérivable en $f(x)$, alors la fonction composée $h = g \circ f$ est dérivable en $x$ et sa dérivée est :

$h'(x) = (g \circ f)'(x) = g'(f(x)) \cdot f'(x)$

Explication intuitive :

"On dérive la fonction extérieure $g$ en laissant l'intérieur $f(x)$ inchangé, puis on multiplie par la dérivée de la fonction intérieure $f$."

Notation de Leibniz (très parlante) :

Si on pose $y = g(u)$ et $u = f(x)$, la règle de la chaîne s'écrit :

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

Exemple :

Dériver $h(x) = (x^3 + 2x)^4$.

• La fonction intérieure est $f(x) = u = x^3 + 2x$. Sa dérivée est $f'(x) = 3x^2 + 2$.
• La fonction extérieure est $g(u) = u^4$. Sa dérivée est $g'(u) = 4u^3$.

On applique la formule :

$h'(x) = g'(f(x)) \cdot f'(x)$

$h'(x) = 4(f(x))^3 \cdot (3x^2 + 2)$

$h'(x) = 4(x^3 + 2x)^3 (3x^2 + 2)$

Pour dériver $h(x) = \cos(x^2)$, on doit identifier la fonction intérieure et la fonction extérieure.

Étapes :

1. Identifier les fonctions :

   • La fonction "intérieure" est celle qui est appliquée en premier : $f(x) = x^2$.
   • La fonction "extérieure" est celle qui est appliquée au résultat de la première : $g(u) = \cos(u)$.

   On a bien $h(x) = g(f(x))$.

2. Calculer les dérivées de chaque fonction :

   • Dérivée de l'intérieure : $f'(x) = 2x$.
   • Dérivée de l'extérieure : $g'(u) = -\sin(u)$.

3. Appliquer la formule de la règle de la chaîne : $(g \circ f)'(x) = g'(f(x)) \cdot f'(x)$.

   • $g'(f(x))$ signifie qu'on prend la dérivée de $g$, qui est $-\sin(u)$, et on remplace $u$ par $f(x) = x^2$. On obtient donc $-\sin(x^2)$.
   • On multiplie ce résultat par la dérivée de la fonction intérieure, $f'(x) = 2x$.

4. Combiner les résultats :

   $h'(x) = -\sin(x^2) \cdot (2x)$

   $h'(x) = -2x \sin(x^2)$

Erreur fréquente à éviter : Oublier de multiplier par la dérivée de la fonction intérieure. Écrire que la dérivée est $-\sin(x^2)$ est incorrect.

Le Théorème de Rolle est un résultat fondamental sur les fonctions dérivables.

Énoncé du Théorème :

Soit $f$ une fonction qui respecte trois conditions :

1. $f$ est continue sur un intervalle fermé $[a, b]$.
2. $f$ est dérivable sur l'intervalle ouvert $]a, b[$.
3. Les valeurs de la fonction aux bornes sont égales : $f(a) = f(b)$.

Conclusion :

Alors, il existe au moins un point $c$ dans l'intervalle ouvert $]a, b[$ tel que la dérivée s'annule : $f'(c) = 0$.

Interprétation géométrique :

Imaginez une courbe continue et sans "point anguleux" qui part d'un point $(a, f(a))$ et arrive à un point $(b, f(b))$ situé à la même hauteur ($f(a)=f(b)$). Le théorème nous dit qu'il doit y avoir au moins un endroit entre $a$ et $b$ où la courbe atteint un sommet ou un creux, c'est-à-dire un point où la tangente est horizontale. Une tangente horizontale a une pente nulle, d'où $f'(c)=0$.

Exemple :

Pour $f(x) = x^2 - 4x$ sur $[0, 4]$.

• $f$ est continue et dérivable partout.
• $f(0) = 0$ et $f(4) = 4^2 - 4(4) = 0$. Donc $f(0)=f(4)$.
• Le théorème s'applique. Il existe un $c \in ]0, 4[$ où $f'(c)=0$.
• $f'(x) = 2x-4$. On résout $2c-4=0$, ce qui donne $c=2$. On a bien $2 \in ]0, 4[$.

Le Théorème des Accroissements Finis (TAF) est une généralisation du Théorème de Rolle. Le Théorème de Rolle est en fait un cas particulier du TAF.

Rappel des hypothèses :

• Rolle : $f$ continue sur $[a,b]$, dérivable sur $]a,b[$ ET $f(a)=f(b)$.
• TAF : $f$ continue sur $[a,b]$, dérivable sur $]a,b[$. (Pas besoin de $f(a)=f(b)$).

Rappel des conclusions :

• Rolle : Il existe $c \in ]a, b[$ tel que $f'(c) = 0$.
• TAF : Il existe $c \in ]a, b[$ tel que $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.

Différence principale et interprétation géométrique :

• Théorème de Rolle : Cherche un point où la tangente est horizontale. Cela est garanti si les points de départ et d'arrivée sont à la même altitude. La pente de la corde reliant $(a, f(a))$ et $(b, f(b))$ est nulle.

• Théorème des Accroissements Finis : Cherche un point où la tangente est parallèle à la corde qui relie les points d'extrémités $(a, f(a))$ et $(b, f(b))$. Le terme $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ est précisément le coefficient directeur de cette corde.

Lien :

Si on ajoute la condition $f(a)=f(b)$ au TAF, le coefficient directeur de la corde devient $\frac{f(b) - f(b)}{b-a} = 0$. La conclusion du TAF devient alors $f'(c)=0$, ce qui est exactement la conclusion du Théorème de Rolle.

Définition d'un point critique :

Un point $a$ dans le domaine de définition d'une fonction $f$ est appelé un point critique (ou point stationnaire) si la dérivée de la fonction en ce point est nulle :

$f'(a) = 0$

Lien avec les extremums locaux :

Un extremum local (maximum ou minimum local) est un point où la fonction atteint une valeur plus grande ou plus petite que dans son voisinage immédiat.

Le lien est donné par la condition nécessaire du premier ordre :

Si une fonction $f$ atteint un extremum local en un point $a$ (qui n'est pas une borne de l'intervalle) et si $f$ est dérivable en $a$, alors $a$ doit être un point critique, c'est-à-dire $f'(a) = 0$.

En pratique :

Pour trouver les extremums locaux d'une fonction, on commence par chercher ses points critiques. Ces points sont les candidats à être des extremums.

Attention :

Un point critique n'est pas forcément un extremum !

Contre-exemple :

Soit $f(x) = x^3$.

• Sa dérivée est $f'(x) = 3x^2$.
• $f'(x) = 0$ pour $x=0$. Donc $x=0$ est un point critique.
• Cependant, $f(0)=0$ n'est ni un maximum ni un minimum local, car la fonction est croissante avant et après $0$. C'est un point d'inflexion à tangente horizontale.

Pour savoir si un point critique est un extremum, il faut une analyse plus poussée (étude du signe de la dérivée ou test de la dérivée seconde).

Le test de la dérivée seconde est une méthode efficace pour déterminer la nature d'un point critique.

Théorème (Condition suffisante du second ordre) :

Soit $a$ un point critique d'une fonction $f$, c'est-à-dire que $f'(a) = 0$. On suppose que $f$ est deux fois dérivable en $a$.

1. Si $f''(a) > 0$, alors $f$ admet un minimum local en $a$.

   (Intuition : la pente de la tangente passe de négative à positive, la courbe est "convexe" ou "tournée vers le haut" comme un bol).

2. Si $f''(a) < 0$, alors $f$ admet un maximum local en $a$.

   (Intuition : la pente de la tangente passe de positive à négative, la courbe est "concave" ou "tournée vers le bas" comme une cloche).

3. Si $f''(a) = 0$, le test ne permet pas de conclure. Le point peut être un minimum, un maximum, ou aucun des deux (comme un point d'inflexion).

Exemple :

Trouver les extremums de $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1$.

1. Trouver les points critiques :

   $f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x-2)(x+1)$.

   Les points critiques sont $x=-1$ et $x=2$.

2. Calculer la dérivée seconde :

   $f''(x) = 12x - 6$.

3. Appliquer le test pour chaque point :

   • Pour $x=-1$ : $f''(-1) = 12(-1) - 6 = -18$.

     Comme $f''(-1) < 0$, le point $x=-1$ est un maximum local.

   • Pour $x=2$ : $f''(2) = 12(2) - 6 = 18$.

     Comme $f''(2) > 0$, le point $x=2$ est un minimum local.

La formule de Leibniz généralise la règle de dérivation d'un produit $(uv)' = u'v + uv'$ à des ordres de dérivation supérieurs.

Formule :

Si $f$ et $g$ sont deux fonctions $n$ fois dérivables, alors leur produit $fg$ est également $n$ fois dérivable, et sa dérivée $n$-ième est donnée par :

$(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)}$

Explication de la formule :

• $(fg)^{(n)}$ est la dérivée $n$-ième du produit.
• $\binom{n}{k}$ est le coefficient binomial "k parmi n", calculé par $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.
• $f^{(k)}$ est la dérivée $k$-ième de $f$ (avec $f^{(0)}=f$).
• $g^{(n-k)}$ est la dérivée $(n-k)$-ième de $g$.
• La somme $\sum_{k=0}^{n}$ signifie qu'on additionne les termes pour $k$ allant de 0 à $n$.

Analogie avec le binôme de Newton :

La structure de la formule est très similaire à celle du binôme de Newton pour $(a+b)^n$.

Exemple pour n=3 :

Calculons la dérivée troisième de $h(x) = x^2 e^x$. Posons $g(x) = x^2$ et $f(x) = e^x$.

$(fg)^{(3)} = \binom{3}{0}f^{(0)}g^{(3)} + \binom{3}{1}f^{(1)}g^{(2)} + \binom{3}{2}f^{(2)}g^{(1)} + \binom{3}{3}f^{(3)}g^{(0)}$

Dérivées de $f(x)=e^x$ : $f^{(0)}=e^x, f^{(1)}=e^x, f^{(2)}=e^x, f^{(3)}=e^x$.

Dérivées de $g(x)=x^2$ : $g^{(0)}=x^2, g^{(1)}=2x, g^{(2)}=2, g^{(3)}=0$.

$h^{(3)}(x) = (1)(e^x)(0) + (3)(e^x)(2) + (3)(e^x)(2x) + (1)(e^x)(x^2)$

$h^{(3)}(x) = 0 + 6e^x + 6xe^x + x^2e^x = (x^2+6x+6)e^x$

Voici les formules de base pour les fonctions les plus simples.

1. Fonction constante :

Si $f(x) = c$, où $c$ est une constante, alors sa dérivée est nulle.

$(c)' = 0$

Interprétation : La courbe d'une fonction constante est une droite horizontale, sa pente est donc toujours de 0.

2. Fonction puissance :

Si $f(x) = x^n$, où $n$ est un nombre réel, alors sa dérivée est :

$(x^n)' = n x^{n-1}$

Exemples :

• Pour $f(x) = x^3$ ($n=3$) : $f'(x) = 3x^{3-1} = 3x^2$.
• Pour $g(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$ ($n=1/2$) : $g'(x) = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
• Pour $h(x) = \frac{1}{x} = x^{-1}$ ($n=-1$) : $h'(x) = -1x^{-1-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.

1. Exponentielle de base $e$ :

La fonction exponentielle $f(x) = e^x$ a la particularité d'être sa propre dérivée.

$(e^x)' = e^x$

2. Logarithme népérien :

La dérivée de la fonction logarithme népérien $f(x) = \ln(x)$, pour $x > 0$, est :

$(\ln(x))' = \frac{1}{x}$

Cas général (bases autres que $e$) :

• Exponentielle de base $a$ : Pour $a > 0$ et $a \neq 1$, la dérivée de $f(x) = a^x$ est : $(a^x)' = a^x \ln(a)$

• Logarithme de base $a$ : Pour $a > 0$ et $a \neq 1$, la dérivée de $f(x) = \log_a(x)$ est : $(\log_a(x))' = \frac{1}{x \ln(a)}$

1. Fonction sinus :

$(\sin(x))' = \cos(x)$

2. Fonction cosinus :

$(\cos(x))' = -\sin(x)$

3. Fonction tangente :

Pour la fonction tangente, il existe deux formes courantes pour la dérivée :

$(\tan(x))' = \frac{1}{\cos^2(x)} = 1 + \tan^2(x)$

On peut retrouver ce résultat en utilisant la règle du quotient sur $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$.

1. Fonction arc sinus :

Pour $x \in ]-1, 1[$ :

$(\arcsin(x))' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

2. Fonction arc cosinus :

Pour $x \in ]-1, 1[$ :

$(\arccos(x))' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

3. Fonction arc tangente :

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ :

$(\arctan(x))' = \frac{1}{1 + x^2}$

La dérivation est une opération linéaire, ce qui signifie qu'elle se comporte bien avec les additions et les multiplications par des constantes.

1. Dérivée d'une somme :

La dérivée d'une somme de fonctions est la somme de leurs dérivées.

$(u + v)' = u' + v'$

Exemple : Pour $h(x) = x^2 + \sin(x)$, on a $h'(x) = (x^2)' + (\sin(x))' = 2x + \cos(x)$.

2. Dérivée d'un multiple constant :

La dérivée d'une fonction multipliée par une constante est la constante multipliée par la dérivée de la fonction.

$(c \cdot u)' = c \cdot u'$

Exemple : Pour $g(x) = 3x^4$, on a $g'(x) = 3 \cdot (x^4)' = 3 \cdot (4x^3) = 12x^3$.

La formule pour dériver l'inverse d'une fonction $u$ (où $u(x) \neq 0$) est un cas particulier de la règle du quotient :

$\left(\frac{1}{u}\right)' = -\frac{u'}{u^2}$

Démonstration (via la règle du quotient) :

On pose $f=1$ et $g=u$. On a $f'=0$.

$\left(\frac{1}{u}\right)' = \frac{(1)' \cdot u - 1 \cdot u'}{u^2} = \frac{0 \cdot u - u'}{u^2} = -\frac{u'}{u^2}$

Exemple :

Pour $h(x) = \frac{1}{\cos(x)}$, on pose $u(x)=\cos(x)$. Alors $u'(x)=-\sin(x)$.

$h'(x) = -\frac{-\sin(x)}{(\cos(x))^2} = \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)}$

Les dérivées des fonctions hyperboliques de base sont très similaires à celles des fonctions trigonométriques, mais sans les changements de signe.

1. Sinus hyperbolique :

$(\sinh(x))' = \cosh(x)$

2. Cosinus hyperbolique :

$(\cosh(x))' = \sinh(x)$

3. Tangente hyperbolique :

$(\tanh(x))' = \frac{1}{\cosh^2(x)} = 1 - \tanh^2(x)$

1. Arc sinus hyperbolique :

$(\text{arcsinh}(x))' = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$

2. Arc cosinus hyperbolique :

Pour $x > 1$ :

$(\text{arccosh}(x))' = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}$

3. Arc tangente hyperbolique :

Pour $x \in ]-1, 1[$ :

$(\text{arctanh}(x))' = \frac{1}{1 - x^2}$