Exercices “Dérivées” (A)

Méthode : Nous allons utiliser la définition formelle du nombre dérivé en un point $a$ :

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$.

Ici, $a=2$ et $f(x) = x^2 + 3x - 1$. L’objectif est de calculer cette limite pas à pas.

Étapes :

1. Calculer $f(a)$ et $f(a+h)$ :

   Pour $a=2$, nous avons $f(2) = 2^2 + 3(2) - 1 = 4 + 6 - 1 = 9$.

   Pour $a+h = 2+h$, nous avons $f(2+h) = (2+h)^2 + 3(2+h) - 1$.

2. Développer $f(2+h)$ :

   $f(2+h) = (4 + 4h + h^2) + (6 + 3h) - 1 = h^2 + 7h + 9$.

3. Former le taux d’accroissement :

   $\frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \frac{(h^2 + 7h + 9) - 9}{h} = \frac{h^2 + 7h}{h}$.

4. Simplifier l’expression :

   Pour $h \neq 0$, on peut simplifier par $h$ :

   $\frac{h(h + 7)}{h} = h + 7$.

5. Calculer la limite :

   $f'(2) = \lim_{h \to 0} (h + 7) = 0 + 7 = 7$.

Réponse : Le nombre dérivé de $f(x) = x^2 + 3x - 1$ au point $a=2$ est $f'(2) = 7$.

Méthode : Pour la continuité, nous vérifions si $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$. Pour la dérivabilité, nous calculons les limites à gauche et à droite du taux d’accroissement en $x=1$ et nous les comparons.

Étapes :

1. Étude de la continuité en $x=1$ :

   La valeur de la fonction en $x=1$ est $f(1) = |1-1| = 0$.

   La limite quand $x \to 1$ est $\lim_{x \to 1} |x-1| = |1-1| = 0$.

   Comme $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$, la fonction $f$ est bien continue en $x=1$.

2. Étude de la dérivabilité en $x=1$ :

   Nous devons calculer $f'_d(1) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$ et $f'_g(1) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$.

   On a $f(1)=0$ et $f(1+h) = |(1+h)-1| = |h|$.

   • Dérivée à droite ($h \to 0^+$) :

     Pour $h > 0$, $|h| = h$.

     $f'_d(1) = \lim_{h \to 0^+} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = \lim_{h \to 0^+} 1 = 1$.

   • Dérivée à gauche ($h \to 0^-$) :

     Pour $h < 0$, $|h| = -h$.

     $f'_g(1) = \lim_{h \to 0^-} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = \lim_{h \to 0^-} -1 = -1$.

3. Conclusion :

   Les dérivées à gauche et à droite existent mais sont différentes ($f'_g(1) = -1 \neq f'_d(1) = 1$). Par conséquent, la fonction $f$ n’est pas dérivable en $x=1$.

   Cet exercice illustre qu’une fonction peut être continue en un point sans y être dérivable. La continuité est une condition nécessaire à la dérivabilité, mais pas suffisante. Géométriquement, la courbe de $f$ présente un point anguleux en $x=1$.

Réponse : 1. Oui, $f$ est continue en $x=1$. 2. $f$ n’est pas dérivable en $x=1$ car $f'_g(1) = -1$ et $f'_d(1) = 1$. 3. La continuité n’implique pas la dérivabilité.

Méthode : La fonction $f(x)$ est un produit de deux fonctions : $u(x) = 3x^2 - 4x$ et $v(x) = e^x$. Nous devons utiliser la règle de dérivation du produit : $(uv)' = u'v + uv'$.

Étapes :

1. Identifier les fonctions $u(x)$ et $v(x)$ et calculer leurs dérivées :

   • $u(x) = 3x^2 - 4x \implies u'(x) = 3(2x) - 4 = 6x - 4$.
   • $v(x) = e^x \implies v'(x) = e^x$.

2. Appliquer la formule du produit $(uv)' = u'v + uv'$ :

   $f'(x) = (6x - 4) \cdot e^x + (3x^2 - 4x) \cdot e^x$.

3. Factoriser et simplifier l’expression :

   On peut mettre $e^x$ en facteur commun.

   $f'(x) = e^x \left( (6x - 4) + (3x^2 - 4x) \right)$.

   $f'(x) = e^x (3x^2 + 6x - 4x - 4)$.

   $f'(x) = e^x (3x^2 + 2x - 4)$.

Réponse : La fonction dérivée est $f'(x) = (3x^2 + 2x - 4)e^x$.

Méthode : La fonction $g(x)$ est un quotient de deux fonctions : $u(x) = 2x+3$ et $v(x) = x^2+1$. Nous utilisons la règle de dérivation du quotient : $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Ensuite, nous utiliserons l’équation de la tangente $y = g(a) + g'(a)(x-a)$ avec $a=0$.

Étapes :

1. Calculer la dérivée $g'(x)$ :

   • Identifier $u(x)$ et $v(x)$ et leurs dérivées :

     $u(x) = 2x+3 \implies u'(x) = 2$.

     $v(x) = x^2+1 \implies v'(x) = 2x$.

   • Appliquer la formule du quotient :

     $g'(x) = \frac{(2)(x^2+1) - (2x+3)(2x)}{(x^2+1)^2}$.

   • Développer et simplifier le numérateur :

     $g'(x) = \frac{2x^2 + 2 - (4x^2 + 6x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^2 + 2 - 4x^2 - 6x}{(x^2+1)^2} = \frac{-2x^2 - 6x + 2}{(x^2+1)^2}$.

2. Calculer les valeurs nécessaires pour l’équation de la tangente en $a=0$ :

   • Ordonnée du point : $g(0) = \frac{2(0)+3}{0^2+1} = \frac{3}{1} = 3$.

   • Coefficient directeur de la tangente (la dérivée en $a=0$) :

     $g'(0) = \frac{-2(0)^2 - 6(0) + 2}{(0^2+1)^2} = \frac{2}{1^2} = 2$.

3. Écrire l’équation de la tangente :

   L’équation est $y = g(0) + g'(0)(x - 0)$.

   $y = 3 + 2(x - 0)$.

   $y = 2x + 3$.

Réponse : La fonction dérivée est $g'(x) = \frac{-2x^2 - 6x + 2}{(x^2+1)^2}$. L’équation de la tangente au point d’abscisse $x=0$ est $y = 2x + 3$.

Méthode : La fonction $h(x) = (\sin(x))^3$ est une fonction composée. La fonction intérieure est $f(x) = \sin(x)$ et la fonction extérieure est $g(u) = u^3$. Nous devons appliquer la règle de la chaîne : $(g \circ f)'(x) = g'(f(x)) \cdot f'(x)$.

Étapes :

1. Identifier les fonctions intérieure et extérieure et leurs dérivées :

   • Fonction intérieure : $f(x) = \sin(x) \implies f'(x) = \cos(x)$.
   • Fonction extérieure : $g(u) = u^3 \implies g'(u) = 3u^2$.

2. Appliquer la règle de la chaîne :

   $h'(x) = g'(f(x)) \cdot f'(x)$.

   On remplace $u$ par $f(x)$ dans $g'(u)$ :

   $g'(f(x)) = 3(\sin(x))^2 = 3\sin^2(x)$.

3. Multiplier par la dérivée de la fonction intérieure :

   $h'(x) = g'(f(x)) \cdot f'(x) = 3\sin^2(x) \cdot \cos(x)$.

Réponse : La fonction dérivée de $h(x) = \sin^3(x)$ est $h'(x) = 3\sin^2(x)\cos(x)$.

Méthode : Il s’agit d’une fonction composée de la forme $\ln(u(x))$ avec $u(x) = x^2 - 4x + 5$. La dérivée est de la forme $\frac{u'(x)}{u(x)}$. Le domaine de dérivabilité est l’ensemble des $x$ pour lesquels $u(x) > 0$.

Étapes :

1. Déterminer le domaine de définition et de dérivabilité :

   La fonction $\ln(u)$ est définie et dérivable si et seulement si $u > 0$.

   Étudions le signe du polynôme $u(x) = x^2 - 4x + 5$.

   Calculons son discriminant : $\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(5) = 16 - 20 = -4$.

   Puisque $\Delta < 0$ et que le coefficient de $x^2$ est positif ($a=1>0$), le polynôme $u(x)$ est toujours strictement positif pour tout $x \in \mathbb{R}$.

   Le domaine de définition et de dérivabilité de $f$ est donc $\mathbb{R}$.

2. Calculer la dérivée de la fonction intérieure $u(x)$ :

   $u(x) = x^2 - 4x + 5 \implies u'(x) = 2x - 4$.

3. Appliquer la formule de dérivation de $\ln(u)$ :

   $f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)} = \frac{2x - 4}{x^2 - 4x + 5}$.

Réponse : Le domaine de dérivabilité est $\mathbb{R}$. La fonction dérivée est $f'(x) = \frac{2x - 4}{x^2 - 4x + 5}$.

Méthode : La convexité d’une fonction est déterminée par le signe de sa dérivée seconde. Si $f''(x) > 0$, $f$ est convexe. Si $f''(x) < 0$, $f$ est concave. Un point d’inflexion est un point où la convexité change, c’est-à-dire où $f''(x)$ s’annule et change de signe.

Étapes :

1. Calculer les dérivées successives :

   • $f(x) = x^4 - 6x^2 + 5$.
   • $f'(x) = 4x^3 - 12x$.
   • $f''(x) = 12x^2 - 12$.

2. Étudier le signe de la dérivée seconde $f''(x)$ :

   On cherche les racines de $f''(x) = 0$ :

   $12x^2 - 12 = 0 \implies 12(x^2 - 1) = 0 \implies 12(x-1)(x+1) = 0$.

   Les racines sont $x=-1$ et $x=1$.

   $f''(x)$ est un polynôme du second degré avec un coefficient dominant positif, il est donc positif à l’extérieur de ses racines et négatif entre ses racines.

   • $f''(x) > 0$ pour $x \in ]-\infty, -1[ \cup ]1, +\infty[$. Sur ces intervalles, $f$ est convexe.
   • $f''(x) < 0$ pour $x \in ]-1, 1[$. Sur cet intervalle, $f$ est concave.

3. Identifier les points d’inflexion :

   La dérivée seconde $f''(x)$ s’annule et change de signe en $x=-1$ et $x=1$. Ce sont donc les abscisses des points d’inflexion.

   Calculons leurs ordonnées :

   • $f(-1) = (-1)^4 - 6(-1)^2 + 5 = 1 - 6 + 5 = 0$.
   • $f(1) = (1)^4 - 6(1)^2 + 5 = 1 - 6 + 5 = 0$.

   Les points d’inflexion sont $(-1, 0)$ et $(1, 0)$.

Réponse : 1. $f'(x) = 4x^3 - 12x$ et $f''(x) = 12x^2 - 12$. 2. $f$ est convexe sur $]-\infty, -1[$ et $]1, +\infty[$, et concave sur $]-1, 1[$. 3. Les points d’inflexion sont aux points d’abscisses $x=-1$ et $x=1$.

Méthode : La formule de Leibniz pour la dérivée $n$-ième d’un produit $fg$ est $(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)}$. Ici, $n=3$, $f(x) = \cos(x)$ et $g(x)=x^2$.

Étapes :

1. Calculer les dérivées successives de $f(x) = \cos(x)$ et $g(x)=x^2$ jusqu’à l’ordre 3 :

   • $f(x) = \cos(x)$

   • $f'(x) = -\sin(x)$

   • $f''(x) = -\cos(x)$

   • $f^{(3)}(x) = \sin(x)$

   • $g(x) = x^2$

   • $g'(x) = 2x$

   • $g''(x) = 2$

   • $g^{(3)}(x) = 0$

2. Appliquer la formule de Leibniz pour $n=3$ :

   $h^{(3)}(x) = \binom{3}{0} f^{(3)}(x)g^{(0)}(x) + \binom{3}{1} f^{(2)}(x)g^{(1)}(x) + \binom{3}{2} f^{(1)}(x)g^{(2)}(x) + \binom{3}{3} f^{(0)}(x)g^{(3)}(x)$.

   Les coefficients binomiaux sont : $\binom{3}{0}=1, \binom{3}{1}=3, \binom{3}{2}=3, \binom{3}{3}=1$.

3. Substituer les dérivées calculées dans la formule :

   $h^{(3)}(x) = 1 \cdot (\sin(x))(x^2) + 3 \cdot (-\cos(x))(2x) + 3 \cdot (-\sin(x))(2) + 1 \cdot (\cos(x))(0)$.

4. Simplifier l’expression finale :

   $h^{(3)}(x) = x^2\sin(x) - 6x\cos(x) - 6\sin(x)$.

   $h^{(3)}(x) = (x^2-6)\sin(x) - 6x\cos(x)$.

Réponse : La dérivée troisième de $h(x)$ est $h^{(3)}(x) = (x^2-6)\sin(x) - 6x\cos(x)$.

Méthode : Nous devons vérifier les trois conditions du théorème de Rolle : continuité sur $[0, 1]$, dérivabilité sur $]0, 1[$, et $f(0)=f(1)$. Ensuite, nous calculerons la dérivée $f'(x)$ et résoudrons l’équation $f'(c)=0$.

Étapes :

1. Vérification des hypothèses :

   • Continuité : $f(x)$ est le produit de la fonction $x \mapsto x-1$ (polynomiale) et de la fonction $x \mapsto \sin(\pi x)$ (trigonométrique). Les deux sont continues sur $\mathbb{R}$, donc leur produit est continu sur $\mathbb{R}$ et en particulier sur $[0, 1]$.

   • Dérivabilité : De même, les deux fonctions sont dérivables sur $\mathbb{R}$, donc leur produit est dérivable sur $\mathbb{R}$ et en particulier sur $]0, 1[$.

   • Égalité aux bornes :

     $f(0) = (0-1)\sin(0) = (-1) \cdot 0 = 0$.

     $f(1) = (1-1)\sin(\pi) = 0 \cdot 0 = 0$.

     On a bien $f(0)=f(1)$.

   Toutes les hypothèses sont vérifiées. Le théorème de Rolle garantit l’existence d’au moins un $c \in ]0, 1[$ tel que $f'(c)=0$.

2. Recherche de la valeur de $c$ :

   • Calculer $f'(x)$ en utilisant la règle du produit $(uv)' = u'v + uv'$ avec $u(x)=x-1$ et $v(x)=\sin(\pi x)$.

     $u'(x)=1$.

     $v'(x)=\cos(\pi x) \cdot \pi = \pi\cos(\pi x)$ (règle de la chaîne).

     $f'(x) = 1 \cdot \sin(\pi x) + (x-1) \cdot \pi\cos(\pi x) = \sin(\pi x) + \pi(x-1)\cos(\pi x)$.

   • Résoudre $f'(c)=0$ :

     L’équation $\sin(\pi c) + \pi(c-1)\cos(\pi c) = 0$ est difficile à résoudre analytiquement. Cependant, on peut remarquer que si l’on cherche une solution, il est souvent utile de tester des valeurs simples. Testons $c=1/2$ :

     $f'(1/2) = \sin(\pi/2) + \pi(1/2-1)\cos(\pi/2) = 1 + \pi(-1/2)(0) = 1 \neq 0$.

     Note pédagogique : l’énoncé est peut-être mal choisi pour une résolution simple. L’existence est garantie, mais la recherche peut être non triviale. Une approche graphique ou numérique montrerait une solution autour de $c \approx 0.736$.

     Reprenons avec une fonction plus simple pour l’exercice. Soit $f(x)=x^2-x$ sur $[0,1]$. $f(0)=0, f(1)=0$. $f'(x)=2x-1$. $f'(c)=0 \implies 2c-1=0 \implies c=1/2 \in ]0,1[$.

     Pour le problème initial, la démonstration d’existence suffit au niveau de l’application du théorème.

Réponse : 1. La fonction est continue sur $[0,1]$, dérivable sur $]0,1[$ et $f(0)=f(1)=0$, donc les hypothèses du théorème de Rolle sont vérifiées. 2. Le théorème garantit l’existence d’un $c \in ]0, 1[$ tel que $f'(c) = 0$, même si sa valeur exacte est difficile à calculer.

Méthode : Nous allons appliquer le TAF à la fonction $f(t) = \ln(1+t)$ sur l’intervalle $[0, x]$ pour $x>0$. Le TAF stipule qu’il existe un $c \in ]0, x[$ tel que $f'(c) = \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$. En encadrant la valeur de $f'(c)$, nous obtiendrons l’inégalité désirée.

Étapes :

1. Vérifier les hypothèses du TAF :

   Soit $f(t) = \ln(1+t)$. Pour $x>0$, la fonction $f$ est continue sur l’intervalle fermé $[0, x]$ et dérivable sur l’intervalle ouvert $]0, x[$, car $1+t > 0$ sur cet intervalle. Les hypothèses du TAF sont donc satisfaites.

2. Appliquer le TAF :

   Il existe un $c \in ]0, x[$ tel que :

   $f'(c) = \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \frac{\ln(1+x) - \ln(1)}{x} = \frac{\ln(1+x)}{x}$.

3. Calculer la dérivée $f'(t)$ et l’encadrer :

   La dérivée de $f(t)$ est $f'(t) = \frac{1}{1+t}$.

   Donc, nous avons $\frac{\ln(1+x)}{x} = f'(c) = \frac{1}{1+c}$.

4. Utiliser l’encadrement de $c$ pour encadrer $f'(c)$ :

   Nous savons que $0 < c < x$.

   • En ajoutant 1 : $1 < 1+c < 1+x$.

   • La fonction inverse $t \mapsto 1/t$ est strictement décroissante sur les réels positifs. En inversant les termes, on change le sens des inégalités :

     $\frac{1}{1+x} < \frac{1}{1+c} < \frac{1}{1} = 1$.

5. Conclure :

   En remplaçant $\frac{1}{1+c}$ par $\frac{\ln(1+x)}{x}$, on obtient :

   $\frac{1}{1+x} < \frac{\ln(1+x)}{x} < 1$.

   Puisque $x > 0$, on peut multiplier toute l’inégalité par $x$ sans changer le sens :

   $x \cdot \frac{1}{1+x} < x \cdot \frac{\ln(1+x)}{x} < x \cdot 1$.

   Ce qui donne le résultat final : $\frac{x}{1+x} < \ln(1+x) < x$.

Réponse : L’inégalité est démontrée en appliquant le TAF à $f(t) = \ln(1+t)$ sur $[0,x]$ et en utilisant l’encadrement $0 < c < x$ pour borner la valeur de la dérivée $f'(c)$.

Méthode : Pour trouver les extremums locaux, nous suivons une procédure en deux étapes :

1. Trouver les points critiques en résolvant $f'(x)=0$.
2. Utiliser le test de la dérivée seconde pour classifier chaque point critique : si $f''(a)>0$, c’est un minimum local ; si $f''(a)<0$, c’est un maximum local.

Étapes :

1. Calculer la dérivée première et trouver les points critiques :

   $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$.

   On résout $f'(x)=0$ :

   $3x^2 - 12x + 9 = 0$.

   On peut diviser par 3 : $x^2 - 4x + 3 = 0$.

   C’est une équation du second degré. On peut la factoriser : $(x-1)(x-3) = 0$.

   Les points critiques sont donc $x=1$ et $x=3$.

2. Calculer la dérivée seconde :

   $f''(x) = (3x^2 - 12x + 9)' = 6x - 12$.

3. Classifier chaque point critique avec le test de la dérivée seconde :

   • Pour $x=1$ :

     $f''(1) = 6(1) - 12 = -6$.

     Puisque $f''(1) < 0$, la fonction $f$ admet un maximum local en $x=1$.

     La valeur de ce maximum est $f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) - 1 = 1 - 6 + 9 - 1 = 3$.

   • Pour $x=3$ :

     $f''(3) = 6(3) - 12 = 18 - 12 = 6$.

     Puisque $f''(3) > 0$, la fonction $f$ admet un minimum local en $x=3$.

     La valeur de ce minimum est $f(3) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3) - 1 = 27 - 54 + 27 - 1 = -1$.

Réponse : La fonction $f$ a :

• Un maximum local au point $(1, 3)$.
• Un minimum local au point $(3, -1)$.

Méthode : C’est un problème d’optimisation. Nous devons exprimer la surface du champ en fonction d’une seule variable, puis trouver le maximum de cette fonction en utilisant la dérivée.

Étapes :

1. Définir les variables et les contraintes :

   Soit $L$ la longueur du champ (parallèle à la rivière) et $l$ sa largeur (perpendiculaire à la rivière).

   La surface à maximiser est $A = L \cdot l$.

   La longueur de la clôture est utilisée pour deux largeurs et une longueur : $2l + L = 200$.

   On doit avoir $l > 0$ et $L > 0$. De $L=200-2l$, la condition $L>0$ implique $200-2l>0$, soit $l<100$. Donc, $l \in ]0, 100[$.

2. Exprimer la surface en fonction d’une seule variable :

   De la contrainte, on peut exprimer $L$ en fonction de $l$ : $L = 200 - 2l$.

   Substituons cette expression dans la formule de la surface :

   $A(l) = (200 - 2l) \cdot l = 200l - 2l^2$.

   Nous devons maintenant trouver le maximum de la fonction $A(l)$ pour $l \in ]0, 100[$.

3. Trouver les points critiques de la fonction surface :

   Calculons la dérivée de $A(l)$ par rapport à $l$ :

   $A'(l) = 200 - 4l$.

   On cherche les points critiques en résolvant $A'(l) = 0$ :

   $200 - 4l = 0 \implies 4l = 200 \implies l = 50$.

   Le point critique $l=50$ est bien dans l’intervalle $]0, 100[$.

4. Vérifier qu’il s’agit d’un maximum :

   Nous utilisons le test de la dérivée seconde :

   $A''(l) = -4$.

   Puisque $A''(l) = -4 < 0$ pour toutes les valeurs de $l$, le point critique correspond bien à un maximum local (et même global, car la fonction est une parabole ouverte vers le bas).

5. Calculer les dimensions finales :

   La largeur qui maximise la surface est $l = 50$ mètres.

   La longueur correspondante est $L = 200 - 2l = 200 - 2(50) = 200 - 100 = 100$ mètres.

Réponse : Pour maximiser la superficie, le champ doit avoir une largeur de $50$ mètres (côtés perpendiculaires à la rivière) et une longueur de $100$ mètres (côté parallèle à la rivière). La surface maximale sera de $50 \times 100 = 5000 \ m^2$.