Espaces Euclidiens et Hermitiens - fiches de révision (A)

Une forme bilinéaire est une application $\varphi: E \times E \to \mathbb{R}$ qui est linéaire par rapport à chacune de ses deux variables.

Cela signifie que pour tous vecteurs $u, v, w \in E$ et tout scalaire $\lambda \in \mathbb{R}$, les propriétés suivantes sont vérifiées :

1. Linéarité à gauche :

   • $\varphi(u + v, w) = \varphi(u, w) + \varphi(v, w)$
   • $\varphi(\lambda u, v) = \lambda\varphi(u, v)$

2. Linéarité à droite :

   • $\varphi(u, v + w) = \varphi(u, v) + \varphi(u, w)$
   • $\varphi(u, \lambda v) = \lambda\varphi(u, v)$

Intuitivement, une forme bilinéaire est une sorte de "produit" de deux vecteurs qui donne un scalaire, et ce produit est distributif par rapport à l'addition des vecteurs.

Exemple: Le produit scalaire usuel sur $\mathbb{R}^n$ est une forme bilinéaire. Pour $x = (x_1, \dots, x_n)$ et $y = (y_1, \dots, y_n)$, l'application $\varphi(x, y) = \sum_{i=1}^n x_i y_i$ est bilinéaire.

La différence principale réside dans la manière dont elles gèrent la multiplication par un scalaire complexe dans la seconde variable.

Soit $E$ un $\mathbb{C}$-espace vectoriel et $\varphi: E \times E \to \mathbb{C}$.

• Forme Bilinéaire : Elle est linéaire par rapport aux deux variables.

  • Linéarité à gauche : $\varphi(u_1 + \lambda u_2, v) = \varphi(u_1, v) + \lambda\varphi(u_2, v)$
  • Linéarité à droite : $\varphi(u, v_1 + \lambda v_2) = \varphi(u, v_1) + \lambda\varphi(u, v_2)$

• Forme Sesquilinéaire : Elle est linéaire par rapport à la première variable, mais semi-linéaire (ou anti-linéaire) par rapport à la seconde.

  • Linéarité à gauche : $\varphi(u_1 + \lambda u_2, v) = \varphi(u_1, v) + \lambda\varphi(u_2, v)$
  • Semi-linéarité à droite : $\varphi(u, v_1 + \lambda v_2) = \varphi(u, v_1) + \bar{\lambda}\varphi(u, v_2)$

La semi-linéarité utilise le conjugué $\bar{\lambda}$ du scalaire $\lambda$. Cette modification est cruciale pour que la quantité $\varphi(x, x)$ soit un nombre réel, ce qui est indispensable pour définir une norme (longueur) à partir de cette forme.

En résumé :

• Bilinéaire : $\lambda$ sort "normalement" de la deuxième variable.
• Sesquilinéaire : $\lambda$ sort en tant que $\bar{\lambda}$ de la deuxième variable.

Un produit scalaire, noté $\langle \cdot, \cdot \rangle$, est une forme qui dote un espace vectoriel d'une structure géométrique (longueur, angles). La définition dépend du corps $\mathbb{K}$ ($\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$).

1. Cas d'un espace vectoriel réel ($E$ sur $\mathbb{R}$)

Un produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique définie positive.

• Bilinéaire : Linéaire en chaque variable.
• Symétrique : $\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle$ pour tous $x, y \in E$.
• Définie positive :
  • Positive : $\langle x, x \rangle \ge 0$ pour tout $x \in E$.
  • Définie : $\langle x, x \rangle = 0 \iff x = 0_E$.

2. Cas d'un espace vectoriel complexe ($E$ sur $\mathbb{C}$)

Un produit scalaire est une forme sesquilinéaire hermitienne définie positive.

• Sesquilinéaire : Linéaire à gauche, semi-linéaire à droite.
• Hermitienne : $\langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle}$ pour tous $x, y \in E$.
• Définie positive :
  • Positive : $\langle x, x \rangle \ge 0$ (la symétrie hermitienne garantit que $\langle x, x \rangle$ est réel).
  • Définie : $\langle x, x \rangle = 0 \iff x = 0_E$.

Un espace muni d'un produit scalaire est un espace préhilbertien. S'il est de dimension finie, on l'appelle espace euclidien (cas réel) ou espace hermitien (cas complexe).

L'inégalité de Cauchy-Schwarz est une relation fondamentale dans tout espace préhilbertien $(E, \langle \cdot, \cdot \rangle)$.

Formule :

Pour tous vecteurs $x, y \in E$, on a :

$|\langle x, y \rangle| \le \sqrt{\langle x, x \rangle} \sqrt{\langle y, y \rangle}$

En utilisant la notation de la norme $\|v\| = \sqrt{\langle v, v \rangle}$, l'inégalité se réécrit de manière plus compacte :

$|\langle x, y \rangle| \le \|x\| \|y\|$

Cas d'égalité :

Il y a égalité, c'est-à-dire $|\langle x, y \rangle| = \|x\| \|y\|$, si et seulement si les vecteurs $x$ et $y$ sont colinéaires (ou liés).

Cela signifie qu'il existe un scalaire $\lambda \in \mathbb{K}$ tel que $y = \lambda x$ (ou $x = \lambda y$ si $y=0_E$).

Signification géométrique :

Dans $\mathbb{R}^2$ ou $\mathbb{R}^3$, on sait que $\langle x, y \rangle = \|x\| \|y\| \cos(\theta)$. L'inégalité $|\langle x, y \rangle| \le \|x\| \|y\|$ est alors équivalente à $|\cos(\theta)| \le 1$, ce qui est toujours vrai. Le cas d'égalité correspond à $|\cos(\theta)|=1$, c'est-à-dire $\theta=0$ ou $\theta=\pi$, ce qui signifie que les vecteurs sont colinéaires (pointent dans la même direction ou en direction opposée). L'inégalité de Cauchy-Schwarz généralise cette intuition à n'importe quel espace euclidien ou hermitien.

Soit $(E, \langle \cdot, \cdot \rangle)$ un espace préhilbertien. La norme d'un vecteur $x \in E$, notée $\|x\|$, est définie comme la racine carrée du produit scalaire de ce vecteur avec lui-même.

Formule :

$\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$

Cette définition est valide car la propriété de positivité du produit scalaire assure que $\langle x, x \rangle \ge 0$, donc sa racine carrée est un nombre réel positif. La norme représente la longueur ou la magnitude du vecteur $x$.

Propriétés :

Cette norme, dite euclidienne ou hermitienne, vérifie les trois axiomes de toute norme :

1. Séparation : $\|x\| = 0 \iff x = 0_E$. (Provient du caractère défini du produit scalaire).
2. Homogénéité : $\|\lambda x\| = |\lambda| \|x\|$ pour tout scalaire $\lambda$.
3. Inégalité triangulaire : $\|x + y\| \le \|x\| + \|y\|$. (Sa démonstration repose sur l'inégalité de Cauchy-Schwarz).

Exemple sur $\mathbb{R}^3$ :

Pour $x = (x_1, x_2, x_3)$, le produit scalaire usuel est $\langle x, x \rangle = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2$. La norme associée est $\|x\| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2}$, ce qui correspond bien à la notion usuelle de longueur.

La semi-linéarité à droite, qui introduit le conjugué du scalaire ($\bar{\lambda}$), est une adaptation cruciale pour que la "longueur au carré" d'un vecteur, $\varphi(x,x)$, soit un nombre réel positif.

Considérons une forme $\varphi$ sur un $\mathbb{C}$-espace vectoriel.

Si on essayait de garder la bilinéarité (linéarité "normale" à droite), on aurait pour un vecteur $x$ et un scalaire $\lambda \in \mathbb{C}$ :

$\varphi(\lambda x, \lambda x) = \lambda \varphi(x, \lambda x) = \lambda \cdot \lambda \varphi(x, x) = \lambda^2 \varphi(x, x)$.

Si $\lambda = i$ (le nombre imaginaire pur), alors $\varphi(ix, ix) = i^2 \varphi(x,x) = -\varphi(x,x)$.

Si $\varphi(x,x)$ était un réel positif, alors $\varphi(ix,ix)$ serait négatif, ce qui est problématique pour définir une longueur.

Avec une forme sesquilinéaire, la situation est corrigée :

$\varphi(\lambda x, \lambda x) = \lambda \varphi(x, \lambda x) = \lambda \bar{\lambda} \varphi(x, x) = |\lambda|^2 \varphi(x, x)$

Comme $|\lambda|^2$ est toujours un nombre réel positif, si $\varphi(x,x)$ est un réel positif, alors $\varphi(\lambda x, \lambda x)$ le sera aussi.

Cette propriété, $\varphi(x,x) \in \mathbb{R}$, est elle-même assurée par la symétrie hermitienne ($\varphi(x,y) = \overline{\varphi(y,x)}$), qui implique $\varphi(x,x) = \overline{\varphi(x,x)}$, ce qui est la définition d'un nombre réel.

L'identité du parallélogramme est une équation que doit satisfaire une norme pour qu'elle puisse être issue d'un produit scalaire.

Formule :

Pour tous vecteurs $x, y$ d'un espace préhilbertien, la norme associée au produit scalaire vérifie :

$\|x+y\|^2 + \|x-y\|^2 = 2(\|x\|^2 + \|y\|^2)$

Signification géométrique :

Dans un parallélogramme formé par les vecteurs $x$ et $y$, les vecteurs $x+y$ et $x-y$ représentent les diagonales. L'identité signifie donc que la somme des carrés des longueurs des diagonales est égale à la somme des carrés des longueurs des quatre côtés.

Importance :

Cette identité est une condition nécessaire et suffisante pour qu'une norme dérive d'un produit scalaire.

• Si une norme provient d'un produit scalaire, elle vérifie l'identité.
• Réciproquement, si une norme vérifie cette identité, on peut construire un produit scalaire qui engendre cette norme (via les identités de polarisation).

Contre-exemple : La norme $\|x\|_1 = |x_1| + |x_2|$ sur $\mathbb{R}^2$ ne vérifie pas l'identité du parallélogramme et ne provient donc d'aucun produit scalaire.

Soit $\varphi$ une forme bilinéaire symétrique (ou sesquilinéaire hermitienne) sur un espace $E$.

1. Forme Positive :

   Une forme $\varphi$ est dite positive si pour tout vecteur $x \in E$, le scalaire $\varphi(x,x)$ est un nombre réel positif ou nul.

   $\forall x \in E, \quad \varphi(x,x) \ge 0$

   Cette propriété assure que la "longueur au carré" d'un vecteur ne peut pas être négative.

2. Forme Définie :

   Une forme $\varphi$ est dite définie si le seul vecteur $x$ pour lequel $\varphi(x,x) = 0$ est le vecteur nul.

   $\forall x \in E, \quad \varphi(x,x) = 0 \implies x = 0_E$

   Cette propriété assure que tout vecteur non nul a une "longueur au carré" strictement positive. Elle permet de distinguer les vecteurs non nuls.

Un produit scalaire doit être à la fois positif et défini. On parle alors de forme définie positive.

Exemple de forme positive mais non définie :

Sur $\mathbb{R}^2$, soit $\varphi(x, y) = x_1 y_1$.

• C'est positif : $\varphi(x, x) = x_1^2 \ge 0$.
• Ce n'est pas défini : pour le vecteur non nul $x = (0, 1)$, on a $\varphi(x, x) = 0^2 = 0$. Ce n'est donc pas un produit scalaire.

Le théorème de Pythagore est une généralisation du célèbre théorème de la géométrie euclidienne aux espaces préhilbertiens. Il relie la norme de la somme de vecteurs orthogonaux à la somme de leurs normes.

Énoncé :

Soit $(E, \langle \cdot, \cdot \rangle)$ un espace préhilbertien. Si deux vecteurs $x, y \in E$ sont orthogonaux, c'est-à-dire si $\langle x, y \rangle = 0$, alors :

$\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2$

Démonstration :

La preuve est une application directe des propriétés de la norme et du produit scalaire.

$\|x+y\|^2 = \langle x+y, x+y \rangle$

En développant par (sesqui-)linéarité :

$\|x+y\|^2 = \langle x, x \rangle + \langle x, y \rangle + \langle y, x \rangle + \langle y, y \rangle$

$\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + \langle x, y \rangle + \overline{\langle x, y \rangle} + \|y\|^2$

Comme $x$ et $y$ sont orthogonaux, $\langle x, y \rangle = 0$, donc $\overline{\langle x, y \rangle} = 0$.

Il reste :

$\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2$.

Généralisation :

Si une famille de vecteurs $(v_1, \dots, v_n)$ est deux à deux orthogonale (c'est-à-dire $\langle v_i, v_j \rangle = 0$ pour $i \neq j$), alors :

$\left\|\sum_{i=1}^n v_i\right\|^2 = \sum_{i=1}^n \|v_i\|^2$

Considérons l'espace vectoriel $E = \mathbb{R}^2$ et l'application $\varphi: E \times E \to \mathbb{R}$ définie par :

$\varphi(x, y) = x_1 y_1 - x_2 y_2$

où $x=(x_1, x_2)$ et $y=(y_1, y_2)$. Cette forme est bilinéaire et symétrique, mais ce n'est pas un produit scalaire.

Pourquoi n'est-ce pas un produit scalaire ?

Pour être un produit scalaire, une forme doit être définie positive. Or, $\varphi$ n'est même pas positive.

Vérification de la non-positivité :

La condition de positivité est $\varphi(x, x) \ge 0$ pour tout vecteur $x$.

Calculons $\varphi(x,x)$ :

$\varphi(x, x) = x_1^2 - x_2^2$

Cherchons un contre-exemple. Prenons le vecteur $x = (0, 1)$.

$\varphi((0,1), (0,1)) = 0^2 - 1^2 = -1$

Comme nous avons trouvé un vecteur $x$ pour lequel $\varphi(x, x) < 0$, la forme n'est pas positive. Par conséquent, ce ne peut pas être un produit scalaire.

Note : Cette forme est importante en physique ; elle est liée à la métrique de Minkowski utilisée en relativité restreinte, où le temps et l'espace n'ont pas le même "signe".

On peut reconstituer entièrement le produit scalaire à partir de sa norme associée grâce aux identités de polarisation. Ces formules expriment le produit scalaire $\langle x, y \rangle$ en utilisant uniquement des termes de la forme $\|v\|^2$.

1. Cas euclidien (espace réel)

Pour un $\mathbb{R}$-espace vectoriel, l'identité est :

$\langle x, y \rangle = \frac{1}{2} \left( \|x+y\|^2 - \|x\|^2 - \|y\|^2 \right)$

Une autre forme équivalente est :

$\langle x, y \rangle = \frac{1}{4} \left( \|x+y\|^2 - \|x-y\|^2 \right)$

2. Cas hermitien (espace complexe)

Pour un $\mathbb{C}$-espace vectoriel, la formule est plus complexe car le produit scalaire peut être un nombre complexe :

$\langle x, y \rangle = \frac{1}{4} \left( \|x+y\|^2 - \|x-y\|^2 + i(\|x+iy\|^2 - \|x-iy\|^2) \right)$

Cette formule permet de retrouver à la fois la partie réelle et la partie imaginaire de $\langle x, y \rangle$.

Conclusion :

Ces identités montrent que la connaissance des longueurs (via la norme) dans un espace préhilbertien suffit à déterminer toute sa géométrie, y compris les angles (via le produit scalaire). C'est une conséquence directe du fait que la norme dérive du produit scalaire.