Séries de Fourier - preuves (A)

On part de la forme trigonométrique de la série de Fourier pour $n \ge 1$ :

$a_n \cos(nt) + b_n \sin(nt)$

Étape 1 : Substitution par les exponentielles complexes

En utilisant les formules d'Euler :

$a_n \left(\frac{e^{int} + e^{-int}}{2}\right) + b_n \left(\frac{e^{int} - e^{-int}}{2i}\right)$

Rappelons que $\frac{1}{i} = -i$. L'expression devient :

$\frac{a_n}{2} e^{int} + \frac{a_n}{2} e^{-int} - \frac{i b_n}{2} e^{int} + \frac{i b_n}{2} e^{-int}$

Étape 2 : Regroupement des termes

On regroupe les termes selon les puissances de l'exponentielle ($e^{int}$ et $e^{-int}$) :

$\left( \frac{a_n - i b_n}{2} \right) e^{int} + \left( \frac{a_n + i b_n}{2} \right) e^{-int}$

Conclusion :

En comparant avec la définition de la forme exponentielle $\sum c_k e^{ikt}$, le coefficient devant $e^{int}$ correspond à $c_n$ et le coefficient devant $e^{-int}$ correspond à $c_{-n}$.

On a donc bien :

$c_n = \frac{a_n - i b_n}{2} \quad \text{et} \quad c_{-n} = \frac{a_n + i b_n}{2}$

La définition du coefficient $b_n$ est :

$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \sin(nt) dt$

Étape 1 : Décomposition de l'intégrale

$b_n = \frac{1}{\pi} \left( \int_{-\pi}^{0} f(t) \sin(nt) dt + \int_{0}^{\pi} f(t) \sin(nt) dt \right)$

Étape 2 : Changement de variable

Dans la première intégrale, posons $u = -t$. Alors $dt = -du$.

Les bornes changent : de $-\pi$ à $0$ devient de $\pi$ à $0$.

$\int_{-\pi}^{0} f(t) \sin(nt) dt = \int_{\pi}^{0} f(-u) \sin(-nu) (-du) = \int_{0}^{\pi} f(-u) \sin(-nu) du$

Étape 3 : Utilisation des propriétés de parité

Comme $f$ est paire, $f(-u) = f(u)$.

La fonction sinus est impaire, donc $\sin(-nu) = -\sin(nu)$.

L'intégrale devient :

$\int_{0}^{\pi} f(u) (-\sin(nu)) du = - \int_{0}^{\pi} f(u) \sin(nu) du$

Conclusion :

En remplaçant dans l'expression de $b_n$ :

$b_n = \frac{1}{\pi} \left( - \int_{0}^{\pi} f(t) \sin(nt) dt + \int_{0}^{\pi} f(t) \sin(nt) dt \right) = 0$

Donc, pour une fonction paire, tous les coefficients $b_n$ sont nuls.

Soit $n \neq 0$. Par définition :

$c_n(f) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) e^{-int} dt$

Étape 1 : Intégration par parties

On pose $u(t) = f(t)$ donc $u'(t) = f'(t)$.

On pose $v'(t) = e^{-int}$ donc $v(t) = \frac{e^{-int}}{-in}$.

$c_n(f) = \frac{1}{2\pi} \left( \left[ f(t) \frac{e^{-int}}{-in} \right]_{-\pi}^{\pi} - \int_{-\pi}^{\pi} f'(t) \frac{e^{-int}}{-in} dt \right)$

Étape 2 : Analyse du terme de bord

Le terme entre crochets est :

$\frac{1}{-in} (f(\pi)e^{-in\pi} - f(-\pi)e^{in\pi})$

Puisque $f$ est $2\pi$-périodique, $f(\pi) = f(-\pi)$. De plus $e^{-in\pi} = e^{in\pi} = (-1)^n$.

Le terme de bord est donc nul.

Étape 3 : Majoration

Il reste :

$c_n(f) = \frac{1}{2\pi in} \int_{-\pi}^{\pi} f'(t) e^{-int} dt = \frac{1}{in} c_n(f')$

Comme $f$ est $\mathcal{C}^1$, $f'$ est continue sur $[-\pi, \pi]$, donc bornée. Soit $M = \sup |f'(t)|$.

$|c_n(f)| \le \frac{1}{2\pi |n|} \int_{-\pi}^{\pi} |f'(t)| |e^{-int}| dt \le \frac{1}{2\pi |n|} \int_{-\pi}^{\pi} M \cdot 1 dt = \frac{M}{|n|}$

Conclusion :

On a montré que $|c_n(f)| \le \frac{M}{|n|}$, donc $c_n(f) \to 0$ quand $|n| \to \infty$.

Soit $u_n(t) = c_n e^{int}$ le terme général de la série de Fourier.

Étape 1 : Majoration uniforme (Convergence Normale)

Pour tout $t \in \mathbb{R}$, on a :

$|u_n(t)| = |c_n e^{int}| = |c_n| \cdot |e^{int}| = |c_n|$

Ainsi, la norme infinie de $u_n$ est $\|u_n\|_\infty = \sup_{t \in \mathbb{R}} |u_n(t)| = |c_n|$.

Par hypothèse, la série numérique $\sum |c_n|$ converge.

Donc, la série de fonctions $\sum u_n(t)$ converge normalement sur $\mathbb{R}$.

Étape 2 : Conséquence sur la continuité

La convergence normale implique la convergence uniforme sur $\mathbb{R}$.

Les fonctions partielles $u_n(t) = c_n e^{int}$ sont continues (ce sont des exponentielles complexes).

D'après le théorème de continuité des séries de fonctions : si une série de fonctions continues converge uniformément sur un intervalle, alors sa somme $S(t)$ est continue sur cet intervalle.

Conclusion :

La série de Fourier converge vers une fonction $S(t)$ qui est continue sur $\mathbb{R}$.

Étape 1 : Substitution des coefficients

$S_N(f)(x) = \sum_{n=-N}^{N} c_n e^{inx} = \sum_{n=-N}^{N} \left( \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(u) e^{-inu} du \right) e^{inx}$

Étape 2 : Linéarité de l'intégrale

Comme la somme est finie, on peut entrer la somme sous l'intégrale et regrouper les termes exponentiels :

$S_N(f)(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(u) \left( \sum_{n=-N}^{N} e^{in(x-u)} \right) du$

Étape 3 : Changement de variable et périodicité

Posons $t = x - u$. Alors $u = x - t$ et $du = -dt$.

L'intégrale sur une période $[-\pi, \pi]$ (pour $u$) reste une intégrale sur une période de longueur $2\pi$ pour $t$ (par exemple $[x-\pi, x+\pi]$).

Comme l'intégrande est $2\pi$-périodique, on peut recentrer l'intégrale sur $[-\pi, \pi]$.

$S_N(f)(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x-t) \left( \sum_{n=-N}^{N} e^{int} \right) dt$

Conclusion :

En identifiant le noyau de Dirichlet $D_N(t) = \sum_{n=-N}^{N} e^{int}$, on obtient :

$S_N(f)(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x-t) D_N(t) dt$

Étape 1 : Somme géométrique

$D_N(t) = \sum_{n=-N}^{N} (e^{it})^n = e^{-iNt} + \dots + e^{iNt}$

C'est une suite géométrique de raison $q = e^{it}$ comportant $2N+1$ termes, commençant à $e^{-iNt}$.

$D_N(t) = e^{-iNt} \frac{1 - (e^{it})^{2N+1}}{1 - e^{it}} = \frac{e^{-iNt} - e^{i(N+1)t}}{1 - e^{it}}$

Étape 2 : Utilisation de l'arc moitié

On factorise le numérateur par $e^{it/2}$ et le dénominateur par $e^{it/2}$ (technique de l'arc moitié) :

Numérateur : $e^{-iNt} - e^{i(N+1)t} = e^{it/2} (e^{-i(N+1/2)t} - e^{i(N+1/2)t})$

Dénominateur : $1 - e^{it} = e^{it/2} (e^{-it/2} - e^{it/2})$

L'expression devient :

$D_N(t) = \frac{e^{it/2} (e^{-i(N+1/2)t} - e^{i(N+1/2)t})}{e^{it/2} (e^{-it/2} - e^{it/2})} = \frac{-(e^{i(N+1/2)t} - e^{-i(N+1/2)t})}{-(e^{it/2} - e^{-it/2})}$

Étape 3 : Conversion en sinus

On utilise la formule d'Euler $2i \sin(\theta) = e^{i\theta} - e^{-i\theta}$.

$D_N(t) = \frac{2i \sin((N+1/2)t)}{2i \sin(t/2)}$

Conclusion :

En simplifiant par $2i$, on obtient :

$D_N(t) = \frac{\sin((N + 1/2)t)}{\sin(t/2)}$

Étape 1 : Intégration terme à terme

$I = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \left( \sum_{n=-N}^{N} e^{int} \right) dt = \sum_{n=-N}^{N} \left( \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^{int} dt \right)$

Étape 2 : Analyse des termes

• Si $n \neq 0$ :

  $\int_{-\pi}^{\pi} e^{int} dt = \left[ \frac{e^{int}}{in} \right]_{-\pi}^{\pi} = \frac{e^{in\pi} - e^{-in\pi}}{in} = 0$

  (car $e^{in\pi} = (-1)^n$ et $e^{-in\pi} = (-1)^n$).

• Si $n = 0$ :

  Le terme est $e^{i \cdot 0 \cdot t} = 1$.

  $\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} 1 dt = \frac{1}{2\pi} [t]_{-\pi}^{\pi} = 1$

Conclusion :

Dans la somme, seul le terme pour $n=0$ survit et vaut 1.

$\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} D_N(t) dt = 1$

Étape 1 : Décomposition de la somme

$\sum_{n=-\infty}^{+\infty} |c_n|^2 = |c_0|^2 + \sum_{n=1}^{+\infty} (|c_n|^2 + |c_{-n}|^2)$

On sait que $c_0 = a_0$.

Étape 2 : Calcul de $|c_n|^2 + |c_{-n}|^2$

On utilise $c_n = \frac{a_n - i b_n}{2}$ et $c_{-n} = \frac{a_n + i b_n}{2}$.

$|c_n|^2 = \left| \frac{a_n - i b_n}{2} \right|^2 = \frac{a_n^2 + b_n^2}{4}$

(car le module au carré de $x+iy$ est $x^2+y^2$).

De même :

$|c_{-n}|^2 = \left| \frac{a_n + i b_n}{2} \right|^2 = \frac{a_n^2 + b_n^2}{4}$

Étape 3 : Sommation

La somme des deux termes pour un $n$ fixé est :

$|c_n|^2 + |c_{-n}|^2 = \frac{a_n^2 + b_n^2}{4} + \frac{a_n^2 + b_n^2}{4} = \frac{a_n^2 + b_n^2}{2}$

Conclusion :

En réinsérant dans la somme totale :

$\sum_{n=-\infty}^{+\infty} |c_n|^2 = |a_0|^2 + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{a_n^2 + b_n^2}{2} = a_0^2 + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{+\infty} (a_n^2 + b_n^2)$

Ce qui correspond bien à la formule de Parseval trigonométrique.

Notons $\langle f, g \rangle = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \overline{g(t)} dt$ le produit scalaire hermitien et $\|f\|^2 = \langle f, f \rangle$.

Les fonctions $e_n(t) = e^{int}$ forment une famille orthonormée : $\langle e_n, e_m \rangle = \delta_{nm}$.

Étape 1 : Orthogonalité

La somme partielle est $S_N = \sum_{k=-N}^N c_k e_k$, avec $c_k = \langle f, e_k \rangle$.

Calculons $\|f - S_N\|^2$ :

$\|f - S_N\|^2 = \langle f - S_N, f - S_N \rangle = \|f\|^2 - \langle f, S_N \rangle - \langle S_N, f \rangle + \|S_N\|^2$

Étape 2 : Simplification des termes

• $\|S_N\|^2 = \langle \sum c_k e_k, \sum c_j e_j \rangle = \sum |c_k|^2$ (théorème de Pythagore pour une famille orthonormée finie).
• $\langle f, S_N \rangle = \langle f, \sum c_k e_k \rangle = \sum \overline{c_k} \langle f, e_k \rangle = \sum \overline{c_k} c_k = \sum |c_k|^2$.
• $\langle S_N, f \rangle = \overline{\langle f, S_N \rangle} = \sum |c_k|^2$.

Étape 3 : Combinaison

$\|f - S_N\|^2 = \|f\|^2 - 2 \sum_{n=-N}^N |c_n|^2 + \sum_{n=-N}^N |c_n|^2 = \|f\|^2 - \sum_{n=-N}^N |c_n|^2$

Conclusion :

Comme une norme au carré est toujours positive ou nulle ($\|f - S_N\|^2 \ge 0$) :

$\|f\|^2 - \sum_{n=-N}^N |c_n|^2 \ge 0 \implies \sum_{n=-N}^N |c_n|^2 \le \|f\|^2$

Soit :

$\sum_{n=-N}^{N} |c_n|^2 \le \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |f(t)|^2 dt$

Étape 1 : Définition

$c_n(g) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} g(t) e^{-int} dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t-\tau) e^{-int} dt$

Étape 2 : Changement de variable

Posons $u = t - \tau$, donc $t = u + \tau$ et $dt = du$.

$c_n(g) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi-\tau}^{\pi-\tau} f(u) e^{-in(u+\tau)} du$

Étape 3 : Factorisation et Périodicité

On sort le terme constant par rapport à $u$ : $e^{-in(u+\tau)} = e^{-inu} e^{-in\tau}$.

$c_n(g) = e^{-in\tau} \left( \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi-\tau}^{\pi-\tau} f(u) e^{-inu} du \right)$

Comme l'intégrande $f(u)e^{-inu}$ est $2\pi$-périodique, l'intégrale sur un intervalle de longueur $2\pi$ ($[-\pi-\tau, \pi-\tau]$) est égale à l'intégrale sur $[-\pi, \pi]$.

Conclusion :

$c_n(g) = e^{-in\tau} \left( \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(u) e^{-inu} du \right) = e^{-in\tau} c_n(f)$