Exercices “Séries de Fourier”

Méthode : On utilise les propriétés de parité pour simplifier le calcul des coefficients, puis on applique les formules d’Euler-Fourier.

Étapes :

1. Graphe : C’est un signal “créneau” (carré). Il oscille entre -1 et 1.

2. Parité :

   Pour tout $t \in ]-\pi, \pi[$, on a $f(-t) = -f(t)$.

   Par exemple, si $t \in ]0, \pi[$, alors $-t \in ]-\pi, 0[$, donc $f(-t) = -1$ et $-f(t) = -1$.

   La fonction est donc impaire.

3. Calcul des coefficients :

   • Puisque $f$ est impaire, $a_n = 0$ pour tout $n \ge 0$.
   • Calculons $b_n$ pour $n \ge 1$ :

   $b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \sin(nt) \, dt$

   Comme $f(t)\sin(nt)$ est le produit de deux fonctions impaires, c’est une fonction paire. On peut donc intégrer sur $[0, \pi]$ et multiplier par 2 :

   $b_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} 1 \cdot \sin(nt) \, dt$

   $b_n = \frac{2}{\pi} \left[ \frac{-\cos(nt)}{n} \right]_{0}^{\pi} = \frac{2}{n\pi} (-\cos(n\pi) + \cos(0))$

   On sait que $\cos(n\pi) = (-1)^n$.

   $b_n = \frac{2}{n\pi} (1 - (-1)^n)$

   • Si $n$ est pair ($n=2k$), $b_{2k} = \frac{2}{2k\pi}(1-1) = 0$.
   • Si $n$ est impair ($n=2k+1$), $b_{2k+1} = \frac{2}{(2k+1)\pi}(1 - (-1)) = \frac{4}{(2k+1)\pi}$.

4. Série de Fourier :

   $S_f(t) = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{4}{(2k+1)\pi} \sin((2k+1)t)$

Réponse : $S_f(t) = \frac{4}{\pi} \left( \sin(t) + \frac{\sin(3t)}{3} + \frac{\sin(5t)}{5} + \dots \right)$

Méthode : Utiliser la parité pour annuler $b_n$ et intégrer par parties pour trouver $a_n$.

Étapes :

1. Parité : $|-t| = |t|$, la fonction est paire. Donc $b_n = 0$ pour tout $n \ge 1$.

2. Calcul de $a_0$ :

   $a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |t| \, dt = \frac{2}{2\pi} \int_{0}^{\pi} t \, dt = \frac{1}{\pi} \left[ \frac{t^2}{2} \right]_0^\pi = \frac{1}{\pi} \frac{\pi^2}{2} = \frac{\pi}{2}$

3. Calcul de $a_n$ ($n \ge 1$) :

   $a_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} t \cos(nt) \, dt$

   On effectue une intégration par parties :

   $u = t \Rightarrow u' = 1$

   $v' = \cos(nt) \Rightarrow v = \frac{\sin(nt)}{n}$

   $a_n = \frac{2}{\pi} \left( \left[ t \frac{\sin(nt)}{n} \right]_0^\pi - \int_0^\pi \frac{\sin(nt)}{n} \, dt \right)$

   Le terme entre crochets est nul car $\sin(n\pi)=0$ et $\sin(0)=0$.

   $a_n = \frac{2}{\pi} \left[ \frac{\cos(nt)}{n^2} \right]_0^\pi = \frac{2}{\pi n^2} (\cos(n\pi) - 1) = \frac{2}{\pi n^2} ((-1)^n - 1)$

   • Si $n$ est pair, $a_n = 0$.
   • Si $n$ est impair ($n=2k+1$), $a_n = \frac{2}{\pi (2k+1)^2} (-2) = \frac{-4}{\pi (2k+1)^2}$.

4. Série de Fourier :

   $S_g(t) = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi} \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{\cos((2k+1)t)}{(2k+1)^2}$

Réponse : $S_g(t) = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi} \left( \cos(t) + \frac{\cos(3t)}{9} + \frac{\cos(5t)}{25} + \dots \right)$

Méthode : Appliquer directement la formule de définition des coefficients complexes $c_n$.

Étapes :

1. Formule :

   $c_n = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} h(t) e^{-int} \, dt$

   (Note : L’intervalle de définition est $[0, 2\pi[$, on intègre donc sur cet intervalle).

2. Calcul :

   $c_n = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} e^{2t} e^{-int} \, dt = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} e^{(2-in)t} \, dt$

   Primitive de $e^{\alpha t}$ est $\frac{e^{\alpha t}}{\alpha}$. Ici $\alpha = 2-in \neq 0$.

   $c_n = \frac{1}{2\pi} \left[ \frac{e^{(2-in)t}}{2-in} \right]_0^{2\pi}$

   $c_n = \frac{1}{2\pi(2-in)} (e^{(2-in)2\pi} - e^0)$

   On sait que $e^{(2-in)2\pi} = e^{4\pi} e^{-i 2\pi n}$. Comme $n$ est entier, $e^{-i 2\pi n} = 1$.

   $c_n = \frac{1}{2\pi(2-in)} (e^{4\pi} - 1)$

3. Simplification (forme algébrique) :

   On multiplie par le conjugué $(2+in)$ :

   $c_n = \frac{e^{4\pi}-1}{2\pi} \cdot \frac{2+in}{4+n^2}$

Réponse : $c_n = \frac{(e^{4\pi}-1)(2+in)}{2\pi(4+n^2)}$

Méthode : Vérifier les hypothèses du théorème de Dirichlet ($f$ est $2\pi$-périodique et $\mathcal{C}^1$ par morceaux) et calculer la limite $\frac{f(t^+) + f(t^-)}{2}$.

Étapes :

1. Vérification des hypothèses :

   La fonction est constante par morceaux (donc $\mathcal{C}^1$ par morceaux) et périodique. Le théorème s’applique.

2. En $t = \frac{\pi}{2}$ :

   La fonction est continue en ce point.

   $f(\frac{\pi}{2}^-) = 1$ et $f(\frac{\pi}{2}^+) = 1$.

   La série converge vers $f(\frac{\pi}{2}) = 1$.

   Vérification : $\sin((2k+1)\frac{\pi}{2}) = (-1)^k$. La série donne $\frac{4}{\pi}(1 - 1/3 + 1/5 \dots) = 1$ (série de Leibniz).

3. En $t = 0$ :

   C’est un point de discontinuité.

   $\lim_{t \to 0^+} f(t) = 1$

   $\lim_{t \to 0^-} f(t) = -1$

   La série converge vers $\frac{1 + (-1)}{2} = 0$.

   Vérification : Tous les termes $\sin((2k+1)0)$ sont nuls.

4. En $t = \pi$ :

   C’est un point de discontinuité (aux bornes de la période).

   $\lim_{t \to \pi^+} f(t) = -1$ (valeur après le saut, début période suivante)

   $\lim_{t \to \pi^-} f(t) = 1$

   La série converge vers $\frac{-1 + 1}{2} = 0$.

Réponse :

1. $S_f(\frac{\pi}{2}) = 1$
2. $S_f(0) = 0$
3. $S_f(\pi) = 0$

Méthode : Calculer l’énergie du signal (intégrale du carré) et égaler à la somme des carrés des coefficients de Fourier.

Étapes :

1. Calcul de l’intégrale (membre de gauche) :

   $\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |g(t)|^2 \, dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} t^2 \, dt = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} t^2 \, dt$

   $= \frac{1}{\pi} \left[ \frac{t^3}{3} \right]_0^\pi = \frac{1}{\pi} \frac{\pi^3}{3} = \frac{\pi^2}{3}$

2. Somme des coefficients (membre de droite) :

   Les coefficients sont $a_0 = \frac{\pi}{2}$, $a_{2k+1} = \frac{-4}{\pi(2k+1)^2}$, et les autres sont nuls.

   Formule de Parseval : $|a_0|^2 + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty (|a_n|^2 + |b_n|^2)$

   $= \left(\frac{\pi}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{+\infty} \left( \frac{-4}{\pi(2k+1)^2} \right)^2$

   $= \frac{\pi^2}{4} + \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{16}{\pi^2 (2k+1)^4}$

   $= \frac{\pi^2}{4} + \frac{8}{\pi^2} \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{(2k+1)^4}$

3. Égalité et résolution :

   $\frac{\pi^2}{3} = \frac{\pi^2}{4} + \frac{8}{\pi^2} A$

   $\frac{8}{\pi^2} A = \frac{\pi^2}{3} - \frac{\pi^2}{4} = \frac{4\pi^2 - 3\pi^2}{12} = \frac{\pi^2}{12}$

   $A = \frac{\pi^2}{12} \times \frac{\pi^2}{8} = \frac{\pi^4}{96}$

Réponse : $\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{(2k+1)^4} = \frac{\pi^4}{96}$

Méthode : Choisir $t$ tel que $\cos(nt)$ simplifie le terme $(-1)^n$ pour obtenir une somme de termes positifs.

Étapes :

1. Choix de $t$ :

   On veut faire apparaître $\sum \frac{1}{n^2}$.

   Si on prend $t = \pi$, on a $\cos(n\pi) = (-1)^n$.

   Le terme général devient $\frac{(-1)^n}{n^2} (-1)^n = \frac{(-1)^{2n}}{n^2} = \frac{1}{n^2}$.

2. Application de Dirichlet :

   La fonction $k(t) = t^2$ est continue sur $[-\pi, \pi]$ et $k(-\pi) = (-\pi)^2 = \pi^2 = k(\pi)$. La fonction périodisée est continue partout.

   En $t=\pi$, $S_k(\pi) = k(\pi) = \pi^2$.

3. Résolution :

   $\pi^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4 \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$

   $\pi^2 - \frac{\pi^2}{3} = 4 \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$

   $\frac{2\pi^2}{3} = 4 \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$

   $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{2\pi^2}{3 \times 4} = \frac{\pi^2}{6}$

Réponse : $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$

Méthode : Utiliser les critères de convergence normale ($\sum |u_n(t)|$ majorée par une série numérique convergente) et les théorèmes de dérivation terme à terme.

Étapes :

Pour $S_1(t)$ :

1. Convergence Normale :

   $\left| \frac{\sin(nt)}{n^3} \right| \le \frac{1}{n^3}$.

   La série numérique $\sum \frac{1}{n^3}$ (Riemann $\alpha=3 > 1$) converge.

   Donc $S_1$ converge normalement (et uniformément).

2. Continuité :

   La convergence uniforme de fonctions continues ($\sin(nt)$) implique la continuité de la somme. $S_1$ est continue.

3. Caractère $\mathcal{C}^1$ :

   La série des dérivées terme à terme est $\sum \frac{n \cos(nt)}{n^3} = \sum \frac{\cos(nt)}{n^2}$.

   On a $\left| \frac{\cos(nt)}{n^2} \right| \le \frac{1}{n^2}$. La série $\sum \frac{1}{n^2}$ converge.

   La série des dérivées converge normalement, donc $S_1$ est $\mathcal{C}^1$.

Pour $S_2(t)$ :

1. Convergence Normale :

   Le majorant naturel est $\frac{1}{\sqrt{n}}$. La série $\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ diverge (Riemann $\alpha = 1/2 \le 1$).

   La convergence n’est pas normale.

2. Continuité :

   Bien qu’elle ne converge pas absolument, cette série converge simplement pour tout $t$ (sauf peut-être $t=0$) par le critère d’Abel, mais la convergence n’est pas uniforme au voisinage de 0. La fonction n’est pas forcément continue (en général elle a une singularité en 0).

   Note niveau régulier : Il suffit de dire “Pas de convergence normale, donc les théorèmes simples ne s’appliquent pas”.

3. Caractère $\mathcal{C}^1$ :

   La série des dérivées serait $\sum \sqrt{n} \cos(nt)$, qui ne tend même pas vers 0. Elle diverge grossièrement. La fonction n’est pas $\mathcal{C}^1$.

Réponse :

• $S_1$ : Converge normalement, est Continue, est $\mathcal{C}^1$.
• $S_2$ : Ne converge pas normalement.

Méthode : Adapter les formules de Fourier pour une période $T$ arbitraire. La pulsation fondamentale est $\omega = \frac{2\pi}{T} = \pi$.

Étapes :

1. Analyse de la fonction :

   $f(x) = x$ sur $[-1, 1]$. C’est une fonction impaire.

   Donc $a_n = 0$.

2. Formule pour $b_n$ :

   Sur une période $T$, la formule est :

   $b_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x) \sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) \, dx$

   Ici $T=2$, donc :

   $b_n = \frac{2}{2} \int_{-1}^{1} x \sin(\pi n x) \, dx = \int_{-1}^{1} x \sin(\pi n x) \, dx$

3. Calcul :

   La fonction sous l’intégrale est paire ($Impaire \times Impaire$).

   $b_n = 2 \int_{0}^{1} x \sin(\pi n x) \, dx$

   Intégration par parties :

   $u = x, v' = \sin(\pi n x) \Rightarrow u'=1, v = \frac{-\cos(\pi n x)}{\pi n}$

   $b_n = 2 \left( \left[ \frac{-x \cos(\pi n x)}{\pi n} \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{-\cos(\pi n x)}{\pi n} \, dx \right)$

   $b_n = 2 \left( \frac{-1 \cdot \cos(\pi n)}{\pi n} - 0 + \left[ \frac{\sin(\pi n x)}{(\pi n)^2} \right]_0^1 \right)$

   Le terme en sinus est nul car $\sin(\pi n) = 0$.

   $b_n = 2 \left( \frac{-(-1)^n}{\pi n} \right) = \frac{2(-1)^{n+1}}{\pi n}$

Réponse : $b_n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n\pi}$

Méthode : Utiliser la définition intégrale et effectuer un changement de variable.

Étapes :

1. Définition de $d_n$ :

   $d_n = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} g(t) e^{-int} \, dt = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} f(t-t_0) e^{-int} \, dt$

2. Changement de variable :

   Posons $u = t - t_0$, donc $t = u + t_0$ et $dt = du$.

   Les bornes deviennent $-t_0$ et $2\pi - t_0$. Comme l’intégrande est $2\pi$-périodique, l’intégrale sur tout intervalle de longueur $2\pi$ est identique. On peut intégrer sur $[0, 2\pi]$ (ou garder les bornes, le résultat est le même).

   $d_n = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} f(u) e^{-in(u+t_0)} \, du$

3. Factorisation :

   $d_n = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} f(u) e^{-inu} e^{-int_0} \, du$

   Le terme $e^{-int_0}$ est constant par rapport à l’intégration.

   $d_n = e^{-int_0} \left( \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} f(u) e^{-inu} \, du \right)$

   On reconnaît $c_n$.

Réponse : $d_n = c_n e^{-int_0}$

(Le décalage temporel correspond à un déphasage dans le domaine fréquentiel).

Méthode : Transformer l’équation différentielle en une équation algébrique sur les coefficients de Fourier $c_n$.

Étapes :

1. Dérivation :

   Si $y(t) = \sum c_n e^{int}$, alors $y''(t) = \sum c_n (in)^2 e^{int} = \sum -n^2 c_n e^{int}$.

2. Substitution :

   L’équation devient :

   $\sum -n^2 c_n e^{int} + 2 \sum c_n e^{int} = \sin(3t)$

   $\sum c_n (2 - n^2) e^{int} = \frac{e^{i3t} - e^{-i3t}}{2i}$

3. Identification :

   Le terme de droite est une série de Fourier où seuls les coefficients pour $n=3$ et $n=-3$ sont non nuls.

   • Pour $n=3$ : Le coeff est $\frac{1}{2i}$. Donc $c_3 (2 - 3^2) = \frac{1}{2i} \Rightarrow c_3(-7) = \frac{1}{2i} \Rightarrow c_3 = \frac{-1}{14i}$.
   • Pour $n=-3$ : Le coeff est $\frac{-1}{2i}$. Donc $c_{-3} (2 - (-3)^2) = \frac{-1}{2i} \Rightarrow c_{-3}(-7) = \frac{-1}{2i} \Rightarrow c_{-3} = \frac{1}{14i}$.
   • Pour $|n| \neq 3$ : Le coeff à droite est 0. Comme $2-n^2 \neq 0$ (car $\sqrt{2}$ n’est pas entier), alors $c_n = 0$.

4. Expression réelle :

   $y(t) = c_3 e^{3it} + c_{-3} e^{-3it} = \frac{-1}{14i} e^{3it} + \frac{1}{14i} e^{-3it}$

   $y(t) = -\frac{1}{7} \frac{e^{3it} - e^{-3it}}{2i} = -\frac{1}{7} \sin(3t)$.

Réponse : $y(t) = -\frac{1}{7} \sin(3t)$