Séries de Fourier - fiches de révision (A)

Une série de Fourier est une représentation d'une fonction périodique comme une somme infinie de fonctions trigonométriques simples ($\cos$ et $\sin$) ou d'exponentielles complexes.

Elle s'applique généralement à une fonction d'une variable réelle $t$, $2\pi$-périodique.

Elle existe sous deux formes équivalentes :

1. Forme trigonométrique : Somme de sinus et cosinus.
2. Forme exponentielle : Somme d'exponentielles imaginaires $e^{int}$.

La série de Fourier associée à une fonction $f$ s'écrit :

$S(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} (a_n \cos(nt) + b_n \sin(nt))$

Où :

• $a_0$ est le terme constant (valeur moyenne).
• $a_n$ et $b_n$ sont les coefficients de Fourier réels.
• $n$ représente l'ordre de l'harmonique (la fréquence).

La forme exponentielle, souvent plus simple pour les calculs, s'écrit :

$S(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{int}$

Où :

• $c_n$ sont les coefficients de Fourier complexes.
• La sommation se fait sur tous les entiers relatifs $\mathbb{Z}$.

Lien avec le signal :

Le terme pour $n=0$ ($c_0$) est la moyenne, et les termes $n$ et $-n$ se combinent pour former les oscillations réelles.

Pour une fonction $f$ $2\pi$-périodique, on utilise les intégrales sur une période (souvent $[-\pi, \pi]$) :

Pour le terme constant :

$a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \, dt$

Pour les coefficients cosinus ($n \ge 1$) :

$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \cos(nt) \, dt$

Pour les coefficients sinus ($n \ge 1$) :

$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \sin(nt) \, dt$

Pour tout entier $n \in \mathbb{Z}$, le coefficient est donné par :

$c_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) e^{-int} \, dt$

Note :

Le facteur est toujours $\frac{1}{2\pi}$ dans cette formule, contrairement aux formules trigonométriques pour $a_n$ et $b_n$ qui utilisent $\frac{1}{\pi}$ (sauf pour $a_0$).

La parité permet de savoir à l'avance quels coefficients sont nuls :

1. Si $f$ est PAIRE ($f(-t) = f(t)$) :

   • $b_n = 0$ pour tout $n$ (pas de sinus).
   • On ne calcule que $a_0$ et les $a_n$.
   • $c_n = c_{-n}$.

2. Si $f$ est IMPAIRE ($f(-t) = -f(t)$) :

   • $a_n = 0$ pour tout $n$ (pas de cosinus, terme moyen nul).
   • On ne calcule que les $b_n$.
   • $c_n = -c_{-n}$.

Exemple : Pour un signal "créneau" impair, on n'aura que des termes en $\sin(nt)$.

Les coefficients des deux formes sont liés par :

De Trigonométrique vers Exponentielle :

$c_0 = a_0$

$c_n = \frac{a_n - i b_n}{2} \quad (\text{pour } n \ge 1)$

$c_{-n} = \frac{a_n + i b_n}{2} \quad (\text{pour } n \ge 1)$

D'Exponentielle vers Trigonométrique :

$a_n = c_n + c_{-n}$

$b_n = i(c_n - c_{-n})$

Si $f$ est $2\pi$-périodique et de classe $\mathcal{C}^1$ par morceaux, alors la série de Fourier converge en tout point $t_0$ vers la moyenne des limites à gauche et à droite :

$\lim_{N \to +\infty} S_N(t_0) = \frac{f(t_0^+) + f(t_0^-)}{2}$

Conséquences :

• Si $f$ est continue en $t_0$, la série converge vers $f(t_0)$.
• Si $f$ a un saut en $t_0$, la série converge vers le milieu du saut.

La convergence normale est un type de convergence très fort qui implique la convergence uniforme et la continuité de la somme.

Elle a lieu si la série des valeurs absolues des coefficients converge :

$\sum |c_n| < +\infty \quad \text{ou} \quad \sum |a_n| + \sum |b_n| < +\infty$

Cela se produit généralement si la fonction est suffisamment régulière (continue et dérivable). Si la série converge normalement, alors $S(t)$ est une fonction continue.

Le théorème de Parseval relie l'énergie du signal (intégrale du carré) à la somme des carrés de ses coefficients.

Forme exponentielle :

$\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |f(t)|^2 \, dt = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} |c_n|^2$

Forme trigonométrique :

$\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |f(t)|^2 \, dt = |a_0|^2 + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{+\infty} (|a_n|^2 + |b_n|^2)$

Méthode :

1. Calculer la série de Fourier d'une fonction simple (comme $t^2$ ou $|t|$).
2. Appliquer le Théorème de Dirichlet en un point précis $t_0$ (souvent $0$ ou $\pi$) pour trouver une égalité entre $f(t_0)$ et une somme infinie.
3. Ou appliquer le Théorème de Parseval pour relier l'intégrale de $f^2$ à la somme des carrés des coefficients (utile pour les sommes en $1/n^2$ ou $1/n^4$).

Exemple :

Utiliser $f(t)=t^2$ et le théorème de Dirichlet en $\pi$ permet de montrer que $\sum \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$.

Une fonction est $\mathcal{C}^1$ par morceaux sur un intervalle si :

1. Elle est continue et dérivable partout, sauf peut-être en un nombre fini de points.
2. En ces points de discontinuité, la fonction et sa dérivée admettent des limites finies à gauche et à droite.

Intuition : Le graphe est constitué d'un nombre fini de morceaux de courbes lisses reliés (ou non) entre eux. Le signal créneau ou triangulaire sont des exemples typiques.