Suites et séries de fonctions - preuves (A)

Soit $t \in [0, 1]$ fixé. Nous cherchons la limite de $f_n(t)$ lorsque $n \to +\infty$.

Étape 1 : Cas où $t=0$

Si $t=0$, alors pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

$f_n(0) = \frac{0}{1 + n \cdot 0} = 0$

La suite est constante égale à 0, donc $\lim_{n \to +\infty} f_n(0) = 0$.

Étape 2 : Cas où $t \in ]0, 1]$

Si $t > 0$, le dénominateur $1 + nt$ tend vers $+\infty$ car $n \to +\infty$ et $t$ est une constante positive.

Nous avons :

$f_n(t) = \frac{t}{1 + nt}$

Comme $t$ est fixé, le numérateur est constant.

$\lim_{n \to +\infty} (1 + nt) = +\infty$

Par quotient de limites :

$\lim_{n \to +\infty} \frac{t}{1 + nt} = 0$

Conclusion :

Pour tout $t \in [0, 1]$, la suite $(f_n(t))$ converge vers $0$. La suite de fonctions $(f_n)$ converge donc simplement vers la fonction nulle sur $[0, 1]$.

Supposons que $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $D$.

Étape 1 : Traduction de l'hypothèse

Par définition de la convergence uniforme (via la norme infinie), nous avons :

$\lim_{n \to +\infty} \|f_n - f\|_\infty = 0$

où $\|f_n - f\|_\infty = \sup_{x \in D} |f_n(x) - f(x)|$.

Étape 2 : Comparaison ponctuelle

Soit $t \in D$ fixé. Par définition de la borne supérieure (sup), pour tout $t \in D$ :

$|f_n(t) - f(t)| \le \sup_{x \in D} |f_n(x) - f(x)| = \|f_n - f\|_\infty$

Étape 3 : Passage à la limite

Puisque $\|f_n - f\|_\infty \to 0$ quand $n \to +\infty$, par le théorème des gendarmes (ou de comparaison), nous avons :

$\lim_{n \to +\infty} |f_n(t) - f(t)| = 0 \iff \lim_{n \to +\infty} f_n(t) = f(t)$

Conclusion :

Ceci étant vrai pour tout $t \in D$, la suite $(f_n)$ converge simplement vers $f$ sur $D$.

Étape 1 : Convergence simple

Soit $t \in [0, 1[$ fixé. On a une suite géométrique de raison $t$.

Comme $0 \le t < 1$, $\lim_{n \to +\infty} t^n = 0$.

La suite converge donc simplement vers la fonction nulle $f(t) = 0$ sur $D$.

Étape 2 : Étude de la convergence uniforme

On doit calculer $\|f_n - f\|_\infty = \sup_{t \in [0, 1[} |t^n - 0| = \sup_{t \in [0, 1[} t^n$.

La fonction $t \mapsto t^n$ est croissante sur $[0, 1[$. Sa borne supérieure est la limite en $1^-$ :

$\sup_{t \in [0, 1[} t^n = \lim_{t \to 1^-} t^n = 1$

Donc $\|f_n - f\|_\infty = 1$.

Conclusion :

La suite numérique $(\|f_n - f\|_\infty)_{n \in \mathbb{N}}$ est constante égale à 1. Elle ne tend pas vers 0.

$\lim_{n \to +\infty} \|f_n - f\|_\infty \neq 0$

Il n'y a donc pas convergence uniforme sur $[0, 1[$.

Supposons que la série $\sum u_n$ converge normalement sur $D$.

Cela signifie que la série numérique $\sum \|u_n\|_\infty$ est convergente.

Étape 1 : Majoration du reste

Pour tout $t \in D$, le reste d'ordre $n$ de la série est défini par $R_n(t) = \sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k(t)$.

Utilisons l'inégalité triangulaire :

$|R_n(t)| = \left| \sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k(t) \right| \le \sum_{k=n+1}^{+\infty} |u_k(t)|$

Par définition de la norme infinie, $|u_k(t)| \le \|u_k\|_\infty$. Donc :

$|R_n(t)| \le \sum_{k=n+1}^{+\infty} \|u_k\|_\infty$

Étape 2 : Passage au Sup

Le majorant obtenu à droite ne dépend pas de $t$. On peut donc majorer la borne supérieure sur $D$ :

$\sup_{t \in D} |R_n(t)| \le \sum_{k=n+1}^{+\infty} \|u_k\|_\infty$

Étape 3 : Conclusion par limites

Posons $r_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} \|u_k\|_\infty$. C'est le reste d'une série numérique convergente (par hypothèse de convergence normale).

Donc $\lim_{n \to +\infty} r_n = 0$.

Par conséquent :

$\lim_{n \to +\infty} \left( \sup_{t \in D} |R_n(t)| \right) = 0$

Ce qui signifie exactement que la série converge uniformément sur $D$.

Étape 1 : Calcul de la norme infinie

Pour tout $t \in \mathbb{R}$, on a :

$|u_n(t)| = \left| \frac{\cos(nt)}{n^2} \right| = \frac{|\cos(nt)|}{n^2}$

On sait que $|\cos(x)| \le 1$ pour tout réel $x$.

Donc $|u_n(t)| \le \frac{1}{n^2}$.

Cette majoration est atteinte (par exemple pour $t=0$, $\cos(0)=1$).

Ainsi, $\|u_n\|_\infty = \frac{1}{n^2}$.

Étape 2 : Convergence de la série des normes

La série $\sum_{n \ge 1} \|u_n\|_\infty = \sum_{n \ge 1} \frac{1}{n^2}$ est une série de Riemann avec $\alpha = 2 > 1$.

Elle est donc convergente.

Conclusion :

La série de fonctions converge normalement sur $\mathbb{R}$.

Comme la convergence normale implique la convergence uniforme, la série converge uniformément sur $\mathbb{R}$.

Soit $t_0 \in D$. Montrons que $f$ est continue en $t_0$.

Soit $\varepsilon > 0$.

Étape 1 : Utilisation de la convergence uniforme

Comme $(f_n)$ converge uniformément vers $f$, il existe un rang $N \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $n \ge N$ et pour tout $t \in D$ :

$|f_n(t) - f(t)| < \frac{\varepsilon}{3}$

Fixons cet entier $N$. Cette inégalité est donc vraie pour $f_N$ en tout point, en particulier :

$|f_N(t) - f(t)| < \frac{\varepsilon}{3} \quad \text{et} \quad |f_N(t_0) - f(t_0)| < \frac{\varepsilon}{3}$

Étape 2 : Utilisation de la continuité de $f_N$

La fonction $f_N$ est continue en $t_0$ (par hypothèse). Il existe donc un voisinage $\delta > 0$ tel que pour tout $t \in D$ vérifiant $|t - t_0| < \delta$ :

$|f_N(t) - f_N(t_0)| < \frac{\varepsilon}{3}$

Étape 3 : Combinaison (Inégalité triangulaire)

Pour tout $t \in D$ tel que $|t - t_0| < \delta$, décomposons $|f(t) - f(t_0)|$ :

$|f(t) - f(t_0)| \le \underbrace{|f(t) - f_N(t)|}_{< \varepsilon/3} + \underbrace{|f_N(t) - f_N(t_0)|}_{< \varepsilon/3} + \underbrace{|f_N(t_0) - f(t_0)|}_{< \varepsilon/3}$

Donc $|f(t) - f(t_0)| < \varepsilon$.

Conclusion :

Nous avons montré que pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $\delta$ tel que $|t - t_0| < \delta \Rightarrow |f(t) - f(t_0)| < \varepsilon$.

La fonction $f$ est donc continue en $t_0$.

Étape 1 : Majoration de la différence

Considérons la valeur absolue de la différence des intégrales :

$\Delta_n = \left| \int_a^b f_n(t) dt - \int_a^b f(t) dt \right|$

Par linéarité de l'intégrale :

$\Delta_n = \left| \int_a^b (f_n(t) - f(t)) dt \right|$

On utilise l'inégalité triangulaire pour les intégrales ($\left| \int \phi \right| \le \int |\phi|$) :

$\Delta_n \le \int_a^b |f_n(t) - f(t)| dt$

Étape 2 : Utilisation de la convergence uniforme

On sait que pour tout $t \in [a, b]$, $|f_n(t) - f(t)| \le \|f_n - f\|_\infty$.

On peut donc majorer l'intégrande par cette constante (par rapport à $t$) :

$\Delta_n \le \int_a^b \|f_n - f\|_\infty dt$

$\Delta_n \le \|f_n - f\|_\infty \times (b - a)$

Étape 3 : Passage à la limite

Puisque $(f_n)$ converge uniformément vers $f$, $\lim_{n \to +\infty} \|f_n - f\|_\infty = 0$.

Comme $(b-a)$ est constant, on a :

$\lim_{n \to +\infty} \Delta_n = 0$

Ce qui prouve que $\lim_{n \to +\infty} \int_a^b f_n(t) dt = \int_a^b f(t) dt$.

Étape 1 : Limite simple

Soit $t \in [0, 1]$.

• Si $t=0$, $f_n(0) = 0 \to 0$.
• Si $t=1$, $f_n(1) = 0 \to 0$.
• Si $t \in ]0, 1[$, on pose $a = 1-t^2 \in ]0, 1[$. Alors $f_n(t) = n t a^n$. Par croissance comparée (le terme géométrique $a^n$ l'emporte sur le polynôme $n$), $\lim_{n \to \infty} n a^n = 0$.

Donc $f_n$ converge simplement vers la fonction nulle $f \equiv 0$.

L'intégrale de la limite est $\int_0^1 0 dt = 0$.

Étape 2 : Calcul de l'intégrale

$I_n = \int_0^1 n t (1-t^2)^n dt$

On reconnaît la forme $-\frac{n}{2} u' u^n$ avec $u(t) = 1-t^2$.

$I_n = \left[ -\frac{n}{2} \frac{(1-t^2)^{n+1}}{n+1} \right]_0^1$

$I_n = -\frac{n}{2(n+1)} (0 - 1) = \frac{n}{2n+2}$

Étape 3 : Comparaison

$\lim_{n \to +\infty} I_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{n}{2n+2} = \frac{1}{2}$

On constate que :

$\frac{1}{2} \neq 0$

L'égalité $\lim \int = \int \lim$ n'est pas vérifiée. Cela confirme que la convergence simple ne suffit pas pour intervertir limite et intégrale.

Étape 1 : Relation terme/somme partielle

Soit $S_n(t) = \sum_{k=0}^n u_k(t)$. On a la relation :

$u_n(t) = S_n(t) - S_{n-1}(t) \quad (\text{pour } n \ge 1)$

Étape 2 : Utilisation de la convergence uniforme

L'hypothèse de convergence uniforme de la série signifie que la suite des sommes partielles $(S_n)$ converge uniformément vers une fonction somme $S$.

$\lim_{n \to +\infty} \|S_n - S\|_\infty = 0$

Naturellement, la suite décalée $(S_{n-1})$ converge aussi uniformément vers $S$.

Étape 3 : Inégalité triangulaire

$\|u_n\|_\infty = \|S_n - S_{n-1}\|_\infty$

On introduit $S$ : $S_n - S_{n-1} = (S_n - S) + (S - S_{n-1})$.

$\|u_n\|_\infty \le \|S_n - S\|_\infty + \|S - S_{n-1}\|_\infty$

Or, $\|S - S_{n-1}\|_\infty = \|S_{n-1} - S\|_\infty$.

Conclusion :

Les deux termes de droite tendent vers 0 quand $n \to +\infty$.

Donc $\lim_{n \to +\infty} \|u_n\|_\infty = 0$.

Cela signifie exactement que la suite de fonctions $(u_n)$ converge uniformément vers la fonction nulle.

Soit $a > 1$ un réel quelconque. Travaillons sur l'intervalle $I_a = [a, +\infty[$.

Étape 1 : Analyse des fonctions termes

Posons $u_n(x) = \frac{1}{n^x} = n^{-x}$. Ces fonctions sont $\mathcal{C}^1$ sur $I_a$.

Leur dérivée est :

$u'_n(x) = -\ln(n) \cdot n^{-x} = -\frac{\ln n}{n^x}$

Étape 2 : Convergence de la série initiale

Pour $x \in I_a$, $|u_n(x)| \le \frac{1}{n^a}$.

Comme $a > 1$, la série $\sum \frac{1}{n^a}$ converge (Riemann).

La série $\sum u_n$ converge (normalement) sur $I_a$, donc elle converge simplement en au moins un point.

Étape 3 : Convergence uniforme des dérivées

Étudions la série $\sum u'_n$.

$|u'_n(x)| = \left| -\frac{\ln n}{n^x} \right| = \frac{\ln n}{n^x}$

Pour tout $x \ge a$, comme $n \ge 1$, $\frac{1}{n^x} \le \frac{1}{n^a}$.

Donc $\sup_{x \in I_a} |u'_n(x)| \le \frac{\ln n}{n^a}$.

La série numérique $\sum \frac{\ln n}{n^a}$ converge (c'est une série de Bertrand, ou par comparaison : pour $\epsilon > 0$ tel que $a-\epsilon > 1$, on a $\frac{\ln n}{n^a} = o(\frac{1}{n^{a-\epsilon}})$).

Ainsi, la série $\sum u'_n$ converge normalement, donc uniformément sur $[a, +\infty[$.

Conclusion :

D'après le théorème de dérivation sous le signe somme, $\zeta$ est $\mathcal{C}^1$ sur $[a, +\infty[$.

Comme ceci est vrai pour tout $a > 1$, $\zeta$ est $\mathcal{C}^1$ sur $]1, +\infty[$.

Sa dérivée est $\zeta'(x) = -\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\ln n}{n^x}$.