Exercices “Suites et séries de fonctions”

Méthode :

Pour la convergence simple, on fixe $x$ et on fait tendre $n$ vers l’infini. Pour la convergence uniforme, on étudie le maximum de la différence $|f_n(x) - f(x)|$ sur l’intervalle.

Étapes :

1. Convergence simple :

   Soit $x \in [0, 1]$ fixé.

   $\lim_{n \to +\infty} f_n(x) = \lim_{n \to +\infty} \frac{x}{x+n} = 0$

   La suite converge simplement vers la fonction nulle : $f(x) = 0$ pour tout $x \in [0, 1]$.

2. Calcul de la norme infinie :

   On cherche $\|f_n - f\|_\infty = \sup_{x \in [0, 1]} |f_n(x) - 0| = \sup_{x \in [0, 1]} \frac{x}{x+n}$.

   La fonction $g_n(x) = \frac{x}{x+n}$ est dérivable sur $[0, 1]$ :

   $g_n'(x) = \frac{1(x+n) - x(1)}{(x+n)^2} = \frac{n}{(x+n)^2}$

   Comme $n > 0$, $g_n'(x) > 0$ sur $[0, 1]$. La fonction est strictement croissante.

   Le maximum est donc atteint à la borne droite de l’intervalle, en $x = 1$.

   $\|f_n - f\|_\infty = f_n(1) = \frac{1}{1+n}$

3. Conclusion sur la convergence uniforme :

   On regarde si la norme infinie tend vers 0 :

   $\lim_{n \to +\infty} \|f_n - f\|_\infty = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{1+n} = 0$

   Puisque la limite est 0, la suite $(f_n)$ converge uniformément vers la fonction nulle sur $[0, 1]$.

Réponse : La suite converge uniformément vers 0.

Méthode :

Utiliser le théorème de continuité : si une suite de fonctions continues converge uniformément, la limite doit être continue. On utilise ici la contraposée.

Étapes :

1. Convergence simple :

   Soit $x \in [0, 1]$.

   • Si $0 \le x < 1$, alors $\lim_{n \to +\infty} x^n = 0$.
   • Si $x = 1$, alors $f_n(1) = 1^n = 1$, donc $\lim_{n \to +\infty} f_n(1) = 1$.

   La fonction limite est :

   $f(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x \in [0, 1[ \\ 1 & \text{si } x = 1 \end{cases}$

2. Continuité de la limite :

   La fonction $f$ est discontinue en $x=1$ car $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 0$ mais $f(1) = 1$.

3. Conclusion sur la convergence uniforme :

   Les fonctions $f_n$ sont des polynômes, donc elles sont continues sur $[0, 1]$.

   Si la convergence était uniforme sur $[0, 1]$, la fonction limite $f$ serait nécessairement continue.

   Puisque $f$ n’est pas continue, la convergence n’est pas uniforme.

Réponse : La suite converge simplement mais pas uniformément.

Méthode :

Pour la convergence normale, on majore $|u_n(x)|$ par une suite numérique $a_n$ indépendante de $x$ telle que $\sum a_n$ converge. La convergence normale implique la convergence uniforme, qui implique la continuité de la somme (car les termes sont continus).

Étapes :

1. Convergence simple :

   Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $|\sin(nx)| \le 1$. Donc $|u_n(x)| \le \frac{1}{n^3}$.

   La série numérique $\sum \frac{1}{n^3}$ est une série de Riemann convergente ($\alpha = 3 > 1$). Par comparaison, la série $\sum u_n(x)$ converge absolument, donc simplement.

2. Convergence normale :

   On calcule la norme infinie du terme général :

   $\|u_n\|_\infty = \sup_{x \in \mathbb{R}} \left| \frac{\sin(nx)}{n^3} \right| = \frac{1}{n^3}$

   (Le sup est atteint car $\sin(nx)$ prend la valeur 1).

   La série numérique $\sum \|u_n\|_\infty = \sum \frac{1}{n^3}$ est convergente.

   Donc, par définition, la série de fonctions converge normalement sur $\mathbb{R}$.

3. Continuité :

   • La convergence normale implique la convergence uniforme sur $\mathbb{R}$.
   • Pour tout $n \ge 1$, la fonction $x \mapsto \frac{\sin(nx)}{n^3}$ est continue sur $\mathbb{R}$.
   • D’après le théorème de continuité sous convergence uniforme, la somme $S(x)$ est continue sur $\mathbb{R}$.

Réponse : La série converge normalement, donc uniformément, définissant une fonction continue.

Méthode :

Comparer la limite de l’intégrale et l’intégrale de la limite. Si elles diffèrent, le théorème d’interversion ne s’applique pas, ce qui implique l’absence de convergence uniforme.

Étapes :

1. Limite simple :

   • Si $x = 0$, $f_n(0) = 0 \to 0$.
   • Si $x \in ]0, 1]$, $f_n(x) \sim \frac{2nx}{n^2x^4} = \frac{2}{nx^3} \xrightarrow{n \to \infty} 0$.

   Donc $f_n$ converge simplement vers la fonction nulle $f(x) = 0$.

2. Calcul de l’intégrale $I_n$ :

   $I_n = \int_0^1 \frac{2nx}{1+(nx^2)^2} dx$

   On pose le changement de variable $u = nx^2$, donc $du = 2nx dx$.

   Les bornes : si $x=0, u=0$ ; si $x=1, u=n$.

   $I_n = \int_0^n \frac{1}{1+u^2} du = [\arctan(u)]_0^n = \arctan(n) - \arctan(0) = \arctan(n)$

3. Comparaison des limites :

   • Limite de la suite des intégrales : $\lim_{n \to +\infty} I_n = \lim_{n \to +\infty} \arctan(n) = \frac{\pi}{2}$.
   • Intégrale de la limite : $\int_0^1 f(x) dx = \int_0^1 0 dx = 0$.

4. Conclusion :

   On observe que $\lim \int f_n \neq \int \lim f_n$ ($\frac{\pi}{2} \neq 0$).

   Le théorème d’intégration sous convergence uniforme énonce que si la convergence était uniforme, ces valeurs seraient égales.

   Par conséquent, la suite $(f_n)$ ne converge pas uniformément sur $[0, 1]$.

Réponse : $\frac{\pi}{2} \neq 0$, donc pas de convergence uniforme.

Méthode :

Utiliser les critères de convergence des séries numériques pour le point 1. Utiliser le sup du terme général pour le point 2.

Étapes :

1. Domaine de définition :

   Soit $u_n(x) = \frac{e^{-nx}}{n} = \frac{(e^{-x})^n}{n}$.

   • Si $x < 0$, alors $e^{-x} > 1$. Le terme général tend vers l’infini (croissance comparée), la série diverge grossièrement.
   • Si $x = 0$, $u_n(0) = \frac{1}{n}$. C’est la série harmonique, qui diverge.
   • Si $x > 0$, on pose $X = e^{-x} \in ]0, 1[$. La série $\sum \frac{X^n}{n}$ converge (série géométrique ou logarithmique).

   Donc $D = ]0, +\infty[$.

2. Convergence normale sur $[a, +\infty[$ :

   Soit $a > 0$. Pour tout $x \in [a, +\infty[$, on a $e^{-x} \le e^{-a}$.

   $|u_n(x)| = \frac{e^{-nx}}{n} \le \frac{e^{-na}}{n}$

   Le majorant $\frac{(e^{-a})^n}{n}$ est le terme général d’une série convergente (car $e^{-a} < 1$).

   Donc $\sum \|u_n\|_{\infty, [a, +\infty[}$ converge. La convergence est normale sur $[a, +\infty[$.

3. Sur $]0, +\infty[$ :

   Le sup de $|u_n(x)|$ sur $]0, +\infty[$ est $\sup_{x>0} \frac{e^{-nx}}{n} = \frac{1}{n}$ (limite en $0^+$).

   La série $\sum \frac{1}{n}$ diverge.

   Il n’y a donc pas convergence normale sur $]0, +\infty[$.

Réponse : $D = ]0, +\infty[$. Normale sur $[a, +\infty[$ mais pas sur $D$ entier.

Méthode :

Pour montrer qu’une somme de série est $\mathcal{C}^1$, on applique le théorème de dérivation terme à terme. Il faut vérifier la convergence de la série simple et la convergence uniforme de la série des dérivées.

Étapes :

1. Définition de $f$ :

   $| \frac{\cos(nx)}{n^4} | \le \frac{1}{n^4}$. La série numérique $\sum \frac{1}{n^4}$ converge.

   La série converge (normalement) sur $\mathbb{R}$, donc $f(x)$ existe pour tout $x$.

2. Dérivabilité $\mathcal{C}^1$ :

   Soit $u_n(x) = \frac{\cos(nx)}{n^4}$. Les fonctions $u_n$ sont $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$.

   Calculons la dérivée :

   $u_n'(x) = \frac{-n \sin(nx)}{n^4} = -\frac{\sin(nx)}{n^3}$

   Étudions la convergence de la série des dérivées $\sum u_n'$.

   $\sup_{x \in \mathbb{R}} |u_n'(x)| = \sup_{x \in \mathbb{R}} \left| \frac{\sin(nx)}{n^3} \right| = \frac{1}{n^3}$

   La série $\sum \frac{1}{n^3}$ converge.

   Donc la série $\sum u_n'$ converge normalement (donc uniformément) sur $\mathbb{R}$.

   Conclusion :

   Puisque $\sum u_n$ converge simplement (et même uniformément) et $\sum u_n'$ converge uniformément sur $\mathbb{R}$, le théorème de dérivation s’applique.

   $f$ est $\mathcal{C}^1$ et :

   $f'(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} u_n'(x) = -\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin(nx)}{n^3}$

Réponse : $f$ est $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$.

Méthode :

Identifier une suite de fonctions $f_n$, montrer la convergence uniforme sur le segment d’intégration, puis intervertir limite et intégrale.

Étapes :

1. Identification de la suite :

   Soit $f_n(x) = \frac{\sin(x)}{x+n}$ définie sur $I = [0, \frac{\pi}{2}]$.

2. Convergence simple :

   Pour tout $x \in I$ fixé, $\lim_{n \to \infty} f_n(x) = 0$. La limite simple est la fonction nulle $f = 0$.

3. Convergence uniforme :

   Majorons $|f_n(x) - f(x)|$ sur $I$.

   Pour tout $x \in [0, \frac{\pi}{2}]$, on a $|\sin(x)| \le 1$ et $x+n \ge n$.

   $|f_n(x)| = \frac{|\sin(x)|}{x+n} \le \frac{1}{n}$

   Donc $\|f_n - 0\|_\infty \le \frac{1}{n}$.

   Comme $\frac{1}{n} \to 0$, la convergence est uniforme sur $[0, \frac{\pi}{2}]$.

4. Calcul de la limite :

   Par le théorème d’interversion limite/intégrale (valide car la convergence est uniforme sur un segment) :

   $\lim_{n \to +\infty} \int_0^{\frac{\pi}{2}} f_n(x) dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \lim_{n \to +\infty} f_n(x) \right) dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 0 dx = 0$

Réponse : La limite vaut 0.

Méthode :

Utiliser le développement connu de l’exponentielle, substituer, puis intégrer la série.

Étapes :

1. Développement en série :

   On sait que pour tout $u \in \mathbb{R}$, $e^u = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{u^n}{n!}$.

   En posant $u = -t^2$, on obtient pour tout $t \in \mathbb{R}$ :

   $e^{-t^2} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n t^{2n}}{n!}$

2. Justification de l’intégration :

   Soit $x$ fixé (supposons $x>0$ sans perte de généralité). Sur l’intervalle compact $[0, x]$, la série entière a un rayon de convergence infini, donc elle converge normalement (et uniformément) sur tout compact.

   La convergence uniforme permet d’intégrer terme à terme.

3. Calcul de l’intégrale :

   $\int_0^x e^{-t^2} dt = \int_0^x \left( \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n t^{2n}}{n!} \right) dt$

   $= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n!} \left( \int_0^x t^{2n} dt \right)$

   $= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n!} \left[ \frac{t^{2n+1}}{2n+1} \right]_0^x$

   $= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{n!(2n+1)}$

Réponse : $F(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{n!(2n+1)}$.

Méthode :

C’est la construction classique de l’exponentielle. On utilise les théorèmes de convergence normale et de dérivation.

Étapes :

1. Convergence normale :

   Soit $R > 0$ et $x \in [-R, R]$.

   $|u_n(x)| \le \frac{R^n}{n!}$.

   La série numérique $\sum \frac{R^n}{n!}$ converge (D’Alembert ou exponentielle connue).

   Donc $\sum u_n$ converge normalement sur tout compact $[-R, R]$.

2. Dérivation :

   Les fonctions $u_n$ sont $\mathcal{C}^1$.

   $u_n'(x) = \frac{n x^{n-1}}{n!} = \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} \quad \text{pour } n \ge 1$

   (Et $u_0' = 0$).

   La série des dérivées est $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{n-1}}{(n-1)!}$.

   En posant $k = n-1$, c’est la série $\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{x^k}{k!}$, qui est exactement la même série que $S(x)$.

   Cette série converge aussi normalement sur tout compact.

   Donc $S$ est dérivable et $S'(x) = S(x)$.

3. Équation différentielle :

   On a montré que $S'(x) = S(x)$.

   Calculons $S(0) = u_0(0) + \sum_{n=1}^\infty u_n(0) = 1 + 0 = 1$.

   Donc $S$ vérifie $y' = y$ et $y(0) = 1$.

Réponse : $S(x) = e^x$.

Réponses :

1. FAUX.

   La convergence simple ne suffit pas.

   Contre-exemple : La “bosse glissante”. $f_n(t) = n t (1-t^2)^n$ sur $[0,1]$ converge vers 0, mais l’intégrale tend vers $1/2$. Ou l’exemple de la fonction triangle de hauteur $n$ et base $2/n$.

2. VRAI.

   Si les $f_n$ sont bornées et que $\|f_n - f\|_\infty \to 0$, alors à partir d’un certain rang $N$, $\|f_N - f\|_\infty \le 1$.

   Donc pour tout $x$, $|f(x)| \le |f(x) - f_N(x)| + |f_N(x)| \le 1 + \sup |f_N|$.

   $f$ est bornée par $1 + \|f_N\|_\infty$.

3. VRAI.

   Si la série converge, la suite des sommes partielles $S_n$ converge uniformément.

   Or $u_n = S_n - S_{n-1}$.

   Puisque $S_n \to S$ et $S_{n-1} \to S$ (uniformément), leur différence tend uniformément vers $S - S = 0$.