Suites et séries de fonctions - fiches de révision (A)

La convergence simple est la forme la plus intuitive de convergence. Elle consiste à regarder la convergence point par point, en fixant la variable.

Pour une suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définies sur un domaine $D$, elle converge simplement vers $f$ si, pour tout $t$ fixé dans $D$, la suite numérique $(f_n(t))$ converge vers le nombre $f(t)$.

Définition formelle :

$\forall t \in D, \lim_{n \to +\infty} f_n(t) = f(t)$

Exemple :

Si $f_n(t) = \frac{t}{n}$ sur $\mathbb{R}$.

Pour tout $t$ fixé, $\frac{t}{n}$ tend vers 0 quand $n \to +\infty$. La suite converge simplement vers la fonction nulle.

Pour une fonction $f$ bornée sur un domaine $D$, la norme infinie est la valeur maximale (ou la borne supérieure) de la valeur absolue de la fonction sur ce domaine.

$\|f\|_\infty = \sup_{t \in D} |f(t)|$

Où :

• $\sup$ désigne la borne supérieure (le plus petit des majorants).
• $|f(t)|$ est le module ou la valeur absolue de l'image.

Utilisation :

Elle sert à mesurer la "distance maximale" entre deux fonctions pour étudier la convergence uniforme.

La convergence uniforme est une convergence "globale". Contrairement à la convergence simple, elle exige que la suite de fonctions s'approche de la limite avec une "vitesse" commune pour tous les points du domaine.

Une suite $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $D$ si la distance maximale entre $f_n$ et $f$ tend vers 0.

Formule :

$\lim_{n \to +\infty} \|f_n - f\|_\infty = 0$

C'est-à-dire :

$\lim_{n \to +\infty} \left( \sup_{t \in D} |f_n(t) - f(t)| \right) = 0$

Étapes :

1. Trouver la limite simple : Fixer $t$ et calculer $f(t) = \lim_{n \to \infty} f_n(t)$.
2. Former la différence : Calculer l'expression de l'écart $d_n(t) = |f_n(t) - f(t)|$.
3. Calculer le Sup : Chercher le maximum ou la borne supérieure de $d_n(t)$ sur le domaine $D$. On obtient une suite numérique $M_n = \sup_{t \in D} d_n(t) = \|f_n - f\|_\infty$.
4. Conclure :
   • Si $\lim_{n \to \infty} M_n = 0$, il y a convergence uniforme.
   • Si la limite n'est pas 0, il n'y a pas convergence uniforme.

C'est un critère très fort pour les séries de fonctions. Une série de fonctions $\sum u_n$ converge normalement sur $D$ si la série numérique des normes infinies converge.

Condition :

$\sum_{n=0}^{+\infty} \|u_n\|_\infty < +\infty$

C'est-à-dire :

$\sum_{n=0}^{+\infty} \left( \sup_{t \in D} |u_n(t)| \right) \text{ est une série convergente.}$

C'est la méthode la plus pratique pour prouver la convergence uniforme d'une série.

Il existe une hiérarchie stricte entre ces types de convergence :

$\text{Convergence Normale} \implies \text{Convergence Uniforme} \implies \text{Convergence Simple}$

Points clés :

• Si une série converge normalement, elle converge forcément uniformément et simplement.
• La réciproque est fausse (ex: une série peut converger uniformément sans converger normalement).

La convergence uniforme préserve la continuité lors du passage à la limite.

Théorème :

Si une suite de fonctions $(f_n)$ continues converge uniformément vers $f$ sur un domaine $D$, alors la fonction limite $f$ est continue sur $D$.

(Ce résultat est identique pour la somme d'une série de fonctions continues).

Application (Contraposée) :

Si une suite de fonctions continues converge vers une fonction discontinue, alors la convergence n'est pas uniforme.

Méthode :

1. Vérifier que les fonctions $f_n$ (ou $u_n$) sont continues sur le domaine.
2. Calculer la limite simple $f(t)$ pour tout $t$.
3. Observer si la fonction limite $f$ présente une discontinuité (un "saut").
4. Conclusion : Si $f_n$ est continue et $f$ est discontinue, alors la convergence ne peut pas être uniforme.

Exemple : $f_n(t) = t^n$ sur $[0, 1]$. Les $f_n$ sont continues, mais la limite vaut 0 sur $[0, 1[$ et 1 en $t=1$. La limite étant discontinue, la convergence n'est pas uniforme.

Ce théorème permet d'intervertir le symbole intégrale et la limite (ou la somme).

Énoncé :

Si une suite de fonctions $(f_n)$ continues converge uniformément vers $f$ sur un segment $[a, b]$, alors :

$\lim_{n \to +\infty} \int_a^b f_n(t) dt = \int_a^b \left( \lim_{n \to +\infty} f_n(t) \right) dt = \int_a^b f(t) dt$

Pour les séries, cela signifie qu'on peut intégrer "terme à terme" :

$\int_a^b \left( \sum u_n(t) \right) dt = \sum \left( \int_a^b u_n(t) dt \right)$

Attention, la convergence uniforme de la série seule ne suffit pas. Il faut contrôler la série des dérivées.

Théorème :

Soit $\sum u_n$ une série de fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ sur un intervalle $I$.

On peut dériver terme à terme (c'est-à-dire $(\sum u_n)' = \sum u'_n$) si deux conditions sont réunies :

1. La série $\sum u_n(t)$ converge simplement en au moins un point $t_0$.
2. La série des dérivées $\sum u'_n(t)$ converge uniformément sur tout sous-intervalle compact (borné).

Résultat :

La fonction somme $S(t)$ est alors dérivable et sa dérivée est la somme des dérivées.

Il est possible que $\lim \int f_n \neq \int \lim f_n$ si la convergence n'est que simple.

Exemple "Bosse glissante" :

Soit $f_n(t) = n t (1-t^2)^n$ sur $[0, 1]$.

• Limite simple : Pour tout $t$, $f_n(t) \to 0$. L'intégrale de la limite est 0.
• Intégrale des fonctions : Par calcul direct, $\int_0^1 f_n(t) dt \to \frac{1}{2}$.

Comme $1/2 \neq 0$, on voit que l'intégrale de la limite n'est pas la limite des intégrales. La convergence uniforme manquait ici.