Algèbre bilinéaire - fiches de révision (A)

Une forme linéaire sur un espace vectoriel $V$ (sur un corps $K$) est une application linéaire qui va de $V$ dans le corps $K$ (les scalaires).

Si $\varphi$ est une forme linéaire, alors pour tous vecteurs $u, v \in V$ et scalaire $\lambda \in K$ :

$\varphi(\lambda u + v) = \lambda \varphi(u) + \varphi(v)$

L'ensemble de toutes les formes linéaires sur $V$ forme l'espace dual, noté $V^*$.

Exemple :

Si $V = \mathbb{R}^3$ et $v = (x, y, z)$, l'application $\varphi(v) = 2x - 5y$ est une forme linéaire.

Si $V$ est de dimension finie et possède une base $\mathfrak{B} = \{e_1, \dots, e_n\}$, la base duale est l'unique base $\mathfrak{B}^* = \{e_1^*, \dots, e_n^*\}$ de l'espace dual $V^*$ définie par la relation :

$e_i^*(e_j) = \delta_{i,j} = \begin{cases} 1 & \text{si } i = j \\ 0 & \text{si } i \ne j \end{cases}$

Cela signifie que la $i$-ème forme de la base duale renvoie la $i$-ème coordonnée d'un vecteur dans la base $\mathfrak{B}$.

Soit $\varphi$ une forme bilinéaire sur $V$ et $A$ sa matrice dans une base donnée. Si $X$ et $Y$ sont les vecteurs colonnes des coordonnées de deux vecteurs $u$ et $v$, alors la valeur de la forme bilinéaire est donnée par :

$\varphi(u, v) = {}^t X A Y$

Où :

• $X$ : colonne des coordonnées de $u$
• $Y$ : colonne des coordonnées de $v$
• $A$ : matrice carrée définie par $A_{i,j} = \varphi(e_i, e_j)$
• ${}^t X$ : transposée de $X$ (vecteur ligne)

Note : Si la forme est symétrique, alors la matrice $A$ est symétrique ($A = {}^t A$).

Soit $\varphi$ une forme bilinéaire symétrique (comme un produit scalaire). L'orthogonal d'un sous-ensemble $X \subset V$, noté $X^\perp$, est l'ensemble des vecteurs qui sont orthogonaux à tous les vecteurs de $X$.

$X^\perp = \{v \in V \mid \forall x \in X, \varphi(v, x) = 0\}$

Propriétés clés :

• $X^\perp$ est toujours un sous-espace vectoriel.
• Si l'espace est euclidien (dimension finie), $\dim(F^\perp) = n - \dim(F)$.

Une forme quadratique $q$ est définie à partir d'une forme bilinéaire symétrique $\varphi$ par $q(v) = \varphi(v, v)$.

On peut retrouver la forme bilinéaire $\varphi$ (appelée forme polaire) à partir de $q$ grâce à la formule de polarisation :

$\varphi(u, v) = \frac{1}{2} (q(u + v) - q(u) - q(v))$

Utilisation :

Cette formule permet de passer de l'expression quadratique (avec des carrés) à l'expression bilinéaire (avec deux variables).

Un espace euclidien est un espace vectoriel réel de dimension finie muni d'un produit scalaire.

Un produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique qui est :

1. Positive : $\forall x, \varphi(x, x) \ge 0$.
2. Définie : $\varphi(x, x) = 0 \iff x = 0$.

On note généralement le produit scalaire $\langle x, y \rangle$ ou $(x | y)$, et la norme associée $\|x\| = \sqrt{(x | x)}$.

Dans un espace euclidien, pour tous vecteurs $x$ et $y$ :

$|(x | y)| \le \|x\| \cdot \|y\|$

Autrement dit, la valeur absolue du produit scalaire est inférieure ou égale au produit des normes.

Cas d'égalité :

L'égalité est vérifiée si et seulement si les vecteurs $x$ et $y$ sont colinéaires (liés).

Application :

Elle permet de définir l'angle $\theta$ entre deux vecteurs car $\frac{(x | y)}{\|x\|\|y\|} \in [-1, 1]$.

Une famille de vecteurs $(e_1, \dots, e_n)$ est dite orthonormée si elle vérifie deux conditions :

1. Orthogonalité : Les vecteurs sont deux à deux orthogonaux ($(e_i | e_j) = 0$ pour $i \ne j$).
2. Normalisation : Chaque vecteur a une norme égale à 1 ($(e_i | e_i) = 1$).

Cela se résume par la formule :

$(e_i | e_j) = \delta_{i,j}$

Propriété : Une famille orthonormée est toujours une famille libre.

Si $\mathfrak{B} = (e_1, \dots, e_n)$ est une base orthonormée de l'espace $E$, alors tout vecteur $x \in E$ se décompose très simplement :

$x = \sum_{i=1}^n (x | e_i) e_i$

La $i$-ème coordonnée du vecteur $x$ est simplement le produit scalaire $(x | e_i)$.

Exemple :

Si $x$ est un vecteur géométrique et $e_1$ un vecteur unitaire de l'axe des abscisses, $(x|e_1)$ est l'abscisse de $x$.

Soit $F$ un sous-espace vectoriel muni d'une base orthonormée $(e_1, \dots, e_k)$. La projection orthogonale d'un vecteur $x$ sur $F$, notée $\pi_F(x)$, est donnée par :

$\pi_F(x) = \sum_{i=1}^k (x | e_i) e_i$

Note :

Le vecteur $x - \pi_F(x)$ est orthogonal à $F$. $\pi_F(x)$ représente la meilleure approximation de $x$ dans $F$ (distance minimale).

Le théorème spectral affirme que toute matrice symétrique réelle $A$ (c'est-à-dire ${}^t A = A$) est diagonalisable dans une base orthonormée.

Cela signifie qu'il existe :

• Une matrice diagonale $D$ (valeurs propres réelles).
• Une matrice orthogonale $P$ (dont les colonnes forment une base orthonormée, vérifiant $P^{-1} = {}^t P$).

Telles que :

$A = P D P^{-1} = P D {}^t P$

Conséquence :

Les sous-espaces propres d'une matrice symétrique sont orthogonaux entre eux.