Rappels d’algèbre linéaire - fiches de révision (A)

Un sous-espace vectoriel $W$ d'un espace vectoriel $V$ est un sous-ensemble non vide qui conserve la structure d'espace vectoriel (il est stable par les opérations).

Méthode de vérification (Stabilité) :

Pour prouver que $W \subset V$ est un sous-espace, il suffit de vérifier 3 points :

1. Non-vacuité : $W$ contient le vecteur nul $0_V$.
2. Stabilité par addition : Si $u, v \in W$, alors $u + v \in W$.
3. Stabilité par multiplication scalaire : Si $u \in W$ et $\lambda \in K$, alors $\lambda \cdot u \in W$.

Exemple :

Dans $\mathbb{R}^2$, la droite d'équation $y = 2x$ est un sous-espace vectoriel car elle passe par $(0,0)$ et toute combinaison linéaire de points de la droite reste sur la droite.

Soit une famille de vecteurs $\mathcal{F} = \{v_1, \dots, v_n\}$ dans un espace $V$.

1. Famille Génératrice :

   $\mathcal{F}$ engendre $V$ si tout vecteur de $V$ peut s'écrire comme une combinaison linéaire des vecteurs de $\mathcal{F}$.

   $V = \text{Vect}(v_1, \dots, v_n)$

2. Famille Libre (Linéairement indépendante) :

   $\mathcal{F}$ est libre si la seule façon d'obtenir le vecteur nul par combinaison linéaire est de choisir tous les coefficients nuls.

   $\lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_n v_n = 0 \implies \lambda_1 = \dots = \lambda_n = 0$

Note : Une famille qui est à la fois libre et génératrice est une base.

Une application $f : V \to W$ est dite linéaire si elle respecte les deux opérations de l'espace vectoriel (addition et multiplication externe).

Formule générale :

Pour tous vecteurs $u, v \in V$ et tout scalaire $\lambda \in K$ :

$f(\lambda u + v) = \lambda f(u) + f(v)$

Conséquence importante :

Une application linéaire envoie toujours l'origine sur l'origine :

$f(0_V) = 0_W$

Exemple : La dérivation $P \mapsto P'$ dans l'espace des polynômes est linéaire.

Si un endomorphisme $f$ est représenté par la matrice $A$ dans une base $\mathfrak{B}$ et par la matrice $B$ dans une base $\mathcal{C}$, alors :

$B = P^{-1} A P$

Où :

• $B$ est la matrice dans la nouvelle base.
• $A$ est la matrice dans l'ancienne base.
• $P$ est la matrice de passage de l'ancienne base $\mathfrak{B}$ vers la nouvelle base $\mathcal{C}$ (ses colonnes sont les vecteurs de la nouvelle base exprimés dans l'ancienne).

Moyen mnémotechnique : On "insère" la nouvelle base au milieu via $P$.

Le théorème du rang relie les dimensions de l'espace de départ, du noyau et de l'image d'une application linéaire $f: V \to W$ (lorsque $V$ est de dimension finie).

Formule :

$\dim(V) = \dim(\text{Ker}(f)) + \dim(\text{Im}(f))$

Interprétation :

La dimension totale de l'espace de départ se divise en deux parties :

1. Ce qui est "écrasé" sur 0 (le noyau).
2. Ce qui "survit" dans l'arrivée (l'image, ou le rang).

Rappel : $\text{rang}(f) = \dim(\text{Im}(f))$.

Soit $f : V \to W$ une application linéaire.

1. Noyau ($\text{Ker}(f)$) :

   C'est l'ensemble des vecteurs de départ qui sont envoyés sur le vecteur nul de l'arrivée.

   $\text{Ker}(f) = \{ v \in V \mid f(v) = 0_W \}$

   Propriété : $f$ est injective $\iff \text{Ker}(f) = \{0_V\}$.

2. Image ($\text{Im}(f)$) :

   C'est l'ensemble des vecteurs d'arrivée qui sont atteints par l'application.

   $\text{Im}(f) = \{ w \in W \mid \exists v \in V, f(v) = w \}$

   Propriété : $f$ est surjective $\iff \text{Im}(f) = W$.

Si $W$ est un sous-espace vectoriel de $V$, l'espace quotient $V/W$ est l'ensemble constitué des "classes" de vecteurs modulo $W$. On "assimile" tous les vecteurs dont la différence appartient à $W$.

Éléments :

Un élément de $V/W$ s'écrit $v + W$.

Dimension (si finie) :

$\dim(V/W) = \dim(V) - \dim(W)$

Intuition :

Si on imagine $V = \mathbb{R}^3$ et $W$ est une droite verticale (axe $z$), l'espace quotient $V/W$ correspond au plan horizontal (plan $xy$) obtenu en "écrasant" la dimension $z$.

Les valeurs propres d'une matrice carrée $A$ sont les racines de son polynôme caractéristique.

Étapes :

1. Calculer le polynôme caractéristique $P_A(X)$ défini par le déterminant :

   $P_A(X) = \det(A - X I_n)$

   (On soustrait l'inconnue $X$ sur la diagonale de $A$).

2. Résoudre l'équation $P_A(X) = 0$.

   Les solutions $\lambda$ trouvées sont les valeurs propres.

Exemple :

Pour $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$, $P_A(X) = (2-X)(3-X)$. Les valeurs propres sont 2 et 3.

Deux sous-espaces $E$ et $F$ de $V$ sont en somme directe si tout vecteur de leur somme se décompose de manière unique sur $E$ et $F$.

Condition pratique :

La somme est directe si et seulement si leur intersection est réduite au vecteur nul :

$E \cap F = \{0_V\}$

Si de plus $E + F = V$, on dit que $E$ et $F$ sont supplémentaires dans $V$. On a alors $\dim(E) + \dim(F) = \dim(V)$ (en dimension finie).

Une matrice carrée $A$ de taille $n$ est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale.

Critères principaux :

1. Somme des dimensions : La somme des dimensions des espaces propres est égale à $n$ (dimension de l'espace entier).

   $\sum \dim(V_\lambda) = n$

2. Condition suffisante (racines distinctes) : Si $A$ possède $n$ valeurs propres distinctes, alors elle est automatiquement diagonalisable.

Note : Si le polynôme caractéristique n'est pas scindé (ne se factorise pas complètement dans le corps $K$), la matrice n'est pas diagonalisable sur ce corps.

Le déterminant est un scalaire qui indique si une matrice est inversible.

Propriété fondamentale :

Une matrice carrée $A$ est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.

$A \text{ est inversible} \iff \det(A) \neq 0$

Lien avec l'inverse :

Si $A$ est inversible, alors :

$\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$