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Rappels d’algèbre linéaire (A)

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Concept 1 : Espace Vectoriel et Sous-espace Vectoriel

Prérequis

• Structures de groupes (Groupe commutatif)
• Corps commutatifs (ex: $\mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{Q}$)
• Théorie des ensembles élémentaire

Définition

Un $K$-espace vectoriel est un ensemble $V$ muni de deux opérations :

1. Une addition interne $+ : V \times V \to V$ qui confère à $(V, +)$ une structure de groupe commutatif (élément neutre noté $0_V$).
2. Une multiplication externe $\cdot : K \times V \to V$ par les scalaires du corps $K$.

Ces opérations doivent satisfaire des axiomes de compatibilité pour tous $\lambda, \lambda' \in K$ et $v, v' \in V$ :

• Distributivité : $(\lambda + \lambda') \cdot v = \lambda \cdot v + \lambda' \cdot v$ et $\lambda \cdot (v + v') = \lambda \cdot v + \lambda \cdot v'$.
• Associativité mixte : $\lambda \cdot (\lambda' \cdot v) = (\lambda\lambda') \cdot v$.
• Élément neutre : $1 \cdot v = v$.

Un sous-espace vectoriel $W$ de $V$ est un sous-ensemble qui conserve la structure d’espace vectoriel. Il doit contenir le vecteur nul $0_V$ et être stable par combinaisons linéaires.

Propriétés Clés

• Stabilité : Pour prouver que $W \subset V$ est un sous-espace, il suffit de vérifier que $0_V \in W$ et que pour tout $u, v \in W$ et $\lambda \in K$, on a $u + v \in W$ et $\lambda \cdot u \in W$.
• Propriétés de calcul : $0 \cdot v = 0_V$ et $(-1) \cdot v = -v$.
• Intersection : L’intersection de sous-espaces vectoriels est toujours un sous-espace vectoriel.

Exemples

Exemple 1

L’espace des $n$-uplets $K^n$. Pour $K=\mathbb{R}$ et $n=2$, l’ensemble des vecteurs du plan $\mathbb{R}^2$. L’addition se fait composante par composante :

$(x, y) + (x', y') = (x+x', y+y')$

Et la multiplication par un scalaire $\lambda \in \mathbb{R}$ :

$\lambda \cdot (x, y) = (\lambda x, \lambda y)$

Exemple 2

L’espace des polynômes $K[X]$. C’est un espace vectoriel de dimension infinie. Un sous-espace vectoriel serait l’ensemble $K_n[X]$ des polynômes de degré inférieur ou égal à $n$.

Exemple 3

L’espace $K^{(I)}$ des familles presque nulles. Si $I$ est un ensemble infini, c’est l’ensemble des fonctions $f: I \to K$ telles que $f(i) = 0$ sauf pour un nombre fini d’indices $i$.

Contre-exemples

• L’ensemble $\mathbb{Z}$ des entiers relatifs muni de l’addition usuelle n’est pas un $\mathbb{R}$-espace vectoriel car la multiplication par un scalaire réel (ex: $0.5 \cdot 1 = 0.5$) fait sortir de l’ensemble.
• Le sous-ensemble de $\mathbb{R}^2$ défini par $\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x + y = 1\}$ n’est pas un sous-espace vectoriel car il ne contient pas le vecteur nul $(0,0)$.

Concepts Liés

• Groupes abéliens
• Corps

Applications

• Modélisation de phénomènes physiques (forces, vitesses).
• Résolution de systèmes d’équations linéaires.

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Concept 2 : Familles de Vecteurs, Bases et Dimension

Prérequis

• Espace vectoriel
• Combinaison linéaire

Définition

Soit $V$ un espace vectoriel et $\mathcal{F} = \{v_i\}_{i \in I}$ une famille de vecteurs de $V$.

1. Famille génératrice : On dit que $\mathcal{F}$ engendre $V$ si tout vecteur de $V$ peut s’écrire comme combinaison linéaire finie d’éléments de $\mathcal{F}$. On note $V = \text{Vect}(\mathcal{F})$.

2. Famille libre : La famille est libre si la seule combinaison linéaire nulle est celle dont tous les coefficients sont nuls :

   $\sum_{i \in I} \lambda_i v_i = 0 \Rightarrow \forall i, \lambda_i = 0$

3. Base : Une famille est une base si elle est à la fois libre et génératrice.

4. Dimension : Si $V$ admet une base finie, le nombre d’éléments dans cette base est appelé la dimension de $V$, notée $\dim(V)$.

Propriétés Clés

• Unicité des coordonnées : Si $\mathfrak{B}$ est une base, tout vecteur $v \in V$ s’écrit de manière unique comme combinaison linéaire des éléments de la base.
• Théorème de la base incomplète : Toute famille libre peut être complétée pour former une base.
• Indépendance de la dimension : Toutes les bases d’un espace vectoriel de dimension finie ont le même cardinal (nombre d’éléments).

Exemples

Exemple 1

Dans $\mathbb{R}^3$, la base canonique est $\mathfrak{B} = \{e_1, e_2, e_3\}$ avec :

$e_1 = (1, 0, 0), \quad e_2 = (0, 1, 0), \quad e_3 = (0, 0, 1)$

C’est une famille libre et génératrice. La dimension est 3.

Exemple 2

Dans l’espace des polynômes $K_2[X]$ (degré $\le 2$), la famille $\{1, X, X^2\}$ est une base. La dimension est $3$.

Si l’on considère le polynôme $P = 2 + 3X + 5X^2$, ses coordonnées dans cette base sont le vecteur colonne :

$[P]_{\mathfrak{B}} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}$

Exemple 3

Dans $\mathbb{C}$ considéré comme un $\mathbb{R}$-espace vectoriel, la famille $\{1, i\}$ est une base. On a $\dim_{\mathbb{R}}(\mathbb{C}) = 2$.

Cependant, $\mathbb{C}$ comme $\mathbb{C}$-espace vectoriel a pour base $\{1\}$ et est de dimension 1.

Contre-exemples

• La famille $\{(1,0), (0,1), (1,1)\}$ dans $\mathbb{R}^2$ est génératrice mais n’est pas libre (car $(1,1) = (1,0) + (0,1)$). Ce n’est pas une base.
• La famille $\{(1,0)\}$ dans $\mathbb{R}^2$ est libre mais pas génératrice. Ce n’est pas une base.

Concepts Liés

• Isomorphisme avec $K^n$
• Matrice colonne des coordonnées

Applications

• Représentation numérique de signaux ou d’images.
• Compression de données (changement de base).

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Concept 3 : Applications Linéaires et Matrices

Prérequis

• Espace vectoriel
• Bases
• Matrices ($M_{m,n}(K)$)

Définition

Une application linéaire $f : V \to W$ est une fonction entre deux $K$-espaces vectoriels qui respecte la structure vectorielle :

$\forall u, v \in V, \forall \lambda \in K, \quad f(\lambda u + v) = \lambda f(u) + f(v)$

La matrice d’une application linéaire dans des bases fixées $\mathfrak{B} = \{e_j\}$ (de $V$) et $\mathcal{C}$ (de $W$) est la matrice $M \in M_{m,n}(K)$ dont la $j$-ème colonne contient les coordonnées du vecteur image $f(e_j)$ exprimé dans la base d’arrivée $\mathcal{C}$.

Propriétés Clés

• Morphisme : Une application linéaire envoie le vecteur nul sur le vecteur nul : $f(0_V) = 0_W$.

• Composition et Produit : La composition des applications linéaires correspond à la multiplication des matrices associées :

  $\text{Mat}_{\mathfrak{B}, \mathcal{D}}(g \circ f) = \text{Mat}_{\mathcal{C}, \mathcal{D}}(g) \cdot \text{Mat}_{\mathfrak{B}, \mathcal{C}}(f)$

• Calcul matriciel : L’image d’un vecteur $v$ se calcule par produit matriciel :

  $[f(v)]_{\mathcal{C}} = \text{Mat}_{\mathfrak{B}, \mathcal{C}}(f) \cdot [v]_{\mathfrak{B}}$

Exemples

Exemple 1

L’application identité $\text{id}_V : V \to V$ définie par $\text{id}_V(v) = v$. Sa matrice dans n’importe quelle base $\mathfrak{B}$ est la matrice identité $I_n$.

Exemple 2

Soit $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ définie par $f(x, y) = (x+y, y)$. Dans la base canonique $\mathfrak{B} = \{(1,0), (0,1)\}$, on a $f(1,0) = (1,0)$ et $f(0,1) = (1,1)$. La matrice est :

$\text{Mat}_{\mathfrak{B}}(f) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Exemple 3

La dérivation $D : K[X] \to K[X]$ définie par $D(P) = P'$ est une application linéaire.

$D(\lambda P + Q) = (\lambda P + Q)' = \lambda P' + Q' = \lambda D(P) + D(Q)$

Contre-exemples

• L’application $f(x) = x^2$ n’est pas linéaire car $f(2x) = 4x^2 \neq 2f(x)$.
• Une application affine $f(x) = ax + b$ avec $b \neq 0$ n’est pas linéaire car $f(0) = b \neq 0$.

Concepts Liés

• Espace dual $V^*$
• Endomorphismes ($\text{End}(V)$)

Applications

• Transformations géométriques (rotations, homothéties, projections).
• Systèmes dynamiques linéaires.

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Concept 4 : Changement de Base

Prérequis

• Applications linéaires
• Matrices
• Matrice inverse

Définition

Le changement de base permet de relier les coordonnées d’un vecteur ou la matrice d’une application linéaire lorsqu’on change les bases de référence.

La matrice de passage $P_{\mathfrak{B}, \mathcal{C}}$ de la base $\mathfrak{B}$ à la base $\mathcal{C}$ contient en colonnes les coordonnées des vecteurs de la base $\mathfrak{B}$ exprimés dans la base $\mathcal{C}$.

Pour un endomorphisme $f: V \to V$, si $A = \text{Mat}_{\mathfrak{B}}(f)$ et $B = \text{Mat}_{\mathcal{C}}(f)$, alors :

$B = P^{-1} A P$

où $P = P_{\mathcal{C}, \mathfrak{B}}$ est la matrice de passage de la nouvelle base $\mathcal{C}$ vers l’ancienne base $\mathfrak{B}$ (matrice dont les colonnes sont les vecteurs de $\mathcal{C}$ exprimés dans $\mathfrak{B}$).

Propriétés Clés

• Conjugaison : Deux matrices représentant le même endomorphisme dans des bases différentes sont dites semblables.
• Inverse : La matrice de passage est toujours inversible. $P_{\mathfrak{B}, \mathcal{C}} = (P_{\mathcal{C}, \mathfrak{B}})^{-1}$.

Exemples

Exemple 1

Dans $\mathbb{R}^2$, passons de la base canonique $\mathfrak{B} = \{e_1, e_2\}$ à la base $\mathcal{C} = \{v_1, v_2\}$ avec $v_1 = (1, 1)$ et $v_2 = (1, -1)$.

La matrice de passage $P$ (de $\mathcal{C}$ dans $\mathfrak{B}$, souvent notée simplement $P$) est :

$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$

Si un endomorphisme a pour matrice $A$ dans $\mathfrak{B}$, sa matrice dans $\mathcal{C}$ sera $P^{-1} A P$.

Exemple 2

Si $v$ a pour coordonnées $X$ dans $\mathfrak{B}$ et $X'$ dans $\mathcal{C}$, alors $X = P X'$ (attention au sens : $P$ “traduit” les nouvelles coordonnées en anciennes).

Exemple 3

Si $f$ est une homothétie de rapport $k$, sa matrice est $k I_n$. Pour toute matrice inversible $P$, on a $P^{-1} (k I_n) P = k P^{-1} I_n P = k I_n$. La matrice d’une homothétie est invariante par changement de base.

Contre-exemples

• On ne peut pas changer de base si la famille d’arrivée n’est pas une base (par exemple pas libre ou pas génératrice).
• La formule $B = P A P^{-1}$ est incorrecte (inversion de l’ordre de $P$ et $P^{-1}$).

Concepts Liés

• Diagonalisation
• Matrices semblables

Applications

• Simplification des équations (choisir une base où la matrice est diagonale ou simple).

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Concept 5 : Noyau, Image et Théorème du Rang

Prérequis

• Application linéaire
• Sous-espace vectoriel
• Dimension

Définition

Soit $f : V \to W$ une application linéaire.

1. Noyau ($\text{Ker}(f)$) : L’ensemble des vecteurs de $V$ qui s’annulent par $f$.

   $\text{Ker}(f) = \{v \in V \mid f(v) = 0_W\}$

2. Image ($\text{Im}(f)$) : L’ensemble des vecteurs de $W$ qui sont atteints par $f$.

   $\text{Im}(f) = \{w \in W \mid \exists v \in V, f(v) = w\} = f(V)$

3. Rang : La dimension de l’image de $f$. $\text{rang}(f) = \dim(\text{Im}(f))$.

Théorème du rang : Si $V$ est de dimension finie, alors :

$\dim(V) = \dim(\text{Ker}(f)) + \dim(\text{Im}(f))$

Propriétés Clés

• Injectivité : $f$ est injective si et seulement si $\text{Ker}(f) = \{0_V\}$.
• Surjectivité : $f$ est surjective si et seulement si $\text{Im}(f) = W$ (ce qui équivaut à $\text{rang}(f) = \dim(W)$ en dimension finie).
• Bijectivité : Si $\dim(V) = \dim(W)$ (dimension finie), alors $f$ est injective $\iff$ $f$ est surjective $\iff$ $f$ est bijective.

Exemples

Exemple 1

Soit la projection $p : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ sur le plan $xy$ définie par $p(x, y, z) = (x, y, 0)$.

• $\text{Im}(p)$ est le plan $xy$ (dim 2).
• $\text{Ker}(p)$ est l’axe $z$ (les vecteurs $(0, 0, z)$, dim 1).
• Théorème du rang : $3 = 1 + 2$.

Exemple 2

Soit l’application nulle $0 : V \to W$.

• $\text{Ker}(0) = V$, $\text{Im}(0) = \{0_W\}$.
• Rang = 0.
• $\dim(V) = \dim(V) + 0$.

Exemple 3

Pour une matrice $A \in M_{m,n}(K)$, le rang de l’application associée est égal au nombre de colonnes linéairement indépendantes (ou de pivots dans la forme échelonnée).

Contre-exemples

• Si l’espace de départ est de dimension infinie, le théorème du rang ne s’applique pas directement sous cette forme arithmétique simple.
• Une application peut avoir un noyau trivial ($\{0\}$) sans être surjective (si $\dim(W) > \dim(V)$).

Concepts Liés

• Quotient d’espaces vectoriels
• Pivot de Gauss

Applications

• Étude de l’existence et de l’unicité des solutions de systèmes linéaires $Ax = b$.

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Concept 6 : Espace Vectoriel Quotient

Prérequis

• Sous-espace vectoriel
• Relation d’équivalence (Groupes quotients)

Définition

Soit $W$ un sous-espace vectoriel de $V$. L’espace quotient $V/W$ est l’ensemble des “classes” de vecteurs modulo $W$. Un élément de $V/W$ est noté $v + W$.

La structure d’espace vectoriel sur $V/W$ est définie par :

$(v + W) + (v' + W) = (v + v') + W$

$\lambda \cdot (v + W) = (\lambda v) + W$

La propriété universelle stipule que pour toute application linéaire $f : V \to V'$ qui s’annule sur $W$ (i.e., $W \subset \text{Ker}(f)$), il existe une unique application linéaire $\bar{f} : V/W \to V'$ telle que $f = \bar{f} \circ \text{cl}_W$, où $\text{cl}_W$ est la projection canonique $v \mapsto v+W$.

Propriétés Clés

• Isomorphisme canonique : $V / \text{Ker}(f) \cong \text{Im}(f)$. C’est une reformulation structurelle du théorème du rang.
• Dimension : En dimension finie, $\dim(V/W) = \dim(V) - \dim(W)$.

Exemples

Exemple 1

Soit $V = \mathbb{R}^2$ et $W$ l’axe des abscisses ($y=0$). L’espace quotient $\mathbb{R}^2/W$ “écrase” l’axe des $x$. Deux vecteurs $(x, y)$ et $(x', y')$ sont dans la même classe si leur différence est dans $W$, c’est-à-dire si $y = y'$. L’espace quotient est isomorphe à l’axe des $y$ (dimension 1).

Exemple 2

Construction de $\mathbb{R}$. $\mathbb{R}$ peut être vu comme le quotient de l’espace des suites de Cauchy rationnelles par le sous-espace des suites tendant vers 0.

Exemple 3

Si on considère l’espace des fonctions intégrables et qu’on “quotiente” par les fonctions nulles presque partout, on obtient les espaces $L^p$ (concepts avancés d’analyse).

Contre-exemples

• On ne peut pas quotienter par un sous-ensemble qui n’est pas un sous-espace vectoriel (la structure ne serait pas bien définie).

Concepts Liés

• Supplémentaire (un supplémentaire de $W$ est isomorphe à $V/W$).

Applications

• Construction de nouveaux espaces mathématiques.
• Simplification de problèmes en “ignorant” certaines directions (celles de $W$).

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Concept 7 : Déterminant

Prérequis

• Matrices carrées
• Groupe symétrique (permutations)
• Anneaux commutatifs

Définition

Le déterminant est une application $\det : M_n(K) \to K$ unique vérifiant trois propriétés fondamentales :

1. Linéarité par rapport à chaque colonne (multilinéarité).
2. Alternance : Si deux colonnes sont égales, le déterminant est nul.
3. Normalisation : Le déterminant de la matrice identité vaut 1 ($\det(I_n) = 1$).

Pour une matrice $2 \times 2$, $\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$.

Propriétés Clés

• Multiplicativité : $\det(AB) = \det(A)\det(B)$.
• Inversibilité : Une matrice $A$ est inversible si et seulement si $\det(A) \neq 0$. Dans ce cas $\det(A^{-1}) = \det(A)^{-1}$.
• Transposition : $\det(^tA) = \det(A)$.
• Opérations élémentaires : Ajouter à une colonne un multiple d’une autre ne change pas le déterminant. Échanger deux colonnes (ou lignes) multiplie le déterminant par $-1$.

Exemples

Exemple 1

Matrice diagonale ou triangulaire : Le déterminant est le produit des termes diagonaux.

$\det \begin{pmatrix} 2 & 5 & 9 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} = 2 \times 3 \times 4 = 24$

Exemple 2

Développement selon une ligne (Ex: ligne 1) :

$\det(A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{1+j} a_{1j} \det(A_{1j})$

où $A_{1j}$ est la sous-matrice obtenue en supprimant la ligne 1 et la colonne $j$.

Exemple 3

Calcul par pivot de Gauss : On transforme la matrice en matrice triangulaire supérieure en utilisant des opérations sur les lignes, en suivant les changements de signe éventuels, puis on fait le produit de la diagonale.

Contre-exemples

• $\det(A+B) \neq \det(A) + \det(B)$ en général.
• $\det(\lambda A) \neq \lambda \det(A)$. La formule correcte est $\det(\lambda A) = \lambda^n \det(A)$ pour une matrice de taille $n$.

Concepts Liés

• Volume orienté
• Polynôme caractéristique
• Cofacteurs

Applications

• Critère d’inversibilité de matrices.
• Calcul de volumes en géométrie.
• Changement de variables dans les intégrales multiples (Jacobien).

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Concept 8 : Valeurs Propres, Vecteurs Propres et Polynôme Caractéristique

Prérequis

• Déterminant
• Endomorphismes
• Polynômes

Définition

Soit $u$ un endomorphisme d’un espace vectoriel $V$.

1. Valeur propre : Un scalaire $\lambda \in K$ est une valeur propre si l’endomorphisme $(u - \lambda \text{id}_V)$ n’est pas injectif (i.e., a un noyau non nul).
2. Vecteur propre : Un vecteur non nul $v \in V$ est un vecteur propre associé à $\lambda$ si $u(v) = \lambda v$.
3. Polynôme caractéristique : C’est le polynôme défini par $P_u(X) = \det(A - X I_n)$, où $A$ est la matrice de $u$. Ses racines sont exactement les valeurs propres de $u$.

Propriétés Clés

• Existence : $\lambda$ est valeur propre $\iff P_u(\lambda) = 0$.
• Espace propre : L’ensemble $V_\lambda = \text{Ker}(u - \lambda \text{id}_V)$ est un sous-espace vectoriel appelé espace propre associé à $\lambda$.
• Trace et Déterminant : La somme des racines (comptées avec multiplicité) vaut la trace de la matrice. Le produit des racines vaut le déterminant (au signe près : $(-1)^n \det(A)$ est le terme constant).

Exemples

Exemple 1

Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$.

$P_A(X) = \det \begin{pmatrix} 2-X & 0 \\ 0 & 3-X \end{pmatrix} = (2-X)(3-X)$.

Les valeurs propres sont $2$ et $3$. Les vecteurs propres sont les vecteurs de la base canonique.

Exemple 2

Soit $u$ l’endomorphisme de dérivation sur $V = \text{Vect}(e^t, t e^t)$.

Les valeurs propres se trouvent en résolvant l’équation différentielle ou en écrivant la matrice dans cette base.

Exemple 3

Si $v$ est vecteur propre pour $\lambda$, alors $v$ est vecteur propre de $u^k$ pour la valeur propre $\lambda^k$.

Contre-exemples

• La matrice de rotation de $90^\circ$ dans $\mathbb{R}^2$, $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, a pour polynôme caractéristique $X^2 + 1$. Elle n’a pas de valeurs propres réelles (mais elle en a dans $\mathbb{C}$ : $\pm i$).
• Le vecteur nul $0_V$ n’est jamais considéré comme un vecteur propre (par définition), bien qu’il appartienne à tous les espaces propres.

Concepts Liés

• Diagonalisation
• Trigonalisation

Applications

• Résolution d’équations différentielles linéaires.
• Étude de stabilité des systèmes (signe des parties réelles des valeurs propres).
• Mécanique quantique (états propres).

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Concept 9 : Somme Directe et Sous-espaces Supplémentaires

Prérequis

• Sous-espace vectoriel
• Familles libres
• Base

Définition

1. Somme directe : Des sous-espaces $E_1, \dots, E_n$ sont en somme directe (notée $E_1 \oplus \dots \oplus E_n$) si tout vecteur de leur somme se décompose de manière unique comme somme de vecteurs $v_i \in E_i$.

   Cela équivaut à dire que si $\sum v_i = 0$ avec $v_i \in E_i$, alors tous les $v_i = 0$.

2. Supplémentaires : Deux sous-espaces $E$ et $F$ sont supplémentaires dans $V$ si $V = E \oplus F$. Cela signifie que $E \cap F = \{0\}$ et $E + F = V$.

Propriétés Clés

• Intersection : Pour deux sous-espaces, la somme est directe si et seulement si leur intersection est réduite au vecteur nul.
• Dimension : Si la somme est directe, $\dim(E_1 \oplus \dots \oplus E_n) = \sum \dim(E_i)$.
• Espaces propres : Les espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont toujours en somme directe.

Exemples

Exemple 1

Dans $\mathbb{R}^2$, deux droites distinctes passant par l’origine sont toujours supplémentaires. Si $D_1$ est l’axe $x$ et $D_2$ l’axe $y$, alors $\mathbb{R}^2 = D_1 \oplus D_2$.

Exemple 2

Soit $s$ une symétrie ($s^2 = \text{id}$). Alors $V = \text{Ker}(s - \text{id}) \oplus \text{Ker}(s + \text{id})$. Tout vecteur se décompose en une partie “symétrique” et une partie “antisymétrique”.

Exemple 3

Les fonctions paires et les fonctions impaires forment deux sous-espaces supplémentaires de l’espace des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. Toute fonction s’écrit de manière unique $f(x) = f_{pair}(x) + f_{impair}(x)$.

Contre-exemples

• Dans $\mathbb{R}^2$, trois droites distinctes $D_1, D_2, D_3$ vérifient $D_i \cap D_j = \{0\}$ deux à deux, mais leur somme n’est pas directe (car $D_1 + D_2 = \mathbb{R}^2$ contient déjà $D_3$).
• L’union de sous-espaces n’est pas un sous-espace, c’est leur somme qu’il faut considérer.

Concepts Liés

• Projection (la projection sur $E$ parallèlement à $F$).

Applications

• Décomposition de signaux.
• Simplification de l’analyse d’un endomorphisme en le restreignant à des sous-espaces stables.

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Concept 10 : Diagonalisation

Prérequis

• Valeurs propres / Vecteurs propres
• Somme directe
• Dimension

Définition

Un endomorphisme $u$ (ou une matrice $A$) est diagonalisable s’il existe une base de $V$ constituée uniquement de vecteurs propres de $u$.

Dans cette base, la matrice de $u$ est diagonale, avec les valeurs propres sur la diagonale.

Propriétés Clés

• Critère de la somme : $u$ est diagonalisable $\iff V = \bigoplus_{\lambda \in \text{Spec}(u)} V_\lambda$.
• Critère des dimensions : $u$ est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des espaces propres est égale à la dimension de l’espace entier $V$.
• Multiplicités : Pour chaque valeur propre $\lambda$, sa multiplicité géométrique ($\dim V_\lambda$) doit être égale à sa multiplicité algébrique (ordre de la racine dans le polynôme caractéristique).
• Condition suffisante : Si $u$ possède $n = \dim(V)$ valeurs propres distinctes, alors $u$ est diagonalisable.

Exemples

Exemple 1

La matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ est déjà diagonale. Elle est diagonalisable.

Exemple 2

La matrice $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ a pour valeurs propres $1$ et $-1$. Comme elles sont distinctes et que la dimension est 2, $A$ est diagonalisable. Elle est semblable à $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$.

Exemple 3

Une symétrie $s$ ($s^2 = \text{id}$) est diagonalisable (si la caractéristique du corps n’est pas 2), avec des valeurs propres $1$ et $-1$.

Contre-exemples

• La matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ n’est pas diagonalisable. Sa seule valeur propre est $1$ (multiplicité algébrique 2). L’espace propre associé est engendré par $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ (dimension 1). Comme $1 < 2$, elle n’est pas diagonalisable.
• Une rotation de plan d’angle $\theta \neq k\pi$ n’est pas diagonalisable sur $\mathbb{R}$.

Concepts Liés

• Trigonalisation (forme triangulaire).
• Puissance de matrices ($A^k = P D^k P^{-1}$).

Applications

• Calcul rapide de $A^n$ pour $n$ grand.
• Résolution de systèmes d’équations différentielles couplées.
• Algorithmes de classement (ex: PageRank de Google utilise des concepts liés aux vecteurs propres).