Analyse: Suites récurrentes - fiches de révision (A)

Une suite récurrente réelle est une suite de nombres $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ où chaque terme est défini à partir du précédent par une fonction.

La relation de récurrence s'écrit sous la forme :

$u_{n+1} = f(u_n)$

Pour que la suite soit entièrement définie, il faut deux éléments :

1. Le premier terme $u_0$, qui est une valeur donnée.
2. La fonction $f$, qui permet de calculer n'importe quel terme à partir du précédent.

Exemple :

Soit la suite définie par $u_0 = 5$ et la relation $u_{n+1} = \sqrt{u_n}$.

Ici, la fonction est $f(x) = \sqrt{x}$.

• $u_0 = 5$
• $u_1 = f(u_0) = f(5) = \sqrt{5}$
• $u_2 = f(u_1) = f(\sqrt{5}) = \sqrt{\sqrt{5}} = 5^{1/4}$
• et ainsi de suite...

Un intervalle $I$ est dit stable par une fonction $f$ si l'image de n'importe quel élément de $I$ par la fonction $f$ est encore dans $I$.

Mathématiquement, cela se traduit par :

$\forall x \in I, \quad f(x) \in I$

ou de manière équivalente, $f(I) \subset I$.

Cette propriété est cruciale pour les suites récurrentes $u_{n+1} = f(u_n)$. Si l'intervalle $I$ est stable par $f$ et que le premier terme $u_0$ appartient à $I$, alors tous les termes suivants $u_1, u_2, u_3, \dots$ appartiendront aussi à $I$. Cela garantit que la suite est bien définie pour tout $n$.

Exemple :

Soit $f(x) = x^2$ et $I = [0, 1]$.

Si on prend n'importe quel $x$ dans $[0, 1]$ (c'est-à-dire $0 \le x \le 1$), alors son carré $x^2$ sera aussi dans $[0, 1]$ (car $0^2 \le x^2 \le 1^2$).

Donc, l'intervalle $I=[0,1]$ est stable par la fonction $f(x)=x^2$.

On utilise une méthode visuelle appelée diagramme en toile d'araignée (ou en escargot). Pour cela, on a besoin de deux courbes dans un repère :

1. Le graphe de la fonction $f$, noté $\mathcal{G}_f$.
2. La droite d'équation $y=x$, appelée la première bissectrice, notée $\mathcal{D}$.

Les étapes de la construction sont les suivantes :

1. Placement de $u_0$ : On place la valeur $u_0$ sur l'axe des abscisses.
2. Calcul de $u_1$ : On trace un segment vertical depuis le point $(u_0, 0)$ jusqu'à la courbe $\mathcal{G}_f$. Le point d'arrivée a pour coordonnées $(u_0, f(u_0))$, c'est-à-dire $(u_0, u_1)$. L'ordonnée de ce point est $u_1$.
3. Report de $u_1$ sur l'abscisse : Pour continuer le processus, il faut ramener $u_1$ sur l'axe des abscisses. On trace un segment horizontal depuis $(u_0, u_1)$ jusqu'à la droite $\mathcal{D}$. Le point d'arrivée a pour coordonnées $(u_1, u_1)$.
4. Itération : On répète les étapes 2 et 3. Depuis $(u_1, u_1)$, on trace un segment vertical vers $\mathcal{G}_f$ pour trouver $u_2$, puis un segment horizontal vers $\mathcal{D}$ pour reporter $u_2$, et ainsi de suite.

La séquence des points sur l'axe des abscisses $(u_0, u_1, u_2, \dots)$ représente les termes de la suite.

Le diagramme en toile d'araignée est un outil puissant pour conjecturer le comportement d'une suite récurrente $u_{n+1}=f(u_n)$. Il permet de visualiser :

1. La convergence ou la divergence :

   • Si la "toile" (escalier ou spirale) se rapproche d'un point d'intersection entre le graphe de $f$ et la droite $y=x$, la suite semble converger vers l'abscisse de ce point (qui est un point fixe).
   • Si la "toile" s'éloigne indéfiniment, la suite semble diverger.

2. La monotonie :

   • Si la construction forme un escalier qui "monte" (on se déplace vers la droite et vers le haut), la suite est probablement croissante. Cela arrive typiquement si $\mathcal{G}_f$ est au-dessus de $y=x$.
   • Si la construction forme un escalier qui "descend" (on se déplace vers la gauche et vers le bas), la suite est probablement décroissante. Cela arrive typiquement si $\mathcal{G}_f$ est en dessous de $y=x$.
   • Si la construction forme une spirale (ou un "escargot"), la suite n'est pas monotone. Elle oscille autour de la limite. Cela arrive lorsque la fonction $f$ est décroissante.

Attention : Cette méthode est visuelle et ne constitue pas une preuve mathématique rigoureuse. Elle sert à formuler des hypothèses.

Un point fixe d'une fonction $f$ est une valeur $l$ qui reste inchangée lorsqu'on lui applique la fonction $f$. Autrement dit :

$f(l) = l$

Graphiquement, les points fixes sont les abscisses des points d'intersection entre le graphe de la fonction $f$ et la droite d'équation $y=x$.

Le lien avec les suites récurrentes $u_{n+1}=f(u_n)$ est fondamental. Le théorème du point fixe nous dit que :

Si une suite récurrente $(u_n)$ converge vers une limite $l$, ET si la fonction $f$ est continue au point $l$, alors cette limite $l$ est nécessairement un point fixe de $f$.

En pratique : Pour trouver la limite potentielle d'une suite, on commence par chercher les points fixes en résolvant l'équation $f(x)=x$. Si la suite converge, sa limite sera l'un de ces points fixes.

Si la fonction $f$ est croissante sur un intervalle stable $I$ contenant tous les termes de la suite, alors la suite $(u_n)$ est monotone.

Pour déterminer son sens de variation (croissante ou décroissante), il suffit de comparer les deux premiers termes, $u_0$ et $u_1$.

• Si $u_1 \ge u_0$, alors la suite $(u_n)$ est croissante.
• Si $u_1 \le u_0$, alors la suite $(u_n)$ est décroissante.

Démonstration (idée) :

On utilise un raisonnement par récurrence.

Supposons que $u_1 \ge u_0$. Montrons que si $u_{n+1} \ge u_n$ pour un certain $n$, alors $u_{n+2} \ge u_{n+1}$.

Comme $f$ est croissante, on peut l'appliquer à l'inégalité $u_{n+1} \ge u_n$ sans changer le sens :

$f(u_{n+1}) \ge f(u_n)$.

Par définition de la suite, cela signifie $u_{n+2} \ge u_{n+1}$.

La propriété est héréditaire, donc la suite est croissante.

Exemple :

Soit $u_{n+1} = \sqrt{u_n+2}$ avec $u_0=1$.

La fonction $f(x) = \sqrt{x+2}$ est croissante sur $I=[0, +\infty[$.

$u_0 = 1$

$u_1 = \sqrt{1+2} = \sqrt{3} \approx 1.732$.

Puisque $u_1 > u_0$, la suite $(u_n)$ est croissante.

Pour trouver la limite potentielle de la suite, on utilise le théorème du point fixe. Si la suite converge vers une limite $l$, et si la fonction associée $f$ est continue, alors $l$ doit être un point fixe de $f$.

1. Identifier la fonction $f$ :

   La relation de récurrence est $u_{n+1} = f(u_n)$, donc $f(x) = \frac{1}{2}\left(x + \frac{9}{x}\right)$.

   La fonction $f$ est continue sur $]0, +\infty[$. Comme $u_0=4>0$, on peut supposer que tous les termes resteront positifs.

2. Résoudre l'équation du point fixe $f(l) = l$ :

   $l = \frac{1}{2}\left(l + \frac{9}{l}\right)$

   On multiplie par 2 :

   $2l = l + \frac{9}{l}$

   On soustrait $l$ :

   $l = \frac{9}{l}$

   On multiplie par $l$ (en supposant $l \neq 0$) :

   $l^2 = 9$

   Les solutions sont $l=3$ et $l=-3$.

3. Choisir la bonne limite :

   La suite commence avec $u_0 = 4$, qui est positif. Tous les termes suivants, calculés par $f(x) = \frac{1}{2}(x+\frac{9}{x})$, seront également positifs (car si $x>0$, $x+\frac{9}{x}>0$).

   La limite $l$ d'une suite de termes positifs doit être positive ou nulle.

   Par conséquent, la seule limite possible est $l=3$.

Une fonction $f$ est dite contractante sur un intervalle $I$ si elle "rapproche" les points.

Formellement, il doit exister une constante $k$ telle que $0 \le k < 1$ et pour tous $x, y$ dans $I$ :

$|f(x) - f(y)| \le k |x - y|$

La constante $k$ est appelée le rapport de contraction.

Cela signifie que la distance entre les images $f(x)$ et $f(y)$ est toujours plus petite que la distance initiale entre $x$ et $y$, réduite d'un facteur au moins $k$.

Comment vérifier si une fonction est contractante ?

Une méthode simple s'applique si la fonction $f$ est dérivable. D'après l'inégalité des accroissements finis, il suffit de vérifier si la valeur absolue de sa dérivée est majorée par $k < 1$ sur tout l'intervalle $I$.

Si $\sup_{x \in I} |f'(x)| \le k < 1$, alors $f$ est $k$-contractante sur $I$.

Le théorème du point fixe contractant (aussi appelé théorème de Banach-Picard) est un résultat très puissant qui garantit non seulement l'existence et l'unicité d'un point fixe, mais aussi la convergence vers ce point.

Hypothèses :

Soit $I$ un intervalle fermé de $\mathbb{R}$, et $f$ une fonction qui vérifie :

1. $I$ est stable par $f$ (c'est-à-dire $f(I) \subset I$).
2. $f$ est contractante sur $I$ (avec un rapport $k < 1$).

Conclusion :

1. Il existe un unique point fixe $l$ pour la fonction $f$ dans l'intervalle $I$.
2. Pour n'importe quel point de départ $u_0 \in I$, la suite récurrente définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ converge vers cet unique point fixe $l$.

Ce théorème est très fort car il ne demande aucune information sur la monotonie et garantit la convergence pour n'importe quel point de départ dans l'intervalle stable.

La nature d'un point fixe $l$ (c'est-à-dire s'il attire ou repousse les termes de la suite proches de lui) peut être déterminée en étudiant la valeur de la dérivée de la fonction $f$ en ce point, notée $f'(l)$.

Soit $l$ un point fixe tel que $f(l)=l$.

1. Point fixe attractif :

   Si $|f'(l)| < 1$, le point fixe est attractif.

   Cela signifie que si on démarre la suite avec un $u_0$ suffisamment proche de $l$, la suite $(u_n)$ convergera vers $l$. La convergence est d'autant plus rapide que $|f'(l)|$ est proche de 0. Si $f'(l)=0$, le point est dit super-attractif.

2. Point fixe répulsif :

   Si $|f'(l)| > 1$, le point fixe est répulsif.

   Cela signifie que si on démarre la suite avec un $u_0$ très proche de $l$ (mais différent de $l$), la suite va s'éloigner de $l$.

3. Cas douteux :

   Si $|f'(l)| = 1$, on ne peut pas conclure avec la dérivée première. Le comportement de la suite dépend des termes d'ordre supérieur et doit être étudié plus en détail.

La méthode de Newton est un algorithme qui a pour objectif de trouver une approximation numérique d'une racine (ou un zéro) d'une fonction $F(x)$, c'est-à-dire une solution à l'équation $F(x)=0$.

L'idée est de construire une suite $(u_n)$ qui converge très rapidement vers la racine. Partant d'une estimation initiale $u_0$, la formule de récurrence pour calculer le terme suivant est :

$u_{n+1} = u_n - \frac{F(u_n)}{F'(u_n)}$

Où :

• $u_n$ est l'approximation actuelle de la racine.
• $F(u_n)$ est la valeur de la fonction en ce point.
• $F'(u_n)$ est la valeur de la dérivée de la fonction en ce point.

Interprétation géométrique :

$u_{n+1}$ est l'abscisse du point où la tangente à la courbe de $F$ au point $(u_n, F(u_n))$ coupe l'axe des abscisses. On remplace la courbe par sa tangente pour trouver une meilleure approximation de la racine.

La rapidité de la méthode de Newton vient de la nature du point fixe de sa fonction d'itération.

La méthode de Newton est une suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$ avec la fonction d'itération $f(x) = x - \frac{F(x)}{F'(x)}$.

On cherche une racine $l$ de $F$, c'est-à-dire un point où $F(l)=0$. Ce point $l$ est un point fixe de $f$. Pour analyser la vitesse de convergence, on regarde la dérivée $f'(l)$.

Le calcul de la dérivée de $f$ donne :

$f'(x) = 1 - \frac{[F'(x)]^2 - F(x)F''(x)}{[F'(x)]^2}$

Lorsqu'on évalue cette dérivée au point fixe $l$, on a $F(l)=0$. La formule se simplifie énormément :

$f'(l) = 1 - \frac{[F'(l)]^2 - 0}{[F'(l)]^2} = 1 - 1 = 0$

Puisque $|f'(l)| = 0 < 1$, le point fixe $l$ est non seulement attractif, mais super-attractif.

Une dérivée nulle au point fixe implique une convergence quadratique. Cela signifie qu'à chaque étape, le nombre de chiffres décimaux corrects double approximativement. C'est une convergence extrêmement rapide par rapport à des méthodes où $|f'(l)|$ est simplement inférieur à 1 (convergence géométrique/linéaire).