Analyse: Suites - fiches de révision (A)

Une suite de nombres complexes est une fonction $u$ dont l'ensemble de départ est l'ensemble des entiers naturels $\mathbb{N}$ (ou une partie de $\mathbb{N}$ comme $\{n \in \mathbb{N} \mid n \ge n_0\}$) et dont l'ensemble d'arrivée est l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$.

$u : \mathbb{N} \to \mathbb{C}$

On note le terme d'indice $n$, qui est l'image $u(n)$, plus simplement $u_n$. La suite entière est notée $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ou simplement $(u_n)$. C'est une liste ordonnée et infinie de nombres complexes.

Exemple : La suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par $u_n = i^n$ a pour termes $u_0 = i^0 = 1$, $u_1 = i^1 = i$, $u_2 = i^2 = -1$, etc.

Il existe deux manières principales de définir une suite :

1. Par une formule explicite : Le terme $u_n$ est donné par une formule qui dépend directement de l'indice $n$. Cela permet de calculer n'importe quel terme directement.

   Exemple : Soit la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par $u_n = \frac{n}{n+1} + i \cdot (-1)^n$. Pour calculer $u_{10}$, il suffit de remplacer $n$ par 10 : $u_{10} = \frac{10}{11} + i \cdot (-1)^{10} = \frac{10}{11} + i$.

2. Par une relation de récurrence : Un terme est défini à partir d'un ou plusieurs termes qui le précèdent. Il faut impérativement spécifier le ou les premiers termes pour pouvoir commencer le calcul.

   Exemple : La suite de Fibonacci est définie par $u_0 = 1, u_1 = 1$ et la relation $u_{n+2} = u_{n+1} + u_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Pour trouver $u_3$, on a besoin de $u_2$ et $u_1$. On calcule d'abord $u_2 = u_1 + u_0 = 1+1=2$, puis $u_3 = u_2+u_1=2+1=3$.

Une suite complexe $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers une limite $l \in \mathbb{C}$ si les termes de la suite se rapprochent indéfiniment de $l$ à mesure que $n$ grandit.

La définition formelle, avec les quantificateurs, est la suivante :

$\exists l \in \mathbb{C}, \forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \ge N, |u_n - l| < \varepsilon$

En français :

Il existe un nombre complexe $l$ (la limite) tel que, pour n'importe quelle marge d'erreur $\varepsilon$ (un réel strictement positif aussi petit soit-il), on peut trouver un rang $N$ à partir duquel tous les termes de la suite (pour tout $n \ge N$) sont à une distance de $l$ strictement inférieure à $\varepsilon$.

On note alors : $\lim_{n\to+\infty} u_n = l$.

Géométriquement, la convergence de $(u_n)$ vers $l$ s'interprète dans le plan complexe :

1. La condition $|u_n - l| < \varepsilon$ signifie que le point représentant le terme $u_n$ se trouve à l'intérieur du disque ouvert de centre $l$ et de rayon $\varepsilon$.

2. La définition complète dit que pour n'importe quel disque centré en $l$, aussi petit que soit son rayon $\varepsilon$, on est certain qu'à partir d'un certain moment (le rang $N$), tous les termes de la suite qui suivent ($u_N, u_{N+1}, u_{N+2}, \dots$) seront définitivement à l'intérieur de ce disque.

En d'autres termes, on peut "piéger" la quasi-totalité de la suite (tous les termes sauf un nombre fini au début) dans un disque aussi petit qu'on le souhaite autour de la limite $l$.

On veut montrer que $\lim_{n\to+\infty} \frac{1}{n} = 0$. La limite candidate est $l=0$.

Étapes :

1. Fixer un $\varepsilon > 0$ quelconque. C'est notre marge d'erreur.

2. Calculer la distance $|u_n - l|$.

   $|u_n - l| = \left| \frac{1}{n} - 0 \right| = \left| \frac{1}{n} \right| = \frac{1}{n} \quad (\text{car } n \ge 1)$

3. Trouver une condition sur $n$ pour que la distance soit inférieure à $\varepsilon$.

   On cherche $n$ tel que $|u_n - l| < \varepsilon$, c'est-à-dire :

   $\frac{1}{n} < \varepsilon$

4. Isoler $n$ pour trouver le rang $N$.

   Comme $n$ et $\varepsilon$ sont positifs, l'inégalité est équivalente à :

   $n > \frac{1}{\varepsilon}$

5. Choisir un rang $N$ qui garantit la condition.

   Il suffit de choisir n'importe quel entier $N$ qui est plus grand que $1/\varepsilon$. Un choix courant est de prendre $N = \lfloor 1/\varepsilon \rfloor + 1$.

6. Conclusion.

   Pour le $\varepsilon > 0$ que nous avons choisi au départ, nous avons trouvé un rang $N$. Pour tout entier $n \ge N$, on aura bien $n > 1/\varepsilon$, ce qui implique que $1/n < \varepsilon$, et donc $|1/n - 0| < \varepsilon$. La définition de la convergence est vérifiée.

Une suite de nombres complexes $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est dite bornée s'il existe un nombre réel positif $M$ tel que tous les modules des termes de la suite sont inférieurs ou égaux à $M$.

$\exists M \in \mathbb{R}_+, \forall n \in \mathbb{N}, |u_n| \le M$

Géométriquement, cela signifie que tous les points de la suite sont contenus dans le disque de centre l'origine et de rayon $M$.

Lien fondamental avec la convergence :

Le théorème principal est : Toute suite convergente est bornée.

Cela signifie que si une suite se rapproche d'une limite finie, ses termes ne peuvent pas "s'échapper vers l'infini".

Attention : La réciproque est fausse. Une suite peut être bornée sans être convergente.

Exemple : La suite $u_n = (-1)^n$ est bornée car $|u_n| \le 1$ pour tout $n$, mais elle diverge car elle oscille entre -1 et 1.

La conséquence la plus utile de ce théorème est sa contraposée : Toute suite non bornée est divergente. C'est un moyen très efficace pour prouver qu'une suite diverge.

On peut le prouver par l'absurde.

Hypothèse : Supposons qu'une suite $(u_n)$ converge vers deux limites distinctes, $l$ et $l'$, avec $l \ne l'$.

1. Puisque $l \neq l'$, la distance entre eux $|l-l'|$ est un nombre strictement positif. Choisissons une marge d'erreur $\varepsilon = \frac{|l-l'|}{2}$.

2. Comme $(u_n) \to l$, il existe un rang $N_1$ à partir duquel tous les termes sont dans le disque de centre $l$ et de rayon $\varepsilon$. Donc, $\forall n \ge N_1, |u_n - l| < \varepsilon$.

3. De même, comme $(u_n) \to l'$, il existe un rang $N_2$ à partir duquel tous les termes sont dans le disque de centre $l'$ et de rayon $\varepsilon$. Donc, $\forall n \ge N_2, |u_n - l'| < \varepsilon$.

4. Prenons un entier $n$ plus grand que $N_1$ et $N_2$. Pour cet entier, le terme $u_n$ doit être à la fois dans le disque centré en $l$ ET dans le disque centré en $l'$.

5. Utilisons l'inégalité triangulaire :

   $|l - l'| = |(l - u_n) + (u_n - l')| \le |l - u_n| + |u_n - l'|$

   En utilisant les conditions des points 2 et 3, on obtient :

   $|l - l'| < \varepsilon + \varepsilon = 2\varepsilon$

6. Mais nous avons choisi $\varepsilon = \frac{|l-l'|}{2}$, ce qui signifie $2\varepsilon = |l-l'|$. L'inégalité devient donc $|l-l'| < |l-l'|$, ce qui est une contradiction.

L'hypothèse de départ est donc fausse. La limite doit être unique.

On utilise un raisonnement par l'absurde.

Hypothèse : Supposons que la suite $(u_n)$ converge vers une limite $l \in \mathbb{R}$.

1. Choisir une marge d'erreur $\varepsilon$ : Prenons $\varepsilon = 1/2$. D'après la définition de la convergence, il doit exister un rang $N$ tel que pour tout $n \ge N$, on a $|(-1)^n - l| < 1/2$.

2. Tester pour un $n$ pair : Choisissons un entier pair $p \ge N$. Alors $u_p = (-1)^p = 1$. L'inégalité devient $|1 - l| < 1/2$. Cela signifie que $l$ doit être dans l'intervalle $]1-1/2, 1+1/2[$, c'est-à-dire $l \in ]1/2, 3/2[$.

3. Tester pour un $n$ impair : Choisissons un entier impair $i \ge N$. Alors $u_i = (-1)^i = -1$. L'inégalité devient $|-1 - l| < 1/2$. Cela signifie que $l$ doit être dans l'intervalle $]-1-1/2, -1+1/2[$, c'est-à-dire $l \in ]-3/2, -1/2[$.

4. Constater la contradiction : La limite $l$ devrait appartenir simultanément aux deux intervalles $]1/2, 3/2[$ et $]-3/2, -1/2[$. Or, ces deux intervalles sont disjoints. Il est impossible pour un nombre d'être dans les deux à la fois.

Notre hypothèse de départ est donc fausse. La suite $(u_n)$ ne converge pas, elle est divergente.

Si $(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites complexes convergentes avec $\lim_{n\to+\infty} u_n = l$ et $\lim_{n\to+\infty} v_n = k$, alors :

1. Limite de la somme : La suite $(u_n + v_n)$ converge et sa limite est la somme des limites.

   $\lim_{n\to+\infty} (u_n + v_n) = l + k$

2. Limite du produit : La suite $(u_n v_n)$ converge et sa limite est le produit des limites.

   $\lim_{n\to+\infty} (u_n v_n) = l k$

3. Limite du quotient : Si la limite du dénominateur n'est pas nulle ($k \neq 0$), alors la suite $(u_n / v_n)$ converge et sa limite est le quotient des limites.

   $\lim_{n\to+\infty} \frac{u_n}{v_n} = \frac{l}{k}$

Ces propriétés sont essentielles pour calculer les limites de suites complexes en les décomposant en parties plus simples.

Pour calculer la limite d'une fraction rationnelle en $n$, la méthode consiste à factoriser le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur.

Étapes :

1. Identifier le terme dominant : Au numérateur et au dénominateur, le terme de plus haut degré est $n^2$.

2. Factoriser par ce terme :

   $u_n = \frac{n^2(3 - \frac{4i}{n} + \frac{1}{n^2})}{n^2(2 + \frac{5i}{n^2})}$

3. Simplifier la fraction :

   $u_n = \frac{3 - \frac{4i}{n} + \frac{1}{n^2}}{2 + \frac{5i}{n^2}}$

4. Calculer la limite du numérateur et du dénominateur séparément :

   • Au numérateur : $\lim_{n\to+\infty} (3 - \frac{4i}{n} + \frac{1}{n^2}) = 3 - 0 + 0 = 3$ (car $1/n \to 0$ et $1/n^2 \to 0$).
   • Au dénominateur : $\lim_{n\to+\infty} (2 + \frac{5i}{n^2}) = 2 + 0 = 2$.

5. Appliquer la règle du quotient :

   Comme la limite du dénominateur est $2 \neq 0$, la limite du quotient est le quotient des limites.

   $\lim_{n\to+\infty} u_n = \frac{3}{2}$

Une suite complexe $(u_n)$ converge vers une limite $l = a+ib$ si et seulement si ses deux suites réelles associées convergent :

• La suite des parties réelles $(\text{Re}(u_n))$ converge vers $a = \text{Re}(l)$.
• La suite des parties imaginaires $(\text{Im}(u_n))$ converge vers $b = \text{Im}(l)$.

$\lim_{n\to+\infty} u_n = a+ib \iff \begin{cases} \lim_{n\to+\infty} \text{Re}(u_n) = a \\ \lim_{n\to+\infty} \text{Im}(u_n) = b \end{cases}$

Ce théorème est très puissant car il permet de ramener l'étude de la convergence d'une suite complexe à l'étude de deux suites réelles, pour lesquelles on dispose de plus d'outils (comme les théorèmes de comparaison ou des gendarmes).

Exemple : La suite $u_n = \frac{n}{n+1} + i \frac{1}{n}$ converge vers $1$, car $\text{Re}(u_n) = \frac{n}{n+1} \to 1$ et $\text{Im}(u_n) = \frac{1}{n} \to 0$.

On dit qu'une suite $(u_n)$ est équivalente à une suite $(v_n)$ lorsque $n \to +\infty$ si leur rapport tend vers 1. On suppose que $v_n$ est non nulle à partir d'un certain rang.

$u_n \sim v_n \iff \lim_{n\to+\infty} \frac{u_n}{v_n} = 1$

Intuition : Cela signifie que pour de grandes valeurs de $n$, les suites $u_n$ et $v_n$ ont un comportement très similaire. $u_n$ est une très bonne approximation de $v_n$ (et vice-versa).

Propriété fondamentale : Un polynôme en $n$ est toujours équivalent à son monôme de plus haut degré.

Exemple : Soit $u_n = 3n^2 - 2n + 5$.

On a $u_n \sim 3n^2$ car :

$\lim_{n\to+\infty} \frac{3n^2 - 2n + 5}{3n^2} = \lim_{n\to+\infty} \left(1 - \frac{2}{3n} + \frac{5}{3n^2}\right) = 1$

L'utilisation des équivalents est une technique très efficace pour simplifier le calcul de limites de produits ou de quotients.

Ces deux notations de Landau comparent le comportement asymptotique de la suite $(u_n)$ par rapport à une suite de référence $(v_n)$.

1. $u_n = o(v_n)$ (u_n est négligeable devant v_n)

   Cela signifie que le rapport $\frac{u_n}{v_n}$ tend vers 0.

   $\lim_{n\to+\infty} \frac{u_n}{v_n} = 0$

   Intuition : $u_n$ devient infiniment plus petite que $v_n$ quand $n$ devient grand.

   Exemple : $n = o(n^2)$ car $\frac{n}{n^2} = \frac{1}{n} \to 0$.

2. $u_n = O(v_n)$ (u_n est dominée par v_n)

   Cela signifie que le rapport $\frac{u_n}{v_n}$ est une suite bornée.

   $\exists M > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \ge N, \left|\frac{u_n}{v_n}\right| \le M$

   Intuition : $u_n$ ne grandit pas plus vite que $v_n$ (à un facteur constant près).

   Exemple : $3n+\sin(n) = O(n)$ car $\left|\frac{3n+\sin(n)}{n}\right| = \left|3+\frac{\sin(n)}{n}\right| \le 3 + \frac{1}{n} \le 4$ pour $n \ge 1$.

Lien : Si $u_n$ est négligeable devant $v_n$, alors elle est aussi dominée par $v_n$.

$u_n = o(v_n) \implies u_n = O(v_n)$

En effet, une suite qui tend vers 0 est nécessairement bornée.