Exercices “Analyse: Suites” (A)

Méthode : Pour trouver chaque terme, il suffit de remplacer l’indice $n$ par sa valeur (0, 1, et 2) dans la formule donnée et d’effectuer les calculs sur les nombres complexes. Rappelez-vous que $i^0=1$, $i^1=i$, et $i^2=-1$.

Étapes :

1. Calcul de $u_0$ (pour n=0) :

   On remplace $n$ par 0 dans la formule.

   $u_0 = \frac{0-2i}{0+1} + i^0 = \frac{-2i}{1} + 1 = 1 - 2i$

2. Calcul de $u_1$ (pour n=1) :

   On remplace $n$ par 1 dans la formule.

   $u_1 = \frac{1-2i}{1+1} + i^1 = \frac{1-2i}{2} + i = \left(\frac{1}{2} - i\right) + i = \frac{1}{2}$

3. Calcul de $u_2$ (pour n=2) :

   On remplace $n$ par 2 dans la formule.

   $u_2 = \frac{2-2i}{2+1} + i^2 = \frac{2-2i}{3} + (-1) = \left(\frac{2}{3} - \frac{2}{3}i\right) - 1 = \left(\frac{2}{3} - 1\right) - \frac{2}{3}i = -\frac{1}{3} - \frac{2}{3}i$

Réponse : Les trois premiers termes sont $u_0 = 1 - 2i$, $u_1 = \frac{1}{2}$, et $u_2 = -\frac{1}{3} - \frac{2}{3}i$.

Méthode : On utilise la relation de récurrence pour calculer chaque terme à partir du précédent. Pour la formule explicite d’une suite géométrique, on utilise la formule $z_n = z_0 \cdot \lambda^n$, où $\lambda$ est la raison de la suite.

Étapes :

1. Calcul de $z_1$ :

   On utilise la formule de récurrence avec $n=0$.

   $z_1 = \frac{1}{2}i \cdot z_0 = \frac{1}{2}i \cdot (2+2i) = \frac{2}{2}i + \frac{2}{2}i^2 = i - 1 = -1 + i$

2. Calcul de $z_2$ :

   On utilise la formule avec $n=1$.

   $z_2 = \frac{1}{2}i \cdot z_1 = \frac{1}{2}i \cdot (-1+i) = -\frac{1}{2}i + \frac{1}{2}i^2 = -\frac{1}{2}i - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$

3. Calcul de $z_3$ :

   On utilise la formule avec $n=2$.

   $z_3 = \frac{1}{2}i \cdot z_2 = \frac{1}{2}i \cdot \left(-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i\right) = -\frac{1}{4}i - \frac{1}{4}i^2 = -\frac{1}{4}i + \frac{1}{4} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4}i$

4. Formule explicite de $z_n$ :

   La suite est géométrique de premier terme $z_0 = 2+2i$ et de raison $\lambda = \frac{1}{2}i$. La formule explicite est $z_n = z_0 \cdot \lambda^n$.

   $z_n = (2+2i) \cdot \left(\frac{1}{2}i\right)^n$

Réponse : Les termes sont $z_1 = -1+i$, $z_2 = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$, $z_3 = \frac{1}{4} - \frac{1}{4}i$. La formule explicite est $z_n = (2+2i) \left(\frac{i}{2}\right)^n$.

Méthode : On applique la définition de la convergence : $\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \ge N, |u_n - l| < \varepsilon$. On fixe un $\varepsilon > 0$ quelconque, puis on exprime la condition $|u_n - l| < \varepsilon$ pour trouver une condition sur $n$. Cette condition nous permettra de choisir un rang $N$ approprié.

Étapes :

1. Fixer $\varepsilon$ et calculer la distance :

   Soit $\varepsilon > 0$ un réel quelconque. On calcule la distance entre $u_n$ et la limite supposée $l=0$.

   $|u_n - l| = \left| \frac{3i}{n} - 0 \right| = \left| \frac{3i}{n} \right| = \frac{|3i|}{|n|} = \frac{3}{n}$

   (car $n \in \mathbb{N}^*$, donc $n>0$ et $|n|=n$)

2. Trouver la condition sur $n$ :

   On veut que la distance soit inférieure à $\varepsilon$. On résout donc l’inégalité :

   $|u_n - l| < \varepsilon \iff \frac{3}{n} < \varepsilon$

   Comme $n$ et $\varepsilon$ sont positifs, on peut inverser l’inégalité :

   $n > \frac{3}{\varepsilon}$

3. Choisir le rang $N$ :

   La condition $|u_n - 0| < \varepsilon$ est satisfaite pour tous les entiers $n$ qui sont strictement plus grands que $3/\varepsilon$. Il suffit donc de choisir un entier $N$ qui vérifie cette condition. On peut prendre, par exemple, $N = \lfloor \frac{3}{\varepsilon} \rfloor + 1$.

   ( $\lfloor x \rfloor$ est la partie entière de $x$)

4. Conclusion :

   Pour tout $\varepsilon > 0$, on a trouvé un rang $N = \lfloor 3/\varepsilon \rfloor + 1$ tel que pour tout entier $n \ge N$, on a $n > 3/\varepsilon$, ce qui implique $|u_n - 0| < \varepsilon$. Ceci est la définition formelle de la convergence.

Réponse : La suite $(u_n)$ converge bien vers $0$. $\lim_{n \to +\infty} \frac{3i}{n} = 0$.

Méthode : Pour déterminer si une suite complexe est bornée, on étudie le module de son terme général, $|u_n|$. Si la suite des modules $(|u_n|)$ est majorée par un réel $M$, alors la suite $(u_n)$ est bornée. On utilisera ensuite la propriété : “toute suite non bornée est divergente”.

Étapes :

1. Calcul du module de $u_n$ :

   Le terme général est $u_n = n \cdot e^{i \pi / 4}$. On utilise la propriété $|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$.

   $|u_n| = |n \cdot e^{i \pi / 4}| = |n| \cdot |e^{i \pi / 4}|$

2. Simplification du module :

   Comme $n \in \mathbb{N}$, $|n| = n$. Le module d’un nombre complexe de la forme $e^{i\theta}$ est toujours 1, car $|e^{i\theta}| = |\cos(\theta) + i\sin(\theta)| = \sqrt{\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta)} = \sqrt{1} = 1$.

   Donc,

   $|u_n| = n \cdot 1 = n$

3. Analyse de la suite des modules :

   La suite des modules est $(|u_n|)_{n\in\mathbb{N}} = (n)_{n\in\mathbb{N}}$. Cette suite $(0, 1, 2, 3, \dots)$ n’est pas majorée. Pour n’importe quel réel $M > 0$ que l’on choisit, on peut toujours trouver un entier $n$ (par exemple $n = \lfloor M \rfloor + 1$) tel que $|u_n| = n > M$.

4. Conclusion :

   Puisque l’ensemble des modules des termes de la suite $(u_n)$ n’est pas majoré, la suite n’est pas bornée. D’après la contraposée du théorème “toute suite convergente est bornée”, on peut affirmer que toute suite non bornée est divergente.

Réponse : La suite $(u_n)$ n’est pas bornée car son module $|u_n|=n$ tend vers l’infini. Par conséquent, la suite $(u_n)$ est divergente.

Méthode : La suite est un quotient de deux polynômes en $n$. La technique standard est de factoriser le numérateur et le dénominateur par leur terme de plus haut degré en $n$, puis de simplifier l’expression. On utilise ensuite les règles d’opérations sur les limites.

Étapes :

1. Développer le numérateur :

   $(3n-1)(n+2i) = 3n^2 + 6in - n - 2i = 3n^2 + (6i-1)n - 2i$

   La suite s’écrit donc :

   $w_n = \frac{3n^2 + (6i-1)n - 2i}{n^2 + 4i}$

2. Factoriser par le terme de plus haut degré :

   Le terme dominant au numérateur et au dénominateur est $n^2$. On factorise par $n^2$ en haut et en bas.

   $w_n = \frac{n^2 \left( 3 + \frac{6i-1}{n} - \frac{2i}{n^2} \right)}{n^2 \left( 1 + \frac{4i}{n^2} \right)}$

3. Simplifier l’expression :

   On peut simplifier par $n^2$ (pour $n \ge 1$).

   $w_n = \frac{3 + \frac{6i-1}{n} - \frac{2i}{n^2}}{1 + \frac{4i}{n^2}}$

4. Calculer la limite :

   On utilise les propriétés des limites. On sait que $\lim_{n \to \infty} \frac{C}{n} = 0$ et $\lim_{n \to \infty} \frac{C}{n^2} = 0$ pour toute constante $C \in \mathbb{C}$.

   • Limite du numérateur : $\lim_{n \to \infty} \left( 3 + \frac{6i-1}{n} - \frac{2i}{n^2} \right) = 3 + 0 - 0 = 3$.
   • Limite du dénominateur : $\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{4i}{n^2} \right) = 1 + 0 = 1$.

   La limite du dénominateur est non nulle, donc la limite du quotient est le quotient des limites.

   $\lim_{n \to \infty} w_n = \frac{3}{1} = 3$

Réponse : $\lim_{n \to \infty} w_n = 3$

Méthode : On peut montrer la divergence par l’absurde. On suppose que la suite converge vers une limite $l$, puis on montre que cela mène à une contradiction. Une autre approche consiste à examiner le comportement des termes de rang pair et des termes de rang impair. S’ils convergent vers des limites différentes, la suite entière ne peut pas converger.

Étapes :

1. Examiner les termes de rang pair :

   Soit $n=2k$ avec $k \in \mathbb{N}$. Le terme général de la sous-suite des termes pairs est :

   $u_{2k} = (-1)^{2k} \frac{2k}{2k+1} = 1 \cdot \frac{2k}{2k+1} = \frac{2k}{2k+1}$

   Calculons la limite de cette sous-suite quand $k \to \infty$ :

   $\lim_{k \to \infty} u_{2k} = \lim_{k \to \infty} \frac{2k}{2k+1} = \lim_{k \to \infty} \frac{2}{2+1/k} = \frac{2}{2} = 1$

2. Examiner les termes de rang impair :

   Soit $n=2k+1$ avec $k \in \mathbb{N}$. Le terme général de la sous-suite des termes impairs est :

   $u_{2k+1} = (-1)^{2k+1} \frac{2k+1}{(2k+1)+1} = -1 \cdot \frac{2k+1}{2k+2}$

   Calculons la limite de cette sous-suite quand $k \to \infty$ :

   $\lim_{k \to \infty} u_{2k+1} = \lim_{k \to \infty} -\frac{2k+1}{2k+2} = \lim_{k \to \infty} -\frac{2+1/k}{2+2/k} = -\frac{2}{2} = -1$

3. Conclusion :

   Nous avons trouvé deux sous-suites (les termes pairs et les termes impairs) qui convergent vers des limites différentes (1 et -1).

   Si une suite converge vers une limite $l$, alors toutes ses sous-suites doivent converger vers cette même limite $l$.

   Puisque nous avons trouvé deux sous-suites qui convergent vers des limites distinctes, la suite $(u_n)$ ne peut pas converger. Elle est donc divergente.

Réponse : La suite $(u_n)$ est divergente car les termes de rang pair convergent vers 1, tandis que les termes de rang impair convergent vers -1.

Méthode : Une suite complexe $z_n = x_n + iy_n$ converge si et seulement si ses parties réelle $(x_n)$ et imaginaire $(y_n)$ convergent. On étudie donc séparément la convergence de la suite réelle $(\text{Re}(z_n))$ et de la suite imaginaire $(\text{Im}(z_n))$.

Étapes :

1. Identifier les parties réelle et imaginaire :

   Pour la suite $z_n$, on a :

   • Partie réelle : $x_n = \text{Re}(z_n) = \frac{n-1}{n}$
   • Partie imaginaire : $y_n = \text{Im}(z_n) = \frac{\sin(n)}{n}$

2. Étudier la convergence de la partie réelle $(x_n)$ :

   $\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n-1}{n} = \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right) = 1 - 0 = 1$

   La suite de la partie réelle converge vers 1.

3. Étudier la convergence de la partie imaginaire $(y_n)$ :

   Pour la suite $y_n = \frac{\sin(n)}{n}$, on utilise le théorème des gendarmes. On sait que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $-1 \le \sin(n) \le 1$.

   En divisant par $n$ (qui est positif), on obtient :

   $-\frac{1}{n} \le \frac{\sin(n)}{n} \le \frac{1}{n}$

   On sait que $\lim_{n \to \infty} (-\frac{1}{n}) = 0$ et $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$.

   Par le théorème des gendarmes, on conclut que :

   $\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \frac{\sin(n)}{n} = 0$

   La suite de la partie imaginaire converge vers 0.

4. Conclusion sur la suite $(z_n)$ :

   Puisque la partie réelle et la partie imaginaire convergent, la suite complexe $(z_n)$ converge. Sa limite est $l = (\lim x_n) + i (\lim y_n)$.

   $\lim_{n \to \infty} z_n = 1 + i \cdot 0 = 1$

Réponse : La suite $(z_n)$ converge et sa limite est $1$.

Méthode : On utilise l’équivalent usuel de $\sin(x)$ lorsque $x$ tend vers 0. On pose $x_n = 2/n$. Quand $n \to \infty$, $x_n \to 0$, ce qui nous permet d’appliquer l’équivalent. On a $\sin(x) \sim x$ quand $x \to 0$.

Étapes :

1. Identifier le terme qui tend vers 0 :

   Dans l’expression $\sin(2/n)$, l’argument $2/n$ tend vers 0 lorsque $n \to \infty$.

2. Appliquer l’équivalent usuel :

   Puisque $\lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} = 0$, on peut utiliser l’équivalent $\sin(x) \sim x$ en remplaçant $x$ par $2/n$. On obtient :

   $\sin\left(\frac{2}{n}\right) \sim \frac{2}{n} \quad \text{quand } n \to \infty$

3. Remplacer dans l’expression de la limite :

   Puisqu’on a un équivalent, on peut remplacer le terme dans le calcul de la limite.

   $\lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} n \sin\left(\frac{2}{n}\right)$

   En utilisant l’équivalent, on a :

   $\lim_{n \to \infty} n \cdot \left(\frac{2}{n}\right)$

4. Calculer la limite simplifiée :

   $\lim_{n \to \infty} n \cdot \frac{2}{n} = \lim_{n \to \infty} 2 = 2$

Réponse : $\lim_{n \to \infty} u_n = 2$

Méthode : Pour montrer que $u_n = O(n)$, il faut prouver que la suite quotient $\left(\frac{u_n}{n}\right)$ est bornée. Cela signifie qu’il existe un réel $M > 0$ tel que pour $n$ assez grand, $\left|\frac{u_n}{n}\right| \le M$. Une façon simple de le faire est de montrer que cette suite quotient converge, car toute suite convergente est bornée.

Étapes :

1. Former la suite quotient :

   On calcule le terme général de la suite $\left(\frac{u_n}{n}\right)$.

   $\frac{u_n}{n} = \frac{1}{n} \cdot u_n = \frac{1}{n} \cdot \frac{5n^2 + \cos(n)}{n-1} = \frac{5n^2 + \cos(n)}{n(n-1)} = \frac{5n^2 + \cos(n)}{n^2 - n}$

2. Déterminer la limite de la suite quotient :

   On factorise par le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur.

   $\frac{u_n}{n} = \frac{n^2\left(5 + \frac{\cos(n)}{n^2}\right)}{n^2\left(1 - \frac{1}{n}\right)} = \frac{5 + \frac{\cos(n)}{n^2}}{1 - \frac{1}{n}}$

   Maintenant, on calcule la limite quand $n \to \infty$ :

   • Au numérateur : $\frac{\cos(n)}{n^2} \to 0$ (par le théorème des gendarmes, car $|\cos(n)| \le 1$). Donc le numérateur tend vers $5+0=5$.
   • Au dénominateur : $1 - \frac{1}{n} \to 1 - 0 = 1$.
   • La limite du quotient est donc $\frac{5}{1}=5$.

3. Conclure sur le caractère borné :

   La suite $\left(\frac{u_n}{n}\right)$ converge vers 5. Toute suite qui converge est bornée. Il existe donc un réel $M$ tel que $\left|\frac{u_n}{n}\right| \le M$ pour tout $n \ge 2$.

4. Conclusion finale :

   Puisque la suite $\left(\frac{u_n}{n}\right)$ est bornée, par définition de la notation de Landau, on a bien $u_n = O(n)$.

Réponse : On a montré que la suite $\left(\frac{u_n}{n}\right)$ converge, elle est donc bornée. Ceci prouve que $u_n = O(n)$.

Méthode : La suite est sous la forme "$\infty - \infty$", une forme indéterminée. La technique classique pour les expressions avec des racines carrées est de multiplier et diviser par la quantité conjuguée.

Étapes :

1. Multiplier par la quantité conjuguée :

   La quantité conjuguée de $\sqrt{n^2+4n} - n$ est $\sqrt{n^2+4n} + n$. On multiplie et divise $u_n$ par cette quantité.

   $u_n = (\sqrt{n^2+4n} - n) \cdot \frac{\sqrt{n^2+4n} + n}{\sqrt{n^2+4n} + n}$

2. Simplifier le numérateur :

   On utilise l’identité remarquable $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

   $u_n = \frac{(\sqrt{n^2+4n})^2 - n^2}{\sqrt{n^2+4n} + n} = \frac{(n^2+4n) - n^2}{\sqrt{n^2+4n} + n} = \frac{4n}{\sqrt{n^2+4n} + n}$

3. Trouver un équivalent du dénominateur :

   On cherche un équivalent simple pour le dénominateur.

   $\sqrt{n^2+4n} + n = \sqrt{n^2(1+4/n)} + n = n\sqrt{1+4/n} + n = n(\sqrt{1+4/n} + 1)$

   Quand $n \to \infty$, $4/n \to 0$, donc $\sqrt{1+4/n} \to \sqrt{1} = 1$.

   Le terme entre parenthèses tend vers $1+1=2$.

   Donc, le dénominateur est équivalent à $n \cdot 2 = 2n$.

   $\sqrt{n^2+4n} + n \sim 2n$

4. Trouver l’équivalent de $u_n$ :

   On remplace le dénominateur par son équivalent dans l’expression de $u_n$.

   $u_n = \frac{4n}{\sqrt{n^2+4n} + n} \sim \frac{4n}{2n} = 2$

   Un équivalent simple de $u_n$ est la constante 2.

5. Déduire la limite :

   Si une suite $u_n$ est équivalente à une constante non nulle $L$, alors la limite de $u_n$ est $L$.

   $\lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} 2 = 2$

Réponse : Un équivalent de $u_n$ est $2$. La limite de la suite est $\lim_{n \to \infty} u_n = 2$.