Courbes et surfaces dans R3 - preuves (A)

Soit $u(t)$ un vecteur de norme constante $C$.

Étape 1 : Relation avec le produit scalaire

On a $\|u(t)\| = C$, donc $\|u(t)\|^2 = C^2$.

En termes de produit scalaire, cela s'écrit :

$\langle u(t), u(t) \rangle = C^2$

Étape 2 : Dérivation

Dérivons les deux membres de l'équation par rapport à $t$. Rappelons que la dérivée d'un produit scalaire suit la règle du produit : $\frac{d}{dt}\langle u, v \rangle = \langle u', v \rangle + \langle u, v' \rangle$.

$\frac{d}{dt} \langle u(t), u(t) \rangle = \frac{d}{dt} (C^2)$

$\langle u'(t), u(t) \rangle + \langle u(t), u'(t) \rangle = 0$

Par symétrie du produit scalaire :

$2 \langle u(t), u'(t) \rangle = 0$

Conclusion :

On obtient $\langle u(t), u'(t) \rangle = 0$. Par définition de l'orthogonalité, $u(t)$ et $u'(t)$ sont orthogonaux pour tout $t$.

Étape 1 : Orthogonalité de $\tau$ et $\tau'$

Le paramétrage étant par longueur d'arc, le vecteur tangent est unitaire : $\|\tau(s)\| = \|\gamma'(s)\| = 1$.

D'après la propriété des vecteurs de norme constante, $\tau'(s)$ est orthogonal à $\tau(s)$.

Le vecteur $\tau'(s)$ appartient donc au plan normal à la courbe.

Étape 2 : Définition de la courbure et du vecteur normal

La courbure est définie par $K(s) = \|\gamma''(s)\|$. Or $\gamma''(s) = \tau'(s)$, donc $K(s) = \|\tau'(s)\|$.

Si $K(s) \neq 0$ (courbe birégulière), le vecteur normal principal $\nu(s)$ est défini comme le vecteur unitaire colinéaire et de même sens que $\gamma''(s)$ :

$\nu(s) = \frac{\gamma''(s)}{\|\gamma''(s)\|} = \frac{\tau'(s)}{K(s)}$

Conclusion :

En réarrangeant l'égalité, on obtient directement la première formule de Frenet :

$\tau'(s) = K(s)\nu(s)$

(Si $K(s)=0$, alors $\tau'(s)=0$, et la formule tient trivialement en considérant $\nu$ comme un vecteur unitaire arbitraire orthogonal à $\tau$).

Soit $f : I \to \mathbb{R}^3$ une courbe régulière.

Sens direct ($\Rightarrow$) :

Si la courbe est une droite, elle peut s'écrire $f(t) = P + tV$ avec $V \neq 0$.

Alors $f'(t) = V$ et $f''(t) = 0$.

La formule de la courbure est $K = \frac{\|f' \wedge f''\|}{\|f'\|^3}$.

Puisque $f''=0$, le numérateur est nul, donc $K(t) = 0$ pour tout $t$.

Sens réciproque ($\Leftarrow$) :

Supposons $K(s) = 0$ pour tout $s$, où $s$ est l'abscisse curviligne.

Par définition, $K(s) = \|f''(s)\|$.

Donc $\|f''(s)\| = 0 \implies f''(s) = \vec{0}$.

En intégrant par rapport à $s$ :

$f'(s) = \mathbf{c}_1$

où $\mathbf{c}_1$ est un vecteur constant (unitaire car paramétrage par longueur d'arc).

En intégrant une seconde fois :

$f(s) = s\mathbf{c}_1 + \mathbf{c}_2$

où $\mathbf{c}_2$ est un point constant.

Conclusion :

L'équation $f(s) = \mathbf{c}_2 + s\mathbf{c}_1$ est l'équation paramétrique d'une droite passant par $\mathbf{c}_2$ de vecteur directeur $\mathbf{c}_1$. La courbe est donc une droite.

Étape 1 : Propriété géométrique

Soit une courbe $\gamma(s)$ contenue dans un plan $\Pi$ défini par un point $P_0$ et un vecteur normal unitaire $\mathbf{n}$.

On a pour tout $s$ : $\langle \gamma(s) - P_0, \mathbf{n} \rangle = 0$.

Étape 2 : Analyse des vecteurs de Frenet

Dérivons la relation par rapport à $s$ :

$\langle \gamma'(s), \mathbf{n} \rangle = 0 \implies \langle \tau(s), \mathbf{n} \rangle = 0$.

Dérivons encore une fois :

$\langle \tau'(s), \mathbf{n} \rangle = 0$.

Comme $\tau' = K\nu$ et $K > 0$ (birégularité), on a $\langle \nu(s), \mathbf{n} \rangle = 0$.

Puisque $\tau(s)$ et $\nu(s)$ sont tous deux orthogonaux à $\mathbf{n}$, le vecteur $\mathbf{n}$ est colinéaire à leur produit vectoriel $\tau(s) \wedge \nu(s)$.

Or, $\beta(s) = \tau(s) \wedge \nu(s)$.

Donc $\beta(s) = \pm \mathbf{n}$.

Étape 3 : Calcul de la torsion

Puisque le plan est fixe, $\mathbf{n}$ est un vecteur constant. Donc $\beta(s)$ est un vecteur constant.

Sa dérivée est nulle : $\beta'(s) = 0$.

D'après la troisième formule de Frenet, $\beta'(s) = T(s)\nu(s)$.

Conclusion :

On a $T(s)\nu(s) = 0$. Comme $\nu(s)$ est un vecteur unitaire, cela implique nécessairement $T(s) = 0$.

Étape 1 : Expression de la vitesse

Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire :

$\gamma'(t) = v(t) \tau(t)$

où $v(t) = \frac{ds}{dt}$ est la vitesse scalaire.

Étape 2 : Dérivation pour l'accélération

Dérivons par rapport à $t$ :

$\gamma''(t) = \frac{d}{dt}(v(t) \tau(t)) = v'(t)\tau(t) + v(t) \frac{d}{dt}(\tau(t))$

Pour le terme $\frac{d}{dt}(\tau(t))$, on utilise la règle de la chaîne et la première formule de Frenet ($\frac{d\tau}{ds} = K\nu$) :

$\frac{d}{dt}(\tau(t)) = \frac{d\tau}{ds} \cdot \frac{ds}{dt} = (K \nu) \cdot v$

Conclusion :

En substituant dans l'expression de l'accélération :

$\gamma''(t) = v'(t)\tau + v(t)(v K \nu)$

$\gamma''(t) = \frac{d^2s}{dt^2} \tau + v^2 K \nu$

Ceci démontre que l'accélération a une composante tangentielle (variation de la vitesse scalaire) et une composante normale (changement de direction lié à la courbure et au carré de la vitesse).

Étape 1 : Utilisation des expressions dans le repère de Frenet

On sait que :

1. $\gamma'(t) = v \tau$
2. $\gamma''(t) = \dot{v} \tau + v^2 K \nu$ (où $\dot{v} = dv/dt$)

Étape 2 : Calcul du produit vectoriel

$\gamma' \wedge \gamma'' = (v \tau) \wedge (\dot{v} \tau + v^2 K \nu)$

Par distributivité :

$\gamma' \wedge \gamma'' = v\dot{v}(\tau \wedge \tau) + v(v^2 K)(\tau \wedge \nu)$

Puisque $\tau \wedge \tau = 0$ et $\tau \wedge \nu = \beta$ :

$\gamma' \wedge \gamma'' = v^3 K \beta$

Étape 3 : Passage à la norme

Prenons la norme des deux côtés :

$\|\gamma' \wedge \gamma''\| = \|v^3 K \beta\| = |v^3 K| \|\beta\|$

Comme la courbure $K$ est positive et $v = \|\gamma'\| > 0$, et $\|\beta\|=1$, on a :

$\|\gamma' \wedge \gamma''\| = v^3 K = \|\gamma'\|^3 K$

Conclusion :

En isolant $K$, on obtient :

$K = \frac{\|\gamma' \wedge \gamma''\|}{\|\gamma'\|^3}$

Étape 1 : Définitions

Soit $f(u,v)$ le paramétrage. On note $f_u = \frac{\partial f}{\partial u}$ et $f_v = \frac{\partial f}{\partial v}$.

Les coefficients sont :

$E = \|f_u\|^2 = \langle f_u, f_u \rangle$

$F = \langle f_u, f_v \rangle$

$G = \|f_v\|^2 = \langle f_v, f_v \rangle$

Étape 2 : Calcul de $EG - F^2$

$EG - F^2 = \|f_u\|^2 \|f_v\|^2 - \langle f_u, f_v \rangle^2$

D'après l'identité de Lagrange (propriété algébrique dans $\mathbb{R}^3$), cette expression est égale au carré de la norme du produit vectoriel :

$EG - F^2 = \|f_u \wedge f_v\|^2$

Étape 3 : Condition de régularité

Par définition, une surface est régulière en un point si les vecteurs $f_u$ et $f_v$ sont linéairement indépendants.

Cela est équivalent à dire que leur produit vectoriel est non nul :

$f_u \wedge f_v \neq \vec{0} \implies \|f_u \wedge f_v\| > 0$

Conclusion :

Par conséquent, $\|f_u \wedge f_v\|^2 > 0$, ce qui prouve que :

$EG - F^2 > 0$

Étape 1 : Paramétrage et dérivation

Soit $\gamma(t) = (x(t), y(t))$ une courbe paramétrée tracée sur la ligne de niveau $c$.

On a donc l'identité :

$g(x(t), y(t)) = c$

Dérivons cette équation par rapport à $t$ :

$\frac{d}{dt} [g(x(t), y(t))] = \frac{d}{dt} (c) = 0$

Étape 2 : Règle de la chaîne

L'expression de la dérivée composée donne :

$\frac{\partial g}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial g}{\partial y} \frac{dy}{dt} = 0$

Étape 3 : Interprétation vectorielle

On reconnaît le produit scalaire entre le gradient de $g$ et le vecteur vitesse de la courbe $\gamma'$ :

$\nabla g(\gamma(t)) \cdot \gamma'(t) = 0$

où $\nabla g = (\frac{\partial g}{\partial x}, \frac{\partial g}{\partial y})$ et $\gamma'(t) = (x'(t), y'(t))$.

Conclusion :

Le vecteur $\gamma'(t)$ est le vecteur tangent à la courbe de niveau. L'équation montre que le gradient $\nabla g$ est orthogonal à ce vecteur tangent.

Étape 1 : Paramétrage et dérivées premières

$f(u, v) = (R\cos u, R\sin u, v)$

$f_u = (-R\sin u, R\cos u, 0)$

$f_v = (0, 0, 1)$

Étape 2 : Calcul du vecteur normal $N$

$f_u \wedge f_v = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -R\sin u & R\cos u & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (R\cos u, R\sin u, 0)$

La norme est $\|f_u \wedge f_v\| = R$.

Donc $N = (\cos u, \sin u, 0)$.

Étape 3 : Dérivées secondes

$f_{uu} = (-R\cos u, -R\sin u, 0)$

$f_{uv} = (0, 0, 0)$

$f_{vv} = (0, 0, 0)$

Étape 4 : Coefficients de la seconde forme fondamentale

$L = \langle N, f_{uu} \rangle = -R\cos^2 u - R\sin^2 u = -R$

$M = \langle N, f_{uv} \rangle = 0$

$N_{coeff} = \langle N, f_{vv} \rangle = 0$

Conclusion :

Le déterminant de la seconde forme fondamentale est $LN_{coeff} - M^2 = (-R)(0) - 0^2 = 0$.

La courbure de Gauss est :

$K = \frac{0}{EG-F^2} = 0$

Étape 1 : Relation entre les bases

Soit $f : U \to \mathbb{R}^3$ le paramétrage initial et $g = f \circ \phi$ le nouveau paramétrage, avec $\phi(s, t) = (u(s, t), v(s, t))$ un difféomorphisme.

Calculons les vecteurs tangents de $g$ en utilisant la règle de la chaîne :

$\frac{\partial g}{\partial s} = \frac{\partial f}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial s} + \frac{\partial f}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial s}$

$\frac{\partial g}{\partial t} = \frac{\partial f}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial t}$

Étape 2 : Interprétation vectorielle

Ces équations montrent que les vecteurs $\frac{\partial g}{\partial s}$ et $\frac{\partial g}{\partial t}$ sont des combinaisons linéaires de $\frac{\partial f}{\partial u}$ et $\frac{\partial f}{\partial v}$.

Autrement dit, $\text{Vect}(\frac{\partial g}{\partial s}, \frac{\partial g}{\partial t}) \subseteq \text{Vect}(\frac{\partial f}{\partial u}, \frac{\partial f}{\partial v})$.

Étape 3 : Inversibilité

Puisque $\phi$ est un difféomorphisme, la matrice jacobienne de passage est inversible. On peut exprimer $\frac{\partial f}{\partial u}, \frac{\partial f}{\partial v}$ en fonction de $\frac{\partial g}{\partial s}, \frac{\partial g}{\partial t}$. L'inclusion réciproque est donc vraie.

Conclusion :

Les espaces vectoriels engendrés sont identiques :

$\text{Vect}\left(\frac{\partial g}{\partial s}, \frac{\partial g}{\partial t}\right) = \text{Vect}\left(\frac{\partial f}{\partial u}, \frac{\partial f}{\partial v}\right)$

Le plan tangent est un objet géométrique invariant.