Exercices Courbes et surfaces dans $\mathbb{R}^3$ (A)

Méthode : Pour construire le repère de Frenet $(\tau, \nu, \beta)$, nous devons calculer les dérivées successives de $f(t)$, normaliser le vecteur vitesse pour obtenir $\tau$, dériver $\tau$ pour obtenir $\nu$, et utiliser le produit vectoriel pour $\beta$.

Étapes :

1. Calcul du vecteur vitesse et vérification de la régularité :

   Calculons la dérivée première $f'(t)$ :

   $f'(t) = (-3 \sin t, 3 \cos t, 4)$

   Calculons sa norme :

   $\|f'(t)\| = \sqrt{(-3 \sin t)^2 + (3 \cos t)^2 + 4^2} = \sqrt{9(\sin^2 t + \cos^2 t) + 16} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

   La norme est constante et non nulle ($5 \neq 0$), donc la courbe est régulière.

2. Calcul du vecteur tangent unitaire $\tau(t)$ :

   $\tau(t) = \frac{f'(t)}{\|f'(t)\|} = \frac{1}{5} (-3 \sin t, 3 \cos t, 4) = \left( -\frac{3}{5} \sin t, \frac{3}{5} \cos t, \frac{4}{5} \right)$

3. Calcul du vecteur normal unitaire $\nu(t)$ :

   Par définition, $\nu(t) = \frac{\tau'(t)}{\|\tau'(t)\|}$.

   $\tau'(t) = \frac{d}{dt} \left( -\frac{3}{5} \sin t, \frac{3}{5} \cos t, \frac{4}{5} \right) = \left( -\frac{3}{5} \cos t, -\frac{3}{5} \sin t, 0 \right)$

   Norme de $\tau'(t)$ :

   $\|\tau'(t)\| = \sqrt{\frac{9}{25}\cos^2 t + \frac{9}{25}\sin^2 t} = \frac{3}{5}$

   D’où :

   $\nu(t) = \frac{\tau'(t)}{3/5} = (-\cos t, -\sin t, 0)$

4. Calcul du vecteur binormal $\beta(t)$ :

   $\beta(t) = \tau(t) \wedge \nu(t)$

   $\beta(t) = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -\frac{3}{5}\sin t & \frac{3}{5}\cos t & \frac{4}{5} \\ -\cos t & -\sin t & 0 \end{vmatrix}$

   Composante $x$ : $0 - (\frac{4}{5})(-\sin t) = \frac{4}{5}\sin t$

   Composante $y$ : $-(\frac{4}{5})(-\cos t) = \frac{4}{5}\cos t$ (avec le signe du déterminant) $\to$ attention : $-(0 - (-\frac{4}{5}\cos t)) = -\frac{4}{5}\cos t$

   Composante $z$ : $(-\frac{3}{5}\sin t)(-\sin t) - (\frac{3}{5}\cos t)(-\cos t) = \frac{3}{5}(\sin^2 t + \cos^2 t) = \frac{3}{5}$

Réponse :

Le repère de Frenet est :

$\tau(t) = \left( -\frac{3}{5} \sin t, \frac{3}{5} \cos t, \frac{4}{5} \right)$

$\nu(t) = (-\cos t, -\sin t, 0)$

$\beta(t) = \left( \frac{4}{5} \sin t, -\frac{4}{5} \cos t, \frac{3}{5} \right)$

Méthode : Nous utilisons les formules faisant intervenir le produit vectoriel des dérivées premières et secondes pour la courbure, et le produit mixte (déterminant) des trois premières dérivées pour la torsion.

Formules :

$K = \frac{\|f' \wedge f''\|}{\|f'\|^3}, \quad T = \frac{-\det(f', f'', f''')}{\|f' \wedge f''\|^2}$

Étapes :

1. Calcul des dérivées :

   $f'(t) = (-3 \sin t, 3 \cos t, 4)$

   $f''(t) = (-3 \cos t, -3 \sin t, 0)$

   $f'''(t) = (3 \sin t, -3 \cos t, 0)$

2. Calcul du produit vectoriel $f' \wedge f''$ :

   $f' \wedge f'' = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3\sin t & 3\cos t & 4 \\ -3\cos t & -3\sin t & 0 \end{vmatrix}$

   $x = 0 - (-12\sin t) = 12\sin t$

   $y = -(0 - (-12\cos t)) = -12\cos t$

   $z = 9\sin^2 t - (-9\cos^2 t) = 9(\sin^2 t + \cos^2 t) = 9$

   Donc $f' \wedge f'' = (12\sin t, -12\cos t, 9)$.

3. Calcul des normes :

   $\|f'\| = 5$ (calculé à l’exercice 1).

   $\|f' \wedge f''\| = \sqrt{(12\sin t)^2 + (-12\cos t)^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$.

4. Calcul de la Courbure $K$ :

   $K = \frac{15}{5^3} = \frac{15}{125} = \frac{3}{25}$

5. Calcul du déterminant pour la Torsion :

   $\det(f', f'', f''') = (f' \wedge f'') \cdot f'''$

   $= (12\sin t, -12\cos t, 9) \cdot (3\sin t, -3\cos t, 0)$

   $= 36\sin^2 t + 36\cos^2 t + 0 = 36$

6. Calcul de la Torsion $T$ :

   Le signe "$-$" est parfois inclus ou non selon la convention de définition de $\beta'$ (ici $\nu' = -K\tau - T\beta$ est standard). La formule donnée dans le concept est $T = -\frac{\det}{\| \wedge \|^2}$.

   $T = -\frac{36}{15^2} = -\frac{36}{225}$

   Simplifions par 9 :

   $T = -\frac{4}{25}$

   Note : Pour une hélice circulaire dextre standard, la torsion est souvent positive ou négative selon l’orientation de l’axe z. Ici, le signe moins vient de la formule générique.

Réponse :

$K = \frac{3}{25}, \quad T = -\frac{4}{25}$

Méthode : Calculer les dérivées partielles pour former la Jacobienne. Vérifier l’indépendance linéaire des vecteurs colonnes (produit vectoriel non nul) pour la régularité. Utiliser le vecteur normal pour l’équation du plan.

Étapes :

1. Calcul des dérivées partielles :

   $\frac{\partial f}{\partial u} = (1, 2u, v)$

   $\frac{\partial f}{\partial v} = (1, -1, u)$

   La matrice jacobienne est :

   $D_{(u,v)}f = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2u & -1 \\ v & u \end{pmatrix}$

2. Vérification de la régularité en $(1, 1)$ :

   Évaluons les vecteurs tangents en $(1, 1)$ :

   $\vec{T}_u = \frac{\partial f}{\partial u}(1,1) = (1, 2, 1)$

   $\vec{T}_v = \frac{\partial f}{\partial v}(1,1) = (1, -1, 1)$

   Calculons le produit vectoriel $\vec{N} = \vec{T}_u \wedge \vec{T}_v$ :

   $\vec{N} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$

   $x = 2(1) - 1(-1) = 3$

   $y = -(1(1) - 1(1)) = 0$

   $z = 1(-1) - 2(1) = -3$

   $\vec{N} = (3, 0, -3)$

   Puisque $\vec{N} \neq \vec{0}$, le point est régulier.

3. Équation du plan tangent :

   Le point sur la surface est $A = f(1, 1) = (1+1, 1^2-1, 1\times 1) = (2, 0, 1)$.

   Le vecteur normal est $\vec{N} = (3, 0, -3)$, ou plus simplement $(1, 0, -1)$ (colinéaire).

   L’équation du plan est de la forme $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$.

   $1(x - 2) + 0(y - 0) - 1(z - 1) = 0$

   $x - 2 - z + 1 = 0$

   $x - z - 1 = 0$

Réponse :

L’équation du plan tangent est $x - z - 1 = 0$.

Méthode : Calculer les dérivées partielles par rapport à $\theta$ et $\varphi$, puis calculer leurs produits scalaires respectifs.

Étapes :

1. Dérivées partielles :

   $f_\theta = \frac{\partial f}{\partial \theta} = (-R \sin\theta \sin\varphi, R \cos\theta \sin\varphi, 0)$

   $f_\varphi = \frac{\partial f}{\partial \varphi} = (R \cos\theta \cos\varphi, R \sin\theta \cos\varphi, -R \sin\varphi)$

2. Calcul de $E$ :

   $E = \|f_\theta\|^2 = (-R \sin\theta \sin\varphi)^2 + (R \cos\theta \sin\varphi)^2 + 0$

   $E = R^2 \sin^2\varphi (\sin^2\theta + \cos^2\theta) = R^2 \sin^2\varphi$

3. Calcul de $F$ :

   $F = \langle f_\theta, f_\varphi \rangle$

   $F = (-R \sin\theta \sin\varphi)(R \cos\theta \cos\varphi) + (R \cos\theta \sin\varphi)(R \sin\theta \cos\varphi) + 0$

   Les deux premiers termes sont identiques au signe près, ils s’annulent.

   $F = 0$

   (Cela confirme que les parallèles et méridiens sont orthogonaux).

4. Calcul de $G$ :

   $G = \|f_\varphi\|^2 = (R \cos\theta \cos\varphi)^2 + (R \sin\theta \cos\varphi)^2 + (-R \sin\varphi)^2$

   $G = R^2 \cos^2\varphi (\cos^2\theta + \sin^2\theta) + R^2 \sin^2\varphi$

   $G = R^2 (\cos^2\varphi + \sin^2\varphi) = R^2$

Réponse :

La matrice de la première forme fondamentale est :

$\begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} R^2 \sin^2\varphi & 0 \\ 0 & R^2 \end{pmatrix}$

Méthode : Utiliser les coefficients de la première forme fondamentale. L’aire est donnée par l’intégrale double $\iint_D \sqrt{EG - F^2} \, du \, dv$.

Étapes :

1. Calcul des dérivées partielles :

   $f_u = (\cos v, \sin v, 0)$

   $f_v = (-u \sin v, u \cos v, 1)$

2. Calcul de $E, F, G$ :

   $E = \|f_u\|^2 = \cos^2 v + \sin^2 v + 0 = 1$

   $G = \|f_v\|^2 = (-u \sin v)^2 + (u \cos v)^2 + 1^2 = u^2(\sin^2 v + \cos^2 v) + 1 = u^2 + 1$

   $F = f_u \cdot f_v = -u \sin v \cos v + u \sin v \cos v + 0 = 0$

3. Calcul de l’élément d’aire $dS$ :

   $dS = \sqrt{EG - F^2} = \sqrt{1 \cdot (u^2 + 1) - 0} = \sqrt{u^2 + 1}$

4. Intégration :

   $\mathcal{A} = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \sqrt{u^2 + 1} \, du \, dv$

   Comme l’intégrande ne dépend pas de $v$ :

   $\mathcal{A} = 2\pi \int_{0}^{1} \sqrt{u^2 + 1} \, du$

   Utilisons la primitive standard $\int \sqrt{x^2+1} dx = \frac{1}{2}x\sqrt{x^2+1} + \frac{1}{2}\ln(x+\sqrt{x^2+1})$ :

   $\mathcal{A} = 2\pi \left[ \frac{u}{2}\sqrt{u^2+1} + \frac{1}{2}\ln(u+\sqrt{u^2+1}) \right]_0^1$

   En $u=1$ : $\frac{1}{2}\sqrt{2} + \frac{1}{2}\ln(1+\sqrt{2})$

   En $u=0$ : $0 + \frac{1}{2}\ln(1) = 0$

   $\mathcal{A} = 2\pi \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}\ln(1+\sqrt{2}) \right)$

Réponse :

$\mathcal{A} = \pi \left( \sqrt{2} + \ln(1+\sqrt{2}) \right)$

Méthode : Exprimer la première forme fondamentale du cylindre, puis intégrer $ds = \sqrt{E (u')^2 + 2F u'v' + G (v')^2} dt$.

Étapes :

1. Nature de la courbe :

   En remplaçant $u$ et $v$ par $t$ dans $f(u,v)$, on obtient $\alpha(t) = (\cos t, \sin t, t)$.

   C’est une hélice circulaire.

2. Calcul de la métrique du cylindre :

   $f_u = (-\sin u, \cos u, 0)$

   $f_v = (0, 0, 1)$

   $E = \|f_u\|^2 = 1$

   $F = f_u \cdot f_v = 0$

   $G = \|f_v\|^2 = 1$

3. Calcul de la longueur :

   On a $u(t) = t \implies u'(t) = 1$ et $v(t) = t \implies v'(t) = 1$.

   L’élément de longueur au carré est :

   $ds^2 = E(du)^2 + 2F du dv + G(dv)^2$

   $(\frac{ds}{dt})^2 = 1 \cdot (1)^2 + 0 + 1 \cdot (1)^2 = 2$

   Donc la vitesse scalaire est $\sqrt{2}$.

   $L = \int_0^{2\pi} \sqrt{2} \, dt = 2\pi\sqrt{2}$

Réponse :

La courbe est une hélice et sa longueur est $2\pi\sqrt{2}$.

Méthode : Calculer le produit vectoriel des dérivées partielles et le normaliser.

Étapes :

1. Dérivées partielles :

   $f_u = (1, 0, v)$

   $f_v = (0, 1, u)$

2. Produit vectoriel (Vecteur normal non unitaire $\vec{n}$) :

   $\vec{n} = f_u \wedge f_v = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & v \\ 0 & 1 & u \end{vmatrix}$

   $x = -v$

   $y = -u$

   $z = 1$

   $\vec{n} = (-v, -u, 1)$

3. Norme :

   $\|\vec{n}\| = \sqrt{(-v)^2 + (-u)^2 + 1^2} = \sqrt{u^2 + v^2 + 1}$

4. Vecteur normal unitaire (Application de Gauss) :

   $N(u, v) = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2 + 1}} (-v, -u, 1)$

Réponse :

$N(u, v) = \left( \frac{-v}{\sqrt{u^2+v^2+1}}, \frac{-u}{\sqrt{u^2+v^2+1}}, \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2+1}} \right)$

Méthode : Calculer les dérivées secondes de $f$ et faire leur produit scalaire avec le vecteur normal unitaire $N$ trouvé précédemment.

Étapes :

1. Rappel du vecteur normal :

   $N = \frac{1}{\sqrt{1+u^2+v^2}}(-v, -u, 1)$

2. Dérivées partielles secondes :

   On avait $f_u = (1, 0, v)$ et $f_v = (0, 1, u)$.

   $f_{uu} = \frac{\partial}{\partial u}(1, 0, v) = (0, 0, 0)$

   $f_{uv} = \frac{\partial}{\partial v}(1, 0, v) = (0, 0, 1)$

   $f_{vv} = \frac{\partial}{\partial v}(0, 1, u) = (0, 0, 0)$

3. Calcul des coefficients $L, M, N_{coeff}$ :

   $L = \langle f_{uu}, N \rangle = \langle (0,0,0), N \rangle = 0$

   $M = \langle f_{uv}, N \rangle = \frac{1}{\sqrt{1+u^2+v^2}} \langle (0,0,1), (-v, -u, 1) \rangle = \frac{1}{\sqrt{1+u^2+v^2}}$

   $N_{coeff} = \langle f_{vv}, N \rangle = 0$

   (Note: On utilise $N_{coeff}$ pour ne pas confondre avec le vecteur $N$)

Réponse :

$L = 0, \quad M = \frac{1}{\sqrt{1+u^2+v^2}}, \quad N_{coeff} = 0$

Méthode : Utiliser la formule $K = \frac{LN_{coeff} - M^2}{EG - F^2}$.

Étapes :

1. Récupérer les coefficients (calculés précédemment) :

   $L = 0, \quad N_{coeff} = 0, \quad M = \frac{1}{\sqrt{1+u^2+v^2}}$

   $f_u = (1, 0, v), \quad f_v = (0, 1, u)$

2. Calculer $EG - F^2$ :

   $E = 1 + v^2$

   $G = 1 + u^2$

   $F = uv$

   $EG - F^2 = (1+v^2)(1+u^2) - (uv)^2 = 1 + u^2 + v^2 + u^2v^2 - u^2v^2 = 1 + u^2 + v^2$

3. Calcul de $K$ :

   $K = \frac{0 \cdot 0 - M^2}{EG - F^2} = \frac{- \left(\frac{1}{\sqrt{1+u^2+v^2}}\right)^2}{1+u^2+v^2}$

   $K = \frac{- \frac{1}{1+u^2+v^2}}{1+u^2+v^2} = \frac{-1}{(1+u^2+v^2)^2}$

4. En $(0,0)$ :

   $K(0,0) = -1$.

Interprétation :

Pour tout $(u, v)$, $(1+u^2+v^2)^2 > 0$, donc $K$ est strictement négatif partout.

Ceci correspond à la définition d’un point hyperbolique (forme de selle de cheval). La surface se courbe dans des directions opposées.

Réponse :

$K(u, v) = \frac{-1}{(1+u^2+v^2)^2}$

La courbure est toujours négative.

Méthode : Étudier le signe de l’expression donnée pour $K$. Notons que le dénominateur $2+\cos u$ est toujours positif car $\cos u \ge -1$. Le signe de $K$ dépend uniquement de $\cos u$.

Étapes :

1. Points Elliptiques ($K > 0$) :

   Condition : $\cos u > 0$.

   Cela correspond à $u \in ]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[$ (modulo $2\pi$).

   Géométriquement : C’est la partie “extérieure” du tore (le côté le plus éloigné de l’axe de révolution $z$). Ici la surface ressemble à un ballon (courbure dans le même sens).

2. Points Hyperboliques ($K < 0$) :

   Condition : $\cos u < 0$.

   Cela correspond à $u \in ]\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}[$.

   Géométriquement : C’est la partie “intérieure” du tore (le côté faisant face à l’axe $z$, le trou du beignet). Ici la surface est en forme de selle (courbée horizontalement dans un sens, verticalement dans l’autre).

3. Points Paraboliques ($K = 0$) :

   Condition : $\cos u = 0$.

   Cela correspond à $u = \frac{\pi}{2}$ et $u = \frac{3\pi}{2}$.

   Géométriquement : Ce sont les cercles “du haut” et “du bas” du tore. À ces endroits, la courbure est nulle dans une direction (la tangente verticale est une ligne d’inflexion pour le profil).

Réponse :

• Elliptiques : Extérieur du tore ($-\pi/2 < u < \pi/2$).
• Hyperboliques : Intérieur du tore ($\pi/2 < u < 3\pi/2$).
• Paraboliques : Sommet et base du tore ($u = \pm \pi/2$).