Courbes planes - fiches de révision (A)

Une courbe paramétrée (ou arc paramétré) de classe $C^k$ dans $\mathbb{R}^n$ est un couple $(I, \gamma)$ où :

1. $I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$, appelé l'ensemble des paramètres.
2. $\gamma : I \to \mathbb{R}^n$ est une application de classe $C^k$ (c'est-à-dire $k$ fois dérivable à dérivée $k$-ième continue).

Le paramètre $t \in I$ peut être imaginé comme le temps. La fonction $\gamma(t)$ donne la position d'un point mobile à l'instant $t$. L'ensemble des points parcourus, $\gamma(I)$, est appelé la trajectoire ou le support de la courbe.

Il faut bien distinguer la courbe paramétrée $(I, \gamma)$, qui est la "manière de parcourir", de sa trajectoire $\gamma(I)$, qui est la "forme géométrique".

Exemple : Le cercle unité

La courbe $(\, [0, 2\pi], \gamma \,)$ avec $\gamma(t) = (\cos(t), \sin(t))$ est une courbe paramétrée de classe $C^\infty$. Pour chaque $t$ entre $0$ et $2\pi$, $\gamma(t)$ est un point du cercle de centre $(0,0)$ et de rayon $1$.

Le vecteur dérivé $\gamma'(t)$ d'une courbe paramétrée représente le vecteur vitesse instantanée du point mobile $\gamma(t)$. Il a deux interprétations géométriques principales :

1. Direction : La direction du vecteur $\gamma'(t)$ est celle de la tangente à la courbe au point $\gamma(t)$. Il indique la direction instantanée du mouvement.
2. Norme : La norme du vecteur, $\|\gamma'(t)\|$, représente la vitesse scalaire (la "vitesse au compteur") du point mobile. C'est la vitesse à laquelle la distance est parcourue le long de la courbe.

Si $\gamma'(t) \neq \vec{0}$, le vecteur $\gamma'(t)$ est un vecteur directeur de la droite tangente à la courbe au point $\gamma(t)$.

Exemple : Pour le cercle $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$, le vecteur dérivé est $\gamma'(t) = (-\sin t, \cos t)$. Sa norme est $\|\gamma'(t)\| = \sqrt{(-\sin t)^2 + (\cos t)^2} = 1$. Cela signifie que le point parcourt le cercle à une vitesse constante de 1. Le vecteur vitesse est toujours tangent au cercle.

La différence réside dans la nullité du vecteur vitesse. Soit une courbe paramétrée $\gamma(t)$ et un point $\gamma(t_0)$.

• Point Régulier : Le point $\gamma(t_0)$ est dit régulier si son vecteur vitesse est non nul : $\gamma'(t_0) \neq \vec{0}$.

  • Interprétation : Le point mobile a une vitesse non nulle. Il ne s'arrête pas. En un point régulier, la tangente à la courbe est bien définie et sa direction est donnée par $\gamma'(t_0)$.

• Point Singulier : Le point $\gamma(t_0)$ est dit singulier si son vecteur vitesse est nul : $\gamma'(t_0) = \vec{0}$.

  • Interprétation : Le point mobile s'arrête. Géométriquement, cela correspond souvent à des points où la courbe change brusquement de direction, comme un point de rebroussement (une "pointe"), ou un point où la courbe s'arrête pour repartir.

Une courbe est dite régulière si tous ses points sont réguliers.

Exemple :

• La parabole $\gamma(t) = (t, t^2)$ a pour dérivée $\gamma'(t) = (1, 2t)$, qui n'est jamais nulle. C'est une courbe régulière.
• L'astroïde $\gamma(t) = (\cos^3 t, \sin^3 t)$ a des points singuliers en $t = 0, \pi/2, \pi, 3\pi/2$, qui correspondent à ses quatre pointes.

La longueur d'un arc de la courbe paramétrée $(I, f)$ de classe $C^1$, entre les instants $a$ et $b$ ($a, b \in I$), est donnée par l'intégrale de la vitesse scalaire :

$\text{Formule: } L = \int_a^b \|f'(t)\| \,dt$

Cette formule s'appelle aussi l'abscisse curviligne. La fonction $s(t)$, qui donne la distance parcourue depuis un point de départ $t_0$, est définie par :

$s(t) = \int_{t_0}^t \|f'(x)\| \,dx$

Où :

• $f'(t)$ est le vecteur vitesse (dérivé) de la courbe au paramètre $t$.
• $\|f'(t)\|$ est la norme de ce vecteur, c'est-à-dire la vitesse scalaire.
• $dt$ est un élément infinitésimal du paramètre (souvent le temps).

Utilisation : Cette formule permet de calculer la longueur exacte d'une trajectoire, comme la distance parcourue par un objet ou la longueur d'une route sur une carte.

Paramétrer une courbe par sa longueur d'arc (ou abscisse curviligne), notée $s$, consiste à utiliser la distance parcourue le long de la courbe depuis un point d'origine comme paramètre, à la place d'un paramètre abstrait $t$ (comme le temps).

Une courbe $(J, g)$ est dite paramétrée par sa longueur d'arc si sa vitesse scalaire est constamment égale à 1 :

$\forall s \in J, \quad \|g'(s)\| = 1$

Interprétation : Cela revient à décrire la trajectoire comme si on la parcourait à une vitesse constante de 1 unité de distance par unité de paramètre.

Intérêt principal :

Ce paramétrage est considéré comme "naturel" car il est intrinsèque à la forme géométrique de la courbe et ne dépend pas de la "vitesse" arbitraire à laquelle on la parcourt. Il simplifie considérablement de nombreuses formules de géométrie différentielle, notamment celle de la courbure.

Pour une courbe paramétrée par sa longueur d'arc $s$, le vecteur accélération $g''(s)$ est directement lié à la courbure $\kappa(s)$.

Propriété fondamentale : Toute courbe régulière de classe $C^1$ peut être reparamétrée par sa longueur d'arc.

Soit $(I, f)$ une courbe plane paramétrée de classe $C^2$. Un point $f(t_0)$ est dit birégulier si les deux premiers vecteurs dérivés non triviaux, le vecteur vitesse $f'(t_0)$ et le vecteur accélération $f''(t_0)$, sont linéairement indépendants.

Cela signifie que le vecteur accélération n'est pas colinéaire au vecteur vitesse.

Interprétation géométrique :

• Le vecteur $f'(t_0)$ donne la direction de la tangente (le mouvement "tout droit").
• Le vecteur $f''(t_0)$ indique comment la courbe s'écarte de cette tangente.

Si les deux vecteurs sont indépendants, cela signifie que la courbe est en train de "tourner". Si l'accélération était colinéaire à la vitesse, le point mobile ne ferait qu'accélérer ou ralentir en ligne droite. La birégularité est la condition qui assure que la courbe possède une courbure non nulle en ce point.

En un point birégulier $p = f(t_0)$, le vecteur accélération $f''(t_0)$ détermine la concavité de la courbe.

Théorème principal : Au voisinage d'un point birégulier, la courbe est entièrement située d'un seul côté de sa tangente. Ce côté est le demi-plan qui contient le vecteur accélération.

Plus précisément, le vecteur accélération $f''(t_0)$ "tire" la courbe loin de sa tangente. On dit que la courbe "tourne sa concavité" dans la direction de $f''(t_0)$.

Approximation locale : L'allure de la courbe près d'un point birégulier est celle d'une parabole. La formule de Taylor-Young le montre :

$f(t_0+h) - f(t_0) \approx h f'(t_0) + \frac{h^2}{2} f''(t_0)$

Dans la base $(f'(t_0), f''(t_0))$, les coordonnées locales du point sont approximativement $(h, h^2/2)$, ce qui est l'équation d'une parabole.

Exemple : Pour la parabole $f(t)=(t,t^2)$ au sommet $t=0$, la tangente est l'axe des $x$ (dirigée par $f'(0)=(1,0)$) et l'accélération est verticale vers le haut ($f''(0)=(0,2)$). La courbe est bien au-dessus de sa tangente.

Une courbe implicite est un ensemble de points $(x,y)$ du plan dont les coordonnées satisfont une équation de la forme :

$F(x,y) = 0$

où $F$ est une fonction de deux variables. L'équation agit comme une condition que les points de la courbe doivent vérifier.

Une courbe implicite est dite algébrique si la fonction $F(x,y)$ est un polynôme en $x$ et $y$. Le degré de la courbe est alors le degré de ce polynôme.

Exemples :

• Courbe algébrique : Le cercle de rayon 1 a pour équation implicite $x^2 + y^2 - 1 = 0$. C'est une courbe algébrique de degré 2.
• Courbe algébrique : Le folium de Descartes, d'équation $x^3 + y^3 - 3xy = 0$, est une courbe algébrique de degré 3.
• Courbe non-algébrique : Le graphe de la fonction sinus, d'équation $y - \sin(x) = 0$, est une courbe implicite mais n'est pas algébrique car $\sin(x)$ n'est pas un polynôme.

La nature d'une conique (hors cas dégénérés) peut être déterminée en calculant le discriminant (ou déterminant de la partie quadratique), noté $\Delta$ ou det.

$\Delta = ab - c^2$

Ce discriminant est associé à la matrice de la forme quadratique $M = \begin{pmatrix} a & c \\ c & b \end{pmatrix}$.

Règle de classification :

1. Si $\Delta > 0$ ($ab-c^2 > 0$) : la conique est du genre ellipse (un cercle étant un cas particulier).
2. Si $\Delta < 0$ ($ab-c^2 < 0$) : la conique est du genre hyperbole.
3. Si $\Delta = 0$ ($ab-c^2 = 0$) : la conique est du genre parabole.

Cas dégénérés : Si la conique est dégénérée, elle peut représenter un point, une droite, deux droites, ou l'ensemble vide, mais le signe de $\Delta$ reste un indicateur du type de dégénérescence. Par exemple, $x^2-y^2=0$ donne deux droites et a $\Delta=-1<0$ (genre hyperbole).

Pour une courbe paramétrée $\gamma(t) = (x(t), y(t))$ de classe $C^2$ et régulière, la courbure algébrique $\kappa(t)$ est donnée par la formule :

$\text{Formule: } \kappa(t) = \frac{\det(\gamma'(t), \gamma''(t))}{\|\gamma'(t)\|^3}$

Ce qui s'écrit en termes de composantes :

$\kappa(t) = \frac{x'(t)y''(t) - y'(t)x''(t)}{\left(x'(t)^2 + y'(t)^2\right)^{3/2}}$

Où :

• $\gamma'(t) = (x'(t), y'(t))$ est le vecteur vitesse.
• $\gamma''(t) = (x''(t), y''(t))$ est le vecteur accélération.
• $\det(\gamma', \gamma'')$ est le déterminant des vecteurs vitesse et accélération.
• $\|\gamma'\|$ est la norme du vecteur vitesse (vitesse scalaire).

Cette formule est valide pour n'importe quel paramétrage régulier.

La courbure $\kappa$ est une mesure de la façon dont une courbe "tourne" ou s'écarte de sa ligne tangente en un point.

Interprétation de la valeur absolue $|\kappa|$ :

• Si $\kappa = 0$, la courbe est localement une droite (pas de virage).
• Si $|\kappa|$ est grande, la courbe effectue un virage serré.
• Si $|\kappa|$ est petite, la courbe est "plate" et le virage est large.

Le rayon de courbure est $R = 1/|\kappa|$. Il correspond au rayon du cercle qui "épouse" le mieux la courbe en ce point (le cercle osculateur). Un virage serré correspond à un petit rayon de courbure.

Interprétation du signe de $\kappa$ :

Le signe de la courbure indique le sens de la rotation. Par convention dans une base orthonormée directe :

• Si $\kappa > 0$, la courbe tourne "vers la gauche" (dans le sens trigonométrique ou anti-horaire) par rapport au sens de parcours.
• Si $\kappa < 0$, la courbe tourne "vers la droite" (dans le sens horaire).

Le signe de la courbure dépend donc de l'orientation du plan et du sens de parcours de la courbe.

Un point $\gamma(t_0)$ est singulier si son vecteur vitesse $\gamma'(t_0)$ est le vecteur nul. Voici la méthode pour les trouver :

Étapes :

1. Calculer le vecteur dérivé : Soit la courbe $\gamma(t) = (x(t), y(t))$, calculez son vecteur dérivé (vecteur vitesse) :

   $\gamma'(t) = (x'(t), y'(t))$

2. Poser le système d'équations : Pour trouver les points où le vecteur vitesse est nul, on doit résoudre le système d'équations où chaque composante est nulle :

   $$\begin{cases} x'(t) = 0 \\ y'(t) = 0 \end{cases}$$

3. Résoudre le système : Les solutions $t_0, t_1, \dots$ de ce système sont les valeurs du paramètre qui correspondent aux points singuliers de la courbe.

Exemple : L'astroïde $\gamma(t) = (\cos^3 t, \sin^3 t)$.

1. $\gamma'(t) = (-3\cos^2 t \sin t, \ 3\sin^2 t \cos t)$.

2. On résout le système :

   $$\begin{cases} -3\cos^2 t \sin t = 0 \\ 3\sin^2 t \cos t = 0 \end{cases}$$

3. La première équation est vraie si $\cos t = 0$ ou $\sin t = 0$. La deuxième est vraie si $\sin t = 0$ ou $\cos t = 0$. Les deux équations sont donc satisfaites simultanément lorsque $\sin t = 0$ (pour $t=0, \pi$) ou lorsque $\cos t = 0$ (pour $t=\pi/2, 3\pi/2$). Les points singuliers apparaissent donc pour $t = 0, \pi/2, \pi, 3\pi/2$.

Le théorème de Gauss-Bonnet pour les courbes planes établit un lien fondamental entre la géométrie locale d'une courbe (sa courbure) et sa topologie globale (comment elle s'enroule).

Pour un lacet (une courbe fermée régulière de classe $C^2$), le théorème énonce que l'intégrale de la courbure le long de la courbe est égale à $2\pi$ fois le nombre d'enroulements de son vecteur tangent.

Formule :

$\int_{\text{courbe}} \kappa \, ds = 2\pi \times \text{Enroul}(f)$

Où :

• $\int_{\text{courbe}} \kappa \, ds$ est la courbure totale de la courbe. C'est une quantité géométrique calculée en intégrant la courbure locale $\kappa$ sur toute la longueur de la courbe.
• $\text{Enroul}(f)$ est le nombre d'enroulement de la tangente. C'est un nombre entier qui compte le nombre de tours complets (avec signe) que fait le vecteur tangent unitaire lorsqu'on parcourt la courbe une fois.

Conclusion : Ce théorème montre que la courbure totale d'une courbe fermée est "quantifiée" : elle ne peut prendre que des valeurs qui sont des multiples entiers de $2\pi$. Par exemple, pour une courbe simple comme une ellipse, la tangente fait un tour, donc l'intégrale de la courbure vaut exactement $2\pi$, quelle que soit l'excentricité de l'ellipse.