Recherche d'extremum - fiches de révision (A)

Soit $f : D \to \mathbb{R}$. Un point $a \in D$ est un extremum global si la valeur de la fonction en $a$ est extrême par rapport à tous les autres points de l'ensemble de définition.

Maximum global :

$\forall y \in D, \quad f(a) \geq f(y)$

Minimum global :

$\forall y \in D, \quad f(a) \leq f(y)$

Analogie : C'est le point culminant (le sommet le plus haut) de toute une chaîne de montagnes.

Un point $a \in D$ est un extremum local si la valeur de la fonction en $a$ est extrême par rapport aux points situés dans son voisinage (c'est-à-dire dans une petite boule centrée en $a$).

Maximum local :

Il existe un rayon $\varepsilon > 0$ tel que pour tout $y$ dans la boule $B(a, \varepsilon)$ :

$f(a) \geq f(y)$

Analogie : C'est le sommet d'une colline. Ce n'est pas forcément le point le plus haut du monde, mais c'est le plus haut des environs immédiats.

Pour une fonction $f$ différentiable sur un ouvert, un point $a$ est critique si son gradient s'annule en ce point.

Formule :

$\nabla f(a) = \vec{0}$

Cela signifie que toutes les dérivées partielles sont nulles simultanément :

$\frac{\partial f}{\partial x_1}(a) = 0, \quad \dots, \quad \frac{\partial f}{\partial x_n}(a) = 0$

Interprétation géométrique : Le plan tangent à la surface en ce point est horizontal.

Non.

Être un point critique est une condition nécessaire pour être un extremum local (sur un ouvert), mais ce n'est pas une condition suffisante.

Contre-exemple : Le point-selle

Pour la fonction $f(x,y) = x^2 - y^2$, le point $(0,0)$ est un point critique ($\nabla f(0,0) = (0,0)$).

Cependant, ce n'est ni un maximum (la fonction croît selon l'axe des $x$), ni un minimum (la fonction décroît selon l'axe des $y$).

Sur un ensemble compact $K$ (fermé et borné), une fonction continue atteint toujours ses bornes (Théorème de Weierstrass). Voici la méthode :

Étapes :

1. L'intérieur ($\mathring{K}$) : Chercher les points critiques à l'intérieur de l'ensemble (résoudre $\nabla f = 0$).
2. La frontière ($K \setminus \mathring{K}$) : Étudier la fonction sur le bord du domaine (souvent en paramétrant le bord).
3. Comparaison : Calculer la valeur de $f$ pour tous les candidats trouvés (points critiques intérieurs et points remarquables du bord).
4. Conclusion : La plus grande valeur est le maximum global, la plus petite est le minimum global.

C'est la matrice carrée qui regroupe toutes les dérivées partielles d'ordre 2 d'une fonction $f$ en un point $a$.

Formule :

$H_f(a) = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}(a) & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_n}(a) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_1}(a) & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2}(a) \end{pmatrix}$

Pour une fonction de classe $\mathscr{C}^2$, cette matrice est symétrique (grâce au théorème de Schwarz). Elle renseigne sur la courbure de la fonction.

Si une fonction $f$ est de classe $\mathscr{C}^2$ sur un ouvert (c'est-à-dire que ses dérivées secondes existent et sont continues), alors l'ordre de dérivation n'importe pas.

Formule :

$\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}$

Cela implique que la matrice Hessienne est symétrique.

Au voisinage d'un point $a$, pour un petit déplacement $h$ :

$f(a + h) \approx f(a) + \underbrace{\langle \nabla f(a), h \rangle}_{\text{Terme linéaire}} + \underbrace{\frac{1}{2} \langle H_f(a)h, h \rangle}_{\text{Terme quadratique}}$

Où :

• $\nabla f(a)$ est le gradient (pente).
• $H_f(a)$ est la matrice Hessienne (courbure).
• $\langle \cdot, \cdot \rangle$ est le produit scalaire.

Si $a$ est un point critique, le terme linéaire s'annule et le comportement est dicté par le terme quadratique (la Hessienne).

Soit $a$ un point critique. On calcule les valeurs propres de la matrice Hessienne $H_f(a)$.

• Minimum local strict : Toutes les valeurs propres sont strictement positives (courbure positive partout, comme un bol).
• Maximum local strict : Toutes les valeurs propres sont strictement négatives (courbure négative partout, comme une colline).
• Point Selle : Il y a des valeurs propres positives ET négatives (courbure mixte).
• Cas douteux : Si une valeur propre est nulle, on ne peut pas conclure avec ce critère.

En dimension 2, on peut utiliser le déterminant ($\det$) et la trace ($\text{Tr}$) de la matrice Hessienne $H_f(a)$ :

1. Calculer $\det(H_f(a))$.
   • Si $\det < 0$ : C'est un Point Selle (directement).
   • Si $\det > 0$ : C'est un extremum (Max ou Min). Il faut regarder la Trace (ou simplement $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$).
2. Si $\det > 0$, regarder le signe de $\text{Tr}(H_f(a))$ :
   • $\text{Tr} > 0$ : Minimum local.
   • $\text{Tr} < 0$ : Maximum local.

Si $\det = 0$, le test n'est pas concluant.